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第七章 章末測試卷 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．下列語句中，是命題的是（　?。? A．直線AB和CD垂直嗎 B．過線段AB的中點C畫AB的垂線 C．同旁內(nèi)角不互補，兩直線不平行 D．連接A，B兩點 2．如圖，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65，則∠ABC的大小是（　?。? A．25 B．35 C．50 D．65 3．一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50，則∠1+∠2=（　?。? A．90 B．100 C．130 D．180 4．如圖，已知△ABC中，點D在AC上，延長BC至E，連接DE，則下列結(jié)論不成立的是（　?。? A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC 5．如圖，AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，EG平分∠BEF，交CD于點G，∠1=50，則∠2等于（　?。? A．50 B．60 C．65 D．90 6．如圖，已知直線AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150，則∠C的度數(shù)為（　　） A．150 B．130 C．120 D．100 7．如圖，直線a∥b，∠A=38，∠1=46，則∠ACB的度數(shù)是（　　） A．84 B．106 C．96 D．104 8．適合條件∠A=∠B=∠C的△ABC是（　　） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 9．如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75，則∠1+∠2=（　?。? A．150 B．210 C．105 D．75 10．已知：直線l1∥l2，一塊含30角的直角三角板如圖所示放置，∠1=25，則∠2等于（　?。? A．30 B．35 C．40 D．45 二、填空題（每小題3分，共24分） 11．命題“對頂角相等”的條件是　　，結(jié)論是　?。? 12．如圖，DAE是一條直線，DE∥BC，則x=　?。? 13．如圖，已知AB∥CD，∠DEF=50，∠D=80，∠B的度數(shù)是　　． 14．如圖，已知∠A=∠F=40，∠C=∠D=70，則∠ABD=　　，∠CED=　?。? 15．已知如圖，在△ABC中，D為BC上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100，則∠BAC=　?。? 16．用等腰直角三角板畫∠AOB=45，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線處后繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)22，則三角板的斜邊與射線OA的夾角α為　　度． 17．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是40，則該等腰三角形頂角為　　． 18．如圖所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130，則∠A=　　度． 三、解答題（共66分） 19．（8分）已知：如圖，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點G．求證：AB∥CD． 　 20．（8分）一天，爸爸帶著小剛到建筑工地去玩，看見有如圖所示的人字架，爸爸說“小剛，我考考你，這個人字架的夾角∠1等于130，你能求出∠3比∠2大多少嗎？”小剛馬上得到了正確答案，他的答案是多少？請說明理由． 21．（8分）如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求證：AE=FC． 22．（10分）如圖，△ABC中，∠BAC=90，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度數(shù)． 23．（10分）如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為三邊BC，BA，AC上的點，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70，求∠EDF的度數(shù)． 24．（10分）如圖所示，已知∠1+∠2=180，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系，并對結(jié)論進行說理． 25．（12分）【問題】如圖①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80，則∠BEC=　130?。蝗簟螦=n，則∠BEC=　90+n?。? 【探究】 （1）如圖②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n，則∠BEC=　60+n??； （2）如圖③，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由； （3）如圖④，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明） 關(guān)注“初中教師園地”公眾號 2019秋季各科最新備課資料陸續(xù)推送中 快快告訴你身邊的小伙伴們吧~ 參考答案 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．下列語句中，是命題的是（　?。? A．直線AB和CD垂直嗎 B．過線段AB的中點C畫AB的垂線 C．同旁內(nèi)角不互補，兩直線不平行 D．連接A，B兩點 【考點】命題與定理． 【分析】根據(jù)命題的定義，對一件事情做出判斷的語句叫做命題，進行判斷． 【解答】解：A、是問句，不是命題； B、是作圖，沒有對一件事情做出判斷，所以不是命題； C、對一件事情做出了判斷，是命題； D、是作圖，沒有對一件事情做出判斷，所以不是命題． 故選C． 【點評】命題分為真命題和假命題，注意假命題也是命題． 　 2．如圖，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65，則∠ABC的大小是（　?。? A．25 B．35 C．50 D．65 【考點】平行線的性質(zhì)；垂線． 【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可求出∠ABC的大?。? 【解答】解：∵CB⊥DB， ∴∠CBD=90， ∴∠C+∠D=90， ∵∠D=65， ∴∠C=25， ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠C=25． 故選A． 【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補． 3．一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50，則∠1+∠2=（　?。? A．90 B．100 C．130 D．180 【分析】設(shè)圍成的小三角形為△ABC，分別用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三個內(nèi)角，再利用三角形的內(nèi)角和等于180列式整理即可得解． 【解答】解：如圖，∠BAC=180﹣90﹣∠1=90﹣∠1， ∠ABC=180﹣60﹣∠3=120﹣∠3， ∠ACB=180﹣60﹣∠2=120﹣∠2， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∴90﹣∠1+120﹣∠3+120﹣∠2=180， ∴∠1+∠2=150﹣∠3， ∵∠3=50， ∴∠1+∠2=150﹣50=100． 故選：B． 【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三個內(nèi)角是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點． 　 4．如圖，已知△ABC中，點D在AC上，延長BC至E，連接DE，則下列結(jié)論不成立的是（　?。? A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC 【考點】三角形的外角性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)對各選項進行逐一判斷即可． 【解答】解：∵∠ADB是△BDC的外角， ∴∠ADB＞∠DBC，∠ADB＞∠ACB，故B、C正確； ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＞∠DEC， ∵∠ADB＞∠ACB， ∴∠ADB＞∠DEC，故D正確； ∠DCE與∠ADB的大小無法比較． 故選A． 【點評】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角大于與之不相鄰的任何一個內(nèi)角是解答此題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，EG平分∠BEF，交CD于點G，∠1=50，則∠2等于（　　） A．50 B．60 C．65 D．90 【考點】平行線的性質(zhì)；角平分線的定義． 【分析】由AB∥CD，∠1=50，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得∠BEF的度數(shù)，又由EG平分∠BEF，求得∠BEG的度數(shù)，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得∠2的度數(shù)． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠1=180， ∵∠1=50， ∴∠BEF=130， ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG=∠BEF=65， ∴∠2=∠BEG=65． 故選C． 【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)與角平分線的定義．此題比較簡單，注意掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補與兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理的應(yīng)用． 　 6．如圖，已知直線AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150，則∠C的度數(shù)為（　　） A．150 B．130 C．120 D．100 【考點】平行線的性質(zhì)；角平分線的定義． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】先根據(jù)平行線及角平分線的性質(zhì)求出∠CDB=∠CBD，再根據(jù)平角的性質(zhì)求出∠CDB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)即可． 【解答】解：∵直線AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD， ∵∠CDB=180﹣∠CDE=30， ∴∠ABD=30， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60， ∵AB∥CD， ∴∠C=180﹣∠ABC=180﹣60=120． 故選C． 【點評】此題比較簡單，考查的是平行線及角平分線的性質(zhì)，比較簡單． 　 7．如圖，直線a∥b，∠A=38，∠1=46，則∠ACB的度數(shù)是（　?。? A．84 B．106 C．96 D．104 【考點】平行線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ABC=∠1，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠ABC=∠1=46， ∵∠A=38， ∴∠ACB=180﹣∠A﹣∠ABC=180﹣38﹣46=96． 故選：C． 【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 8．適合條件∠A=∠B=∠C的△ABC是（　　） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 【考點】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】此題隱含的條件是三角形的內(nèi)角和為180，列方程，根據(jù)已知中角的關(guān)系求解，再判斷三角形的形狀． 【解答】解：∵∠A=∠B=∠C， ∴∠B=2∠A，∠C=3∠A， ∵∠A+∠B+∠C=180，即6∠A=180， ∴∠A=30， ∴∠B=60，∠C=90， ∴△ABC為直角三角形． 故選B． 【點評】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180． 　 9．如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75，則∠1+∠2=（　　） A．150 B．210 C．105 D．75 【考點】三角形內(nèi)角和定理；翻折變換（折疊問題）． 【分析】先根據(jù)圖形翻折變化的性質(zhì)得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度數(shù)，然后根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出答案． 【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折變換而成， ∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75， ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180﹣75=105， ∴∠1+∠2=360﹣2105=150． 故選A． 【點評】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等． 　 10．已知：直線l1∥l2，一塊含30角的直角三角板如圖所示放置，∠1=25，則∠2等于（　?。? A．30 B．35 C．40 D．45 【考點】平行線的性質(zhì)． 【專題】探究型． 【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠4的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵∠3是△ADG的外角， ∴∠3=∠A+∠1=30+25=55， ∵l1∥l2， ∴∠3=∠4=55， ∵∠4+∠EFC=90， ∴∠EFC=90﹣55=35， ∴∠2=35． 故選B． 【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等． 　 二、填空題（每小題3分，共24分） 11．命題“對頂角相等”的條件是　兩個角是對頂角　，結(jié)論是　這兩個角相等?。? 【考點】命題與定理． 【分析】命題是判斷一件事情，由條件和結(jié)論組成，都能寫成“如果…那么…”的形式，此命題可寫成：如果是對頂角，那么這兩個角相等． 【解答】解：此命題可寫成：如果是對頂角，那么這兩個角相等．因此條件是“兩個角是對頂角”結(jié)論是“這兩個角相等” 故答案為：兩個角是對頂角；這兩個角相等． 【點評】本題考查找命題里面的條件和結(jié)論，寫成“如果…那么…”的形式可降低難度． 　 12．如圖，DAE是一條直線，DE∥BC，則x=　64?。? 【考點】平行線的性質(zhì)． 【分析】兩直線平行，內(nèi)錯角相等，據(jù)此進行計算即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DAC=∠ACF， 即70+x=134， 解得x=64． 故答案為：64． 【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等． 簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等． 　 13．如圖，已知AB∥CD，∠DEF=50，∠D=80，∠B的度數(shù)是　50?。? 【考點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠DFE度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得∠B的度數(shù)． 【解答】解：∵∠DEF=50，∠D=80， ∴∠DFE=50， 又∵AB∥CD， ∴∠B=∠DFE=50． 故答案為：50 【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題時注意：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等． 簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等． 　 14．如圖，已知∠A=∠F=40，∠C=∠D=70，則∠ABD=　70　，∠CED=　110　． 【考點】平行線的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行線的判定得出DF∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠D=∠ABD=70，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CED+∠C=180，代入求出即可． 【解答】解：∵∠A=∠F=40， ∴DF∥AC， ∵∠D=70， ∴∠D=∠ABD=70， ∵DF∥AC， ∴∠CED+∠C=180， ∵∠C=70， ∴∠CED=110， 故答案為：70，110． 【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦然． 　 15．已知如圖，在△ABC中，D為BC上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100，則∠BAC=　120?。? 【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)． 【分析】利用外角的性質(zhì)可得∠3=∠4=2∠2，在△ADC中利用內(nèi)角和定理可列出關(guān)于∠2的方程，可求得∠2，則可求得∠2+∠DAC，即∠A． 【解答】解： ∵∠1=∠2， ∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2， ∵∠3+∠4+∠DAC=180， ∴4∠2+100=180， ∴∠2=20， ∴∠BAC=∠2+∠DAC=20+100=120， 故答案為：120． 【點評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，由條件得到關(guān)于∠2的方程求出∠2是解題的關(guān)鍵． 　 16．用等腰直角三角板畫∠AOB=45，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線處后繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)22，則三角板的斜邊與射線OA的夾角α為　22　度． 【考點】平移的性質(zhì)；同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角． 【分析】由平移的性質(zhì)知，AO∥SM，再由平行線的性質(zhì)可得∠WMS=∠OWM，即可得答案． 【解答】解：由平移的性質(zhì)知，AO∥SM， 故∠WMS=∠OWM=22； 故答案為：22． 【點評】本題利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等． 　 17．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是40，則該等腰三角形頂角為　50或130?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】讀到此題我們首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當為等腰直角三角形時不可能出現(xiàn)題中所說情況所以舍去不計，我們可以通過畫圖來討論剩余兩種情況． 【解答】解：①當為銳角三角形時可以畫圖， 高與右邊腰成40夾角，由三角形內(nèi)角和為180可得，頂角為50； ②當為鈍角三角形時可畫圖為， 此時垂足落到三角形外面，因為三角形內(nèi)角和為180， 由圖可以看出等腰三角形的頂角的補角為50，所以三角形的頂角為130； 故填50或130． 【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；做題時，考慮問題要全面，必要的時候可以做出模型幫助解答，進行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 18．如圖所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130，則∠A=　10　度． 【考點】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】設(shè)∠A=x．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FCE=∠FEC=5x，則180﹣5x=130，即可求解． 【解答】解：設(shè)∠A=x． ∵AB=BC=CD=DE=EF=FG， ∴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，得 ∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x， 則180﹣5x=130， 解，得x=10． 則∠A=10． 【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)的運用；發(fā)現(xiàn)并利用∠CBD是△ABC的外角是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共66分） 19．（8分）已知：如圖，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點G．求證：AB∥CD． 【考點】平行線的判定． 【專題】證明題． 【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，從而證得AB∥CD． 【解答】證明：∵BE⊥FD， ∴∠EGD=90， ∴∠1+∠D=90， 又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90， ∴∠1=∠2， 又已知∠C=∠1， ∴∠C=∠2， ∴AB∥CD． 【點評】此題考查的知識點是平行線的判定，關(guān)鍵是由BE⊥FD及三角形內(nèi)角和定理得出∠1和∠D互余． 　 20．（8分）一天，爸爸帶著小剛到建筑工地去玩，看見有如圖所示的人字架，爸爸說“小剛，我考考你，這個人字架的夾角∠1等于130，你能求出∠3比∠2大多少嗎？”小剛馬上得到了正確答案，他的答案是多少？請說明理由． 【考點】三角形的外角性質(zhì)． 【分析】根據(jù)鄰補角定義求出∠1的鄰補角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠3﹣∠2等于∠1的鄰補角的度數(shù)． 【解答】解：小剛的答案為50． 理由如下：如圖， 設(shè)∠1的鄰補角為∠4， ∵∠1=130， ∴∠4=180﹣130=50， ∵∠3是人字架三角形的外角， ∴∠3=∠2+∠4， ∴∠4=∠3﹣∠2=50， ∴∠3比∠2大50． 【點評】本題主要利用兩個鄰補角的和等于180，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解． 　 21．（8分）如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求證：AE=FC． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求證△ABC和△FDC全等即可． 【解答】證明：∵BE∥DF， ∴∠ABE=∠D， 在△ABE和△FDC中， ∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ∴△ABE≌△FDC（ASA）， ∴AE=FC． 【點評】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)求證△ABC和△FDC全等． 　 22．（10分）如圖，△ABC中，∠BAC=90，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度數(shù)． 【考點】等腰直角三角形． 【分析】根據(jù)已知求得∠ACB=45，進而求得∠BDC=∠BCD=45+∠1，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得2（45+∠1）+∠1=180，即可求得∠1=30，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和180，從而求得∠3的度數(shù)． 【解答】解∵∠BAC=90，∠ABC=∠ACB， ∴∠ACB=45， ∵∠BDC=∠BCD，∠BCD=∠ACB+∠2， ∴∠BDC=∠BCD=45+∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠BDC=∠BCD=45+∠1， ∵∠BDC+∠BCD+∠1=180， ∴2（45+∠1）+∠1=180 ∴∠1=30， ∴∠3==75． 【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵． 　 23．（10分）如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為三邊BC，BA，AC上的點，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70，求∠EDF的度數(shù)． 【考點】平行線的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠B+∠C=110，再根據(jù)∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，求得∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和，求得∠EDF即可． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180， ∴∠B+∠C=110， ∵∠B=∠DEB，∠C=∠DFC， ∴∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220， ∵∠B+∠DEB+∠C+∠DFC+∠EDB+∠FDC=360， ∴∠EDB+∠FDC=140， 即∠EDF=180﹣140=40 【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的運用，解題時注意：三角形內(nèi)角和是180． 　 24．（10分）如圖所示，已知∠1+∠2=180，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系，并對結(jié)論進行說理． 【考點】平行線的性質(zhì)． 【專題】探究型． 【分析】由圖中題意可先猜測∠AED=∠C，那么需證明DE∥BC．題中說∠1+∠2=180，而∠1+∠4=180所以∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，題中有∠3=∠B，所以應(yīng)根據(jù)平行得到∠3與∠ADE之間的關(guān)系為相等．就得到了∠B與∠ADE之間的關(guān)系為相等，那么DE∥BC． 【解答】證明：∵∠1+∠4=180（鄰補角定義） ∠1+∠2=180（已知） ∴∠2=∠4（同角的補角相等） ∴EF∥AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） ∴∠3=∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又∵∠B=∠3（已知）， ∴∠ADE=∠B（等量代換）， ∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行） ∴∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）． 【點評】本題是先從結(jié)論出發(fā)得到需證明的條件，又從所給條件入手，得到需證明的條件．屬于典型的從兩頭往中間證明． 　 25．（12分）【問題】如圖①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80，則∠BEC=　130?。蝗簟螦=n，則∠BEC=　90+n?。? 【探究】 （1）如圖②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n，則∠BEC=　60+n?。? （2）如圖③，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由； （3）如圖④，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明） 【考點】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】問題：利用三角形的內(nèi)角和等于180求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180列式計算即可得解；將∠A的度數(shù)換成n，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的內(nèi)角和等于180求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180列式計算即可得解； （2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解； （3）根據(jù)平角的定義以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解． 【解答】【問題】解：∵∠A=80， ∴∠ABC+∠ACB=180﹣∠A=180﹣80=100， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=100=50， ∴∠BEC=180﹣（∠EBC+∠ECB）=180﹣50=130； 由三角形的內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180﹣∠A=180﹣n， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=（180﹣n）=90﹣n， ∴∠BEC=180﹣（∠EBC+∠ECB）=180﹣（90﹣n）=90+n； 探究：解：（1）由三角形的內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180﹣∠A=180﹣n， ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=（180﹣n）=120﹣n， ∴∠BEC=180﹣（∠EBC+∠ECB）=180﹣（120﹣n）=60+n； （2）∠BOC=∠A． 理由如下：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC， ∠OCD=∠BOC+∠OBC， ∵O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD， ∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC）， ∴∠A=2∠BOC， ∴∠BOC=∠A； （3）∵O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點， ∴∠OBC=（180﹣∠ABC）=90﹣∠ABC，∠OCB=（180﹣∠ACB）=90﹣∠ACB， 在△OBC中，∠BOC=180﹣∠OBC﹣∠OCB=180﹣（90﹣∠ABC）﹣（90﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）， 由三角形的內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180﹣∠A， ∴∠BOC=（180﹣∠A）=90﹣∠A． 故答案為：130，90+n；（1）60+n． 【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵． 第27頁（共27頁）