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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.3 待定系數(shù)法（測）理 （一）選擇題（12*5=60分） 1. 1．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的定義域為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意得，冪函數(shù)，所以定義域為.故選D. 2．若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 3．【xx屆山東省濟(jì)寧市高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點，若冪函數(shù)的圖象過點，則的值等于( )( ) A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】令，得.此時,所以函數(shù). 由題意得，解得.選B. 4. 一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ） （A）或 （B） 或 （C）或 （D）或 【答案】D 【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點 ，設(shè)反射光線所在直線的斜率為 ，則反身光線所在直線方程為： ，即：，又因為光線與圓相切， 所以， ,整理： ，解得： ，或 ,故選D． 5.【xx屆湖北省天門、仙桃、潛江高三上學(xué)期期末】函數(shù)的圖像如圖所示，則的值等于 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】由圖知 , 所以 ，選B. 6.設(shè)斜率為2的直線過拋物線 的焦點F，且和y軸交于點A. 若為坐標(biāo)原點)的面積為，則拋物線的方程為（ ） A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝8x 【答案】 【解析】試題分析：的焦點是，直線的方程為，令得，所以由的面積為得，，故選. 7.中心為原點，焦點在軸上，離心率為，且與直線相切的橢圓的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 8.已知雙曲線的左焦點為F，左頂點為C，過點F作圓O：的兩條切線，切點為A、B，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】連結(jié)，則，由，得為正三角形，∴，又在中，可得，∴，∴，∴雙曲線的漸近線方程為. 9.【xx屆廣東省深圳市高三第一次調(diào)研】函數(shù) (， 是常數(shù)， ， )的部分圖象如圖所示，為得到函數(shù)，只需將函數(shù)的圖象( ) A. 向左平移個長度單位 B. 向右平移個長度單位 C. 向左平移個長度單位 D. 向右平移個長度單位 【答案】A 【解析】由圖象可得， ， ，則時， 時，可得， ，將向左平移個單位，可得，所以為得到函數(shù)，只需將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位，故選A. 10．【xx屆山東省菏澤市高三第一學(xué)期期末九校聯(lián)】函數(shù) 的部分圖像如圖所示，則當(dāng)時， 的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 11.已知數(shù)列，，其中是首項為3，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且，，，則的前項和為（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 由題意，得，又由，，可得．因為公差為整數(shù)，所以，所以．因為，即，所以，所以數(shù)列是以8為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以，故選C． 12.【xx屆華大新高考聯(lián)盟高三1月】拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，開口向上，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 的一個頂點，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】雙曲線的下頂點為，據(jù)此結(jié)合題意可知： ， 拋物線的方程為： ，即. 本題選擇A選項. （二）填空題（4*5=20分） 13.【xx屆天津市部分區(qū)高三上學(xué)期期末】以點為圓心的圓與直線相切于點，則該圓的方程為__________． 【答案】 【解析】由題意設(shè)圓的方程為， 根據(jù)條件得，解得． ∴該圓的方程為． 答案： 14.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，，稱等比數(shù)列，且， ． 【答案】 【解析】 設(shè)數(shù)列的前項和為，公差為，則，可得 ①，又②，由①-②得，，故答案為. 15.已知函數(shù) 的圖像如圖所示，則 . 【答案】0 【解析】∵由圖形可知A=2，∴函數(shù)的解析式是,∵在函數(shù)的圖象上， 16.【xx屆福建省閩侯第四中學(xué)高三上學(xué)期期末】已知拋物線： 的焦點也是橢圓： 的一個焦點，點， 分別為曲線， 上的點，則的最小值為__________． 【答案】2 （三）解答題（共6道小題，共70分） 17.已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足是與的等差中項，且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設(shè)，且為數(shù)列的前項和，求數(shù)列的的前項和. 【答案】（I）；（II）. 【解析】 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知，且， ∴，解得，故.……………………………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以.………………………………………………（7分） ∴，……………………………………………………………（8分） 故數(shù)列的前項和為 .……………………………………………………………………………（10分） 18.已知二次函數(shù)的最小值為，且. （1）求的解析式； （2）若在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍； （3）在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) ;(2) ;(3) . 【解析】試題分析: (1)由, 根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得函數(shù)的對稱軸,又已知函數(shù)的最小值,可設(shè)二次函數(shù)的頂點式,再，得值,可得二次函數(shù);(2)二次函數(shù)在區(qū)間不單調(diào),則對稱軸方程在此區(qū)間內(nèi),可得關(guān)于的不等式,解不等式即可;(3)將圖像問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,即在區(qū)間上恒成立,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值大于的問題.可得的范圍. 試題解析: (1)，故二次函數(shù)關(guān)于直線對稱，又由二次函數(shù)的最小值為，故可設(shè) ，由，得，故. (2)要使函數(shù)不單調(diào)，則，則. (3)若在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，即在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，則只要，而，得. 19.【xx屆廣東省汕頭市高三上學(xué)期期末】已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過曲線與軸的交點. (1) 求圓的方程； (2) 已知過坐標(biāo)原點的直線與圓交兩點，若，求直線的方程. 【答案】（1）（2）或. 試題解析： （1)在中， 令，得， 解得或， 所以曲線與軸的交點坐標(biāo)為． 設(shè)圓的方程為， 依題意得， 解得， 所以圓的方程為． (2)解法一： 由題意知直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為． 由消去整理得 ， 因為直線與圓交兩點， 所以． 設(shè)， 則 因為， 所以， 所以 解得或， 經(jīng)檢驗得或滿足， 所以直線的方程為或. 解法二： 如圖取的中點，連接， 則 設(shè) 由，得 由 所以 解得 所以圓心到直線的距離等于2， 設(shè)直線的方程為，即 所以， 解得或， 所以直線的方程為或. 解法三： 設(shè)直線的傾斜角為,則直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))． 把代入并整理得： 設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為， 則 因為， 所以， ， 所以 所以， 所以 所以， 所以或 所以直線的方程為或. 20.【xx屆山西省晉中市高三1月高考適應(yīng)性調(diào)研】已知拋物線： （）的焦點是橢圓： （）的右焦點，且兩曲線有公共點 （1）求橢圓的方程； （2）橢圓的左、右頂點分別為， ，若過點且斜率不為零的直線與橢圓交于， 兩點，已知直線與相較于點，試判斷點是否在一定直線上？若在，請求出定直線的方程；若不在，請說明理由. 【答案】(1) (2) 點在定直線上 【解析】試題分析：（1）由條件易得： ，從而得到橢圓的方程； （2）先由特殊位置定出，猜想點在直線上，由條件可得直線的斜率存在， 設(shè)直線，聯(lián)立方程，消得： 有兩個不等的實根，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化條件即可. （2）方法一 當(dāng)點為橢圓的上頂點時，直線的方程為，此時點， ，則直線和直線，聯(lián)立，解得， 當(dāng)點為橢圓的下頂點時，由對稱性知： . 猜想點在直線上，證明如下： 由條件可得直線的斜率存在，設(shè)直線， 聯(lián)立方程， 消得： 有兩個不等的實根， ， 設(shè)，則， 則直線與直線 聯(lián)立兩直線方程得（其中為點橫坐標(biāo)） 將代入上述方程中可得， 即， 即證 將代入上式可得 ，此式成立 ∴點在定直線上. 方法二 由條件可得直線的斜率存在， 設(shè)直線 聯(lián)立方程， 消得： 有兩個不等的實根， ， 設(shè)，則， ， 由， ， 三點共線，有： 由， ， 三點共線，有： 上兩式相比得 ， 解得 ∴點在定直線上． 21.【xx屆廣東省深圳市高三第一次調(diào)研】已知橢圓的離心率為，直線與橢圓有且只有一個交點. (1)求橢圓的方程和點的坐標(biāo)； (2) 為坐標(biāo)原點，與平行的直線與橢圓交于不同的兩點， ，求的面積最大時直線的方程. 【答案】（1）橢圓的方程為，點的坐標(biāo)為；（2）或. 【解析】試題分析：(1) 根據(jù)橢圓的離心率為，直線與橢圓有且只有一個交點，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得結(jié)果；(2) 設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，聯(lián)立消去，利用韋達(dá)定理，弦長公式以及點到直線距離公式與三角形面積公式可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果. 試題解析：(1)由，得，故. 則橢圓的方程為. 由，消去，得.① 由，得. 故橢圓的方程為. 所以，所以點的坐標(biāo)為； (2)設(shè)直線的方程為， 設(shè)， ，聯(lián)立消去，得， 則有， 由，得， . 設(shè)原點到直線的距離為. 則. 所以. 所以當(dāng)時，即時， 的面積最大. 所以直線的方程為或. 【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求. 22．【xx屆海南省高三上學(xué)期期末】已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上， 的中心和的頂點均為原點，從， 上分別取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中： 3 -2 4 0 -4 （1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) ： .；(2) . 【解析】試題分析：（1）先分析出點， 在拋物線上，點， 在橢圓上，利用待定系數(shù)法可得到的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)， ，將代入橢圓方程，消去得，利用韋達(dá)定理以及中點坐標(biāo)公式可得線段的垂直平分線的方程為，由點在直線上，得，結(jié)合判別式大于零可得實數(shù)的取值范圍. （2）設(shè)， ，將代入橢圓方程，消去得， 所以，即.① 由根與系數(shù)關(guān)系得，則， 所以線段的中點的坐標(biāo)為. 又線段的垂直平分線的方程為， 由點在直線上，得， 即，所以， 由①得，所以，即或， 所以實數(shù)的取值范圍是.