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專題21 拋物線 一、基礎(chǔ)過關(guān)題 1.（2018全國卷III）已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩 點．若，則________． 【答案】 【解析】依題意得，拋物線的焦點為，故可設(shè)直線， 聯(lián)立消去得，設(shè)，， 則，，∴，.又，， ∴ ，∴. 2．(2017昆明調(diào)研)已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過F的直線與拋物線C交于A、B兩點，如果＝－12，那么拋物線C的方程為( ) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 【答案】 C 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【答案】 B 【解析】 ∵y2＝2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為(，0)， ∴過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－， 即x＝y(tǒng)＋，將其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2， 即y2－2py－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝2p，∴＝p＝2， ∴拋物線的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1. 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于( ) A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 【答案】 A 5.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準(zhǔn)線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為( ) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 【答案】 C 【解析】 如圖，分別過A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1， 6．拋物線y2＝4x的焦點為F，點P(x，y)為該拋物線上的動點，若點A(－1,0)，則的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，如圖， 過P作PN垂直直線x＝－1于N， 由拋物線的定義可知|PF|＝|PN|，連接PA， 在Rt△PAN中，sin∠PAN＝， 當(dāng)＝最小時，sin∠PAN最小，即∠PAN最小，即∠PAF最大， 此時，PA為拋物線的切線，設(shè)PA的方程為y＝k(x＋1)， 聯(lián)立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝1，所以∠PAF＝∠NPA＝45， ＝＝cos∠NPA＝，故選B. 7．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，則|AB|＝________. 【答案】 12 8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若＝，則p＝________. 【答案】 2 【解析】 如圖， 由AB的斜率為， 知∠α＝60，又＝，∴M為AB的中點． 過點B作BP垂直準(zhǔn)線l于點P， 則∠ABP＝60，∴∠BAP＝30， ∴|BP|＝|AB|＝|BM|. ∴M為焦點，即＝1，∴p＝2. 9．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|＝________. 【答案】 6 【解析】 拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2. 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，由題意，c＝2，＝， 可得a＝4，b2＝16－4＝12. 故橢圓方程為＋＝1. 把x＝－2代入橢圓方程，解得y＝3.從而|AB|＝6. 10．(2016沈陽模擬)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則拋物線C的方程為( ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 【答案】 C 2.設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于點M，且M為線段AB的中點．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是________________． 【答案】 (2,4) 【解析】 如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 當(dāng)l的斜率k不存在時，符合條件的直線l必有兩條． 3．設(shè)P，Q是拋物線y2＝2px(p>0)上相異兩點，P，Q到y(tǒng)軸的距離的積為4，且＝0. (1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過點Q的直線與拋物線的另一交點為R，與x軸的交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值． 【答案】(1)該拋物線的方程為y2＝2x；(2) |PR|最小值為4. 【解析】(1)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∵＝0，則x1x2＋y1y2＝0. 又點P，Q在拋物線上，∴y＝2px1，y＝2px2， 代入得12＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2，∴|x1x2|＝＝4p2. 又|x1x2|＝4，∴4p2＝4，p＝1，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x. (2)設(shè)直線PQ過點E(a,0)且方程為x＝my＋a， 聯(lián)立方程組消去x得y2－2my－2a＝0，∴① 設(shè)直線PR與x軸交于點M(b,0)，則可設(shè)直線PR的方程為x＝ny＋b，并設(shè)R(x3，y3)，同理可知， ② 由①②可得＝. 由題意得，Q為線段RT的中點，∴y3＝2y2，∴b＝2a. 又由(1)知，y1y2＝－4，代入①， 可得－2a＝－4，∴a＝2，∴b＝4，y1y3＝－8， ∴|PR|＝|y1－y3|＝＝2≥4. 當(dāng)n＝0，即直線PR垂直于x軸時，|PR|取最小值4. 4.如圖，由部分拋物線：y2＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圓x2＋y2＝r2(x≤0)所組成的曲線稱為“黃金拋物線C”，若“黃金拋物線C”經(jīng)過點(3,2)和(－，)． (1)求“黃金拋物線C”的方程； (2)設(shè)P(0,1)和Q(0，－1)，過點P作直線l與“黃金拋物線C”相交于A，P，B三點，問是否存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 【答案】(1) 黃金拋物線C的方程為y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)；(2) 存在直線l：y＝(－1)x＋1，使得QP平分∠AQB. (2)假設(shè)存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，顯然直線l的斜率存在且不為0， 設(shè)直線l：y＝kx＋1，聯(lián)立消去y， 得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝，yB＝，即B(，)，∴kBQ＝， 聯(lián)立消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0， ∴xA＝－，yA＝，即A(－，)，∴kAQ＝－， ∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0， ∴－＝0，解得k＝－1， 由圖形可得k＝－1－應(yīng)舍去，∴k＝－1， ∴存在直線l：y＝(－1)x＋1，使得QP平分∠AQB. 5. （2018高考北京卷19）已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N． （Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值． （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直線PA的方程為y–2=． 令x=0，得點M的縱坐標(biāo)為． 同理得點N的縱坐標(biāo)為． 由，得，． 所以． 所以為定值． 6．（2018高考浙江卷21）如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上． （Ⅰ）設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸； （Ⅱ）若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以，． 因此，的面積． 因為，所以． 因此，面積的取值范圍是． 點評．本題主要考查橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力和綜合應(yīng)用能力。