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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機變量及其分布列 版塊三 離散型隨機變量的期望與方差1完整講義（學(xué)生版） 知識內(nèi)容 1． 離散型隨機變量及其分布列 ⑴離散型隨機變量 如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母表示． 如果隨機變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機變量． ⑵離散型隨機變量的分布列 將離散型隨機變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱這個表為離散型隨機變量的概率分布，或稱為離散型隨機變量的分布列． 2．幾類典型的隨機分布 ⑴兩點分布 如果隨機變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的二點分布． 二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點分布． 兩點分布又稱分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為 ，為和中較小的一個． 我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列． ⑶二項分布 1．獨立重復(fù)試驗 如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)榇为毩⒅貜?fù)試驗．次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … … … 由于表中的第二行恰好是二項展開式 各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布， 記作． 二項分布的均值與方差： 若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． ． 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機變量的期望與方差 1．離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）． 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平． 2．離散型隨機變量的方差 一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個離散型隨機變量的方差． 離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大?。x散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個衡量離散型隨機變量波動大小的量． 3．為隨機變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為，在次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為． ⑵二項分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨立性 如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，即， 這時，我們稱兩個事件，相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件． 如果事件，，…，相互獨立，那么這個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 【例1】 投擲1枚骰子的點數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為（ ） A． B． C． D． 【例2】 同時拋擲枚均勻硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是（ ） A． B． C． D． 【例3】 從這6個數(shù)中任取兩個，則兩數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望為 ． 【例4】 一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中率為，現(xiàn)共有顆子彈，命中后尚余子彈數(shù)目的期望為（ ） A． B． C． D． 【例5】 一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計其它得分情況），則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【例6】 一家保險公司在投保的50萬元的人壽保險的保單中，估計每一千保單每年有15個理賠，若每一保單每年的營運成本及利潤的期望值為200元，試求每一保單的保費． 【例7】 甲乙兩人獨立解出某一道數(shù)學(xué)題的概率依次為，已知該題被甲或乙解出的概率為，甲乙兩人同時解出該題的概率為，求： ⑴； ⑵解出該題的人數(shù)的分布列及． 【例8】 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望． 【例9】 某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近周的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示： 周銷售量 2 3 4 頻數(shù) 20 50 30 ⑴根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率； ⑵已知每噸該商品的銷售利潤為千元，表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元）．若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例10】 某項考試按科目、科目依次進行，只有當(dāng)科目成績合格時，才可繼續(xù)參加科目的考試．已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項考試，科目每次考試成績合格的概率均為，科目每次考試成績合格的概率均為．假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望． 【例11】 某同學(xué)如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外（環(huán)數(shù)記為0）的概率為，飛鏢落在靶內(nèi)的各個點是橢機的．已知圓形靶中三個圓為同心圓，半徑分別為、、，飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖中標(biāo)示．設(shè)這位同學(xué)投擲一次一次得到的環(huán)數(shù)這個隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【例12】 某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為 商場經(jīng)銷一件該商品，采用期付款，其利潤為元；分期或期付款，其利潤為元；分期或期付款，其利潤為元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤． ⑴ 求事件：“購買該商品的位顧客中，至少有位采用期付款”的概率； ⑵ 求的分布列及期望． 【例13】 學(xué)校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有人，會跳舞的有人，現(xiàn)從中選人．設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且． ⑴求文娛隊的人數(shù)； ⑵寫出的概率分布列并計算期望． 【例14】 一接待中心有、、、四部熱線電話．已知某一時刻電話、占線的概率為，電話、占線的概率為，各部電話是否占線相互之間沒有影響．假設(shè)該時刻有部電話占線，試求隨機變量的概率分布和它的期望． 【例15】 某城市有甲、乙、丙個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值．求的分布及數(shù)學(xué)期望． 【例16】 某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響． ⑴ 求該選手被淘汰的概率； ⑵ 該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望． （注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示） 【例17】 在某次測試中，甲、乙、丙三人能達標(biāo)的概率分別為，，，在測試過程中，甲、乙、丙能否達標(biāo)彼此間不受影響． ⑴求甲、乙、丙三人均達標(biāo)的概率； ⑵求甲、乙、丙三人中至少一人達標(biāo)的概率； ⑶設(shè)表示測試結(jié)束后達標(biāo)人數(shù)與沒達標(biāo)人數(shù)之差的絕對值，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 【例18】 在1，2，3，…，9這個自然數(shù)中，任取個數(shù)． ⑴ 求這個數(shù)中恰有個是偶數(shù)的概率； ⑵ 設(shè)為這個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時的值是2）．求隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望． 【例19】 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求： ⑴ 至少有人面試合格的概率； ⑵ 簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例20】 某公司“咨詢熱線”電話共有8路外線，經(jīng)長期統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在8點到10點這段時間內(nèi)，外線電話同時打入情況如下表所示： 電話同時打入個數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 概率 0 0 ⑴若這段時間內(nèi)，公司只安排了2位接線員（一個接線員一次只能接一個電話）． ①求至少一種電話不能一次接通的概率； ②在一周五個工作日中，如果至少有三個工作日的這段時間（8點至10點）內(nèi)至少一路電話不能一次接通，那么公司的形象將受到損害，現(xiàn)用該事件的概率表示公司形象的“損害度”，求上述情況下公司形象的“損害度”． ⑵求一周五個工作日的這段時間（8點至10點）內(nèi)，電話同時打入數(shù)的期望． 【例21】 某先生居住在城鎮(zhèn)的處，準(zhǔn)備開車到單位處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖．（ 例如：算作兩個路段：路段發(fā)生堵車事件的概率為，路段發(fā)生堵車事件的概率為）．記路線中遇到堵車次數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學(xué)期望． 【例22】 口袋里裝有大小相同的個紅球和個白球，甲、乙兩人依規(guī)則從袋中有放回摸球，每次摸出一個球，規(guī)則如下：若一方摸出一個紅球，則此人繼續(xù)下一次摸球；若一方摸出一個白球，則由對方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互獨立，并由甲進行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得紅球的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【例23】 某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有個白球、個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金元；摸出兩個紅球可獲得獎金元．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額．求： ⑴的概率分布；⑵的期望． 【例24】 如圖所示，甲、乙兩只小螞蟻分別位于一個單位正方體的點和點處，每只小螞蟻都可以從每一個頂點處等可能地沿各條棱向每個方向移動，但不能按原路線返回．如：甲在時可沿，，三個方向移動，概率都是，到達點時，可沿，兩個方向移動，概率都是．已知小螞蟻每秒鐘移動的距離為1個單位． ⑴如果甲、乙兩只小螞蟻都移動1秒，則它們所走的路線是異面直線的概率是多少？ ⑵若乙螞蟻不動，甲螞蟻移動3秒后，甲、乙兩只小螞蟻間的距離的期望值是多少？ 【例25】 從集合的所有非空子集中，等可能地取出一個． ⑴記性質(zhì)集合中的所有元素之和為，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)的概率； ⑵記所取出的非空子集的元素個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例26】 某地有、、、四人先后感染了甲型流感，其中只有到過疫區(qū)．肯定是受感染的．對于，因為難以斷定他是受還是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同樣也假定受、和感染的概率都是．在這種假定之下，、、中直接受感染的人數(shù)就是一個隨機變量．寫出的分布列（不要求寫出計算過程），并求的均值（即數(shù)學(xué)期望）． 【例27】 ⑴用紅、黃、藍、白四種不同顏色的鮮花布置如圖一所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域用不同顏色鮮花，問共有多少種不同的擺放方案? ⑵用紅、黃、藍、白、橙五種不同顏色的鮮花布置如圖二所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域使用不同顏色鮮花．求恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率． ⑶條件同⑵，記花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)為，求它的分布列及其數(shù)學(xué)期望． 【例28】 有甲、乙兩個箱子，甲箱中有張卡片，其中有張寫有數(shù)字，張寫有數(shù)字，張寫有數(shù)字；乙箱中有張卡片，其中張寫有數(shù)字，張寫有數(shù)字，張寫有數(shù)字． ⑴如果從甲箱中取出張卡片，乙箱中取出張卡片，那么取得的張卡片都寫有數(shù)字的概率是多少？ ⑵從甲、乙兩個箱子中各取一張卡片，設(shè)取出的張卡片數(shù)字之積為，求的分布列和期望． 【例29】 兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，隊隊員是，隊隊員是，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下： 對陣隊員 隊隊員勝的概率 隊隊員負的概率 對 對 對 現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得分，負隊得分．設(shè)隊、隊最后總分分別為．求的期望． 【例30】 連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第次得到的點數(shù)為，若存在正整數(shù)，使，則稱為你的幸運數(shù)字． ⑴求你的幸運數(shù)字為的概率； ⑵若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字則記分．求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例31】 在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投次；在處每投進一球得分，在處每投進一球得分；如果前兩次得分之和超過分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在處的命中率為，在處的命中率為，該同學(xué)選擇先在處投一球，以后都在處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為 0 2 3 4 5 ⑴ 求的值； ⑵ 求隨機變量的數(shù)學(xué)期望； ⑶ 試比較該同學(xué)選擇都在處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大?。? 【例32】 在奧運會射箭決賽中，參賽號碼為號的四名射箭運動員參加射箭比賽． ⑴通過抽簽將他們安排到號靶位，試求恰有兩名運動員所抽靶位號與其參賽號碼相同的概率； ⑵記號、號射箭運動員射箭的環(huán)數(shù)為（所有取值為）的概率分別為、．根據(jù)教練員提供的資料，其概率分布如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 ①若1，2號運動員各射箭一次，求兩人中至少有一人命中9環(huán)的概率； ②判斷1號，2號射箭運動員誰射箭的水平高？并說明理由． 【例33】 某人有10萬元，準(zhǔn)備用于投資房地產(chǎn)或購買股票，如果根據(jù)盈利表進行決策，那么，合理的投資方案應(yīng)該是哪種？ 盈利概率 購買股票盈利 投資房地產(chǎn)盈利 巨大成功 10萬元 8萬元 中等成功 3萬元 4萬元 失敗 萬元 萬元 【例34】 甲、乙兩名工人加工同一種零件，分別檢測5個工件，結(jié)果分別如下： 試比較他們的加工水平． 【例35】 一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件，投資萬元，開發(fā)成功的概率為，若開發(fā)不成功，則只能收回萬元的資金，若開發(fā)成功，投放市場前，召開一次新聞發(fā)布會，召開一次新聞發(fā)布會不論是否成功都需要花費萬元，召開新聞發(fā)布會成功的概率為，若發(fā)布成功則可以銷售萬元，否則將起到負面作用只能銷售萬元，而不召開新聞發(fā)布會則可銷售萬元． ⑴求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率． ⑵如果開發(fā)成功就召開新聞發(fā)布會的話，求開發(fā)商的盈利期望． ⑶如果不召開新聞發(fā)布會，求開發(fā)商盈利的期望值，并由此決定是否應(yīng)該召開新聞發(fā)布會． 【例36】 某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為，一旦發(fā)生，將造成萬元的損失．現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用．單獨采用甲、乙預(yù)防措施所需的費用分別為萬元和萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為和．若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費用最少．（總費用＝采取預(yù)防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值．） 【例37】 最近，李師傅一家三口就如何將手中的萬塊錢投資理財，提出了三種方案： 第一種方案：將萬塊錢全部用來買股票．據(jù)分析預(yù)測：投資股市一年可能獲利，也可能虧損（只有這兩種可能），且獲利的概率為； 第二種方案：將萬塊錢全部用來買基金．據(jù)分析預(yù)測：投資基金一年可能獲利，也可能損失，也可能不賠不賺，且三種情況發(fā)生的概率分別為； 第三種方案：將萬塊錢全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款利率為，存款利息稅率為． 針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財方法，并說明理由． 【例38】 某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施；若實施方案一，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的倍、倍、倍的概率分別是、、；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概率分別是、．若實施方案二，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前的倍、倍、倍的概率分別是、、；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概率分別是、．實施每種方案，第二年與第一年相互獨立．令表示方案實施兩年后柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)． ⑴寫出的分布列； ⑵實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？ ⑶不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益萬元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益萬元；問實施哪種方案所帶來的平均效益更大？ 【例39】 某企業(yè)準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式如下表所示： 市場情形 概率 價格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式 好 中 差 設(shè)分別表示市場情形好、中差時的利潤，隨機變量，表示當(dāng)產(chǎn)量為，而市場前景無法確定的利潤． ⑴分別求利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式； ⑵當(dāng)產(chǎn)量確定時，求期望； ⑶試問產(chǎn)量取何值時，市場無法確定的利潤取得最大值． 【例40】 某電器商由多年的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)本店出售的電冰箱的臺數(shù)是一個隨機變量，它的分布列，設(shè)每售出一臺電冰箱，該臺冰箱可獲利元，若售不出則囤積在倉庫，每臺需支付保管費元/月，問：該電器商月初購進多少臺電冰箱才能使自己的月平均收入最大？ 【例41】 某鮮花店每天以每束元購入新鮮玫瑰花并以每束元的價格銷售，店主根據(jù)以往的銷售統(tǒng)計得到每天能以此價格售出的玫瑰花數(shù)的分布列如表所示，若某天所購進的玫瑰花未售完，則當(dāng)天未售出的玫瑰花將以每束元的價格降價處理完畢． ⑴若某天店主購入玫瑰花束，試求該天其從玫瑰花銷售中所獲利潤的期望； ⑵店主每天玫瑰花的進貨量（，單位：束）為多少時，其有望從玫瑰花銷售中獲取最大利潤?