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小題標準練(九)
(40分鐘 80分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.設復數(shù)i-21+i=a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位),則a+b= ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【解析】選A.i-21+i=(i-2)(1-i)(1+i)(1-i)=-1+3i2,
故a=-12,b=32,所以a+b=1.
2.若集合A={x|2x>1},集合B={x|ln x>0},則“x∈A”是“x∈B”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】選B. 集合A={x|2x>1}={x|x>0},集合B={x|ln x>0}={x|x>1},則B?A,即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件.
3.設a=log23,b=232,c=3-43,則 ( )
A.b
a=log23>1,b=232>2,c=3-43<1,所以c0,函數(shù)y=sinωx+π3-1的圖象向左平移2π3個單位后與原圖象重合,則ω的最小值是 ( )
A.23 B.43 C.32 D.3
【解析】選D.因為圖象向左平移2π3個單位后與原圖象重合,所以2π3是一個周期的整數(shù)倍.所以2πω=T≤2π3,ω≥3,所以ω最小是3.
8.設雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,線段BF與雙曲線的一條漸近線交于點A,若FA=2AB,則雙曲線的離心率為 ( )
A.6 B.4 C.3 D.2
【解析】選D.設點F(c,0),B(0,b),由FA=2AB,得OA-OF=2(OB-OA),即
OA=13(OF+2OB),所以點Ac3,2b3,因為點A在漸近線y=bax上,則2b3=bac3,
即e=2.
9.已知a與b為兩個不共線的單位向量,k為實數(shù),若向量a+b與ka-b垂直,則k= ( )
A.1 B.3 C.2 D.2
【解析】選A.因為a與b是不共線的單位向量,所以|a|=|b|=1.又ka-b與a+b垂直,所以(a+b)(ka-b)=0,即ka2+kab-ab-b2=0.所以k-1+kab-ab=0,即k-1+kcos θ-cos θ=0(θ為a與b的夾角).所以(k-1)(1+cos θ)=0,又a與b不共線,所以cos θ≠-1,所以k=1.
10.設x,y滿足約束條件y≥0,x-y+1≥0,x+y-3≤0,則z=|x-3y|的最大值為 ( )
A.1 B.3 C.5 D.6
【解析】選C.方法一:作出可行域如圖中陰影部分所示,記z1=x-3y,則y=13x-z13,由圖可知當直線z1=x-3y過點B,C時z1分別取得最大值3和最小值-5.
所以z=|x-3y|的最大值為5.
方法二:z=10|x-3y|10,d=|x-3y|10表示點(x,y)到直線x-3y=0的距離,又B(3,0)到直線x-3y=0的距離為310,C(1,2)到直線x-3y=0的距離為510.所以z的最大值為10510=5.
11.已知函數(shù)f(x)=4x與g(x)=x3+t,若f(x)與g(x)的交點在直線y=x的兩側,則實數(shù)t的取值范圍是 ( )
A.(-6,0] B.(-6,6)
C.(4,+∞) D.(-4,4)
【解析】選B.根據(jù)題意可得函數(shù)圖象,g(x)在點A(2,2)處的取值大于2,在點B(-2,-2)處的取值小于-2,可得g(2)=23+t =8+t>2,g(-2)=(-2)3+t=-8+t<-2,解得t∈(-6,6).
12.F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠F1PF2=π3,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為 ( )
A.433 B.233 C.3 D.2
【解析】選A.方法一:設|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,橢圓長半軸長為a1,雙曲線實半軸長為a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2,由(2c)2=r12+r22-2r1r2cosπ3,得4c2=r12+r22-r1r2.由r1+r2=2a1,r1-r2=2a2 得r1=a1+a2,r2=a1-a2, 所以1e1+1e2=a1+a2c=r1c,令m=r12c2=4r12r12+r22-r1r2=41+r2r12-r2r1=4r2r1-122+34,當r2r1=12時,mmax=163,所以r1cmax=433,即1e1+1e2的最大值為433.
方法二:假定焦點在x軸上,點P在第一象限,F1,F2分別為左、右焦點.設橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),雙曲線的方程為x2m2-y2n2=1(m>0,n>0),它們的離心率分別為e1,e2,則|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在△PF1F2中,4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cosπ3?a2+3m2=4c2?ac2+3mc2=4,則ac2+3mc21+13≥ac+mc2?1e1+1e2=ac+mc≤433,當且僅當a=3m時,等號成立.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)
13.某程序框圖如圖所示,若a=3,則該程序運行后,輸出的x值為____________.
【解析】 第一次循環(huán),x=23+1=7,n=2;
第二次循環(huán),x=27+1=15,n=3;
第三次循環(huán),x=215+1=31,n=4,程序結束,故輸出x=31.
答案:31
14.函數(shù)y=logax+1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線xm+yn-4 =0(m>0,n>0)上,則1m+1n=____________;m+n的最小值為____________.
【解析】由條件知點A的坐標為(1,1),又點A在直線xm+yn-4=0(m>0,n>0)上,所以1m+1n=4,所以m+n=141m+1n(m+n)=142+nm+mn≥142+2nmmn=1,當且僅當nm=mn,即m=n=12時等號成立,所以m+n的最小值為1.
答案:4 1
15.已知橢圓x24+y23=1的左焦點F,直線x=m與橢圓相交于點A,B,當△FAB的周長最大時,△FAB的面積是____________.
【解析】不妨設A(2cos θ,3sin θ),θ∈(0,π),
則△FAB的周長為2(|AF|+3sin θ)=2(2+cos θ+3sin θ)=4+4sin(θ+π6).
當θ=π3,即A(1,32)時,△FAB的周長最大.所以△FAB的面積為S=1223=3.
答案:3
16.如圖,VA⊥平面ABC,△ABC的外接圓是以邊AB的中點為圓心的圓,點M,N,P分別為棱VA,VC,VB的中點,則下列結論正確的有_________.(把正確結論的序號都填上)
①MN∥平面ABC;②OC⊥平面VAC;③MN與BC所成的角為60;④MN⊥OP;⑤平面VAC⊥平面VBC.
【解析】對于①,因為點M,N分別為棱VA,VC的中點,所以MN∥AC,又MN?平面ABC,AC?平面ABC,所以MN∥平面ABC,所以①正確;
對于②,假設OC⊥平面VAC,則OC⊥AC,因為AB是圓O的直徑,所以BC⊥AC,矛盾,所以②不正確;
對于③,因為MN∥AC,且BC⊥AC,所以MN與BC所成的角為90,所以③不正確;
對于④,易得OP∥VA,又VA⊥MN,所以MN⊥OP,所以④正確;
對于⑤,因為VA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以VA⊥BC,又BC⊥AC,且AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC,又BC?平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,所以⑤正確.
答案:①④⑤
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