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第十二講 分式及其運(yùn)算 1. 掌握分式的概念，能求出分式有意義，分式值為 0、為 1 的條件。 2. 掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式約分 3. 會進(jìn)行分式的加減、乘法、除法、乘方運(yùn)算。 1. 掌握分式方程的混合運(yùn)算，了解驗(yàn)根的含義。 2. 掌握零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的意義。 3. 會列出分式方程解簡單的應(yīng)用題。 一、分式的基本概念及性質(zhì) 1. 概念：一般地，如果 A，B 表示兩個整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A∕B 叫做分式（B≠0）。 ①在分式中 A 稱為分式的分子，B 稱為分式的分母。 ②對于任意一個分式，分母都不能為 0，否則分式無意義。 ③分式值為 0 的條件：在分母不等于 0 的前提下，分子等于 0，則分?jǐn)?shù)值為 0。 2. 分式的基本性質(zhì)和變形應(yīng)用 （1） 分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為 0 的整式，分式的值不變。 （2） 約分:把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分． 3. 最簡分式:一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式。約分時，一般將一個分式化為最簡分式。 二、分式的運(yùn)算 1．分式的四則運(yùn)算： ①同分母分式加減法則:同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。 ②異分母分式加減法則:異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算。 ③分式的乘法法則:兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。 ④分式的除法法則:兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。 三、分式方程 1. 概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 2. 解分式方程的基本思想：將分式方程化為一元一次方程，復(fù)雜的（可化為一元二次方程）分式方程的基本思想也一樣，就是設(shè)法將分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程。 考點(diǎn)/易錯點(diǎn) 1 分式的約分步驟:①如果分式的分子和分母都是單項(xiàng)式或者是幾個因式乘積的形式，將它們的公因式約去。 ②分式的分子和分母都是多項(xiàng)式，將分子和分母分別分解因式，再將公因式約去。 考點(diǎn)/易錯點(diǎn) 2 解分式方程的基本方法： （1） 去分母法：去分母法是解分式方程的一般方法，在方程兩邊同時乘以各分式的最簡公分母，使分式方 程轉(zhuǎn)化為整式方程。但要注意，可能會產(chǎn)生增根。所以，必須驗(yàn)根。 ①產(chǎn)生增根的原因:當(dāng)最簡公分母等于 0 時，這種變形不符合方程的同解原理，這時得到的整式方程的解不一定是原方程的解。 ②檢驗(yàn)根的方法：將整式方程得到的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，看方程左右兩邊是否相等。 為了簡便，可把解得的根直接代入最簡公分母中，如果不使公分母等于 0，就是原方程的根;如果使公分母等于 0，就是原方程的增根。必須舍去。 （2） 換元法：為了解決某些難度較大的代數(shù)問題，可通過添設(shè)輔助元素(或者叫輔助未知數(shù))來解決。換元法是解分式方程的一種常用技巧，利用它可以簡化求解過程. 考點(diǎn)/易錯點(diǎn) 3 用換元法解分式方程的一般步驟： ①設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式； ②解所得到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值； ③把輔助未知數(shù)的值代回原設(shè)中，求出原未知數(shù)的值； ④檢驗(yàn)做答。 【例 1】給定下面一列分式：??3 ，﹣ ??5 ， ??7 ，﹣ ??9，…，（其中 x 0） ?? ??2 ??3 ??4 ≠ （1） 把任意一個分式除以前面一個分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ （2） 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第 7 個分式． ?? ?? ??5 ??3 ??2 ??7 ??5 ??2 x2 【答案】解：（1）﹣??2 ?? =﹣ ?? ； （﹣ 2）=﹣ ?? …規(guī)律是任意一個分式除以前面一個分式恒等于- y ； 3 x 15 （2）第 7 個分式應(yīng)該是- ． y7 x 2 【解析】依據(jù)題意，把任意一個分式除以前面一個分式，得到- ，則可以根據(jù)這個規(guī)律寫出后續(xù)的分式。 y 【例 2】若 a xx，b xx，試不用將分?jǐn)?shù)化小數(shù)的方法比較 a、b 的大?。^察 a、b 的特征，以及你比 =xx =xx 較大小的過程，直接寫出你發(fā)現(xiàn)的一個一般結(jié)論． 【答案】解：若 m、n 是任意正整數(shù)，且 m＞n，則?? ＜ ??+1 ． ?? ??+1 若 m、n 是任意正實(shí)數(shù)，且 m＞n，則?? ＜ ??+1 ． ?? ??+1 若 m、n、r 是任意正整數(shù)，且 m＞n；或 m、n 是任意正整數(shù)，r 是任意正實(shí)數(shù)，且 m＞n，則 ?? ＜ ??+??． ?? ??+?? 若 m、n 是任意正實(shí)數(shù)，r 是任意正整數(shù)，且 m＞n；或 m、n、r 是任意正實(shí)數(shù)，且 m＞n，則 ?? ＜ ??+??． ?? ??+?? 【解析】可推斷出如果分式的分子和分母都加一個任意的正數(shù)后，得到的新的分式比原來的大． 【例 33+13 3+1 53+23 5+2 3】“約去”指數(shù)：如 3 3 = 3+2， 3 3 = 5+3，… 3 +2 5 +3 你見過這樣的約分嗎？面對這荒謬的約分，一笑之后，再認(rèn)真檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果竟然正確！這是什么原因？ ??3+??3  ??+?? 仔細(xì)觀察式子，我們可作如下猜想： 3 = ??+（??﹣?? ，試說明此猜想的正確性．（供參考： x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2）） ??3+（??﹣??） ） 證明：∵ 【答案】 ??3+??3 ??3+（??﹣??） （??+??）（??2﹣????+??2） 3=（??+??﹣??）（??2﹣??2+????+??2﹣2????+??2  ??+?? = ， ） ??+??﹣?? ∴ ??3+??3 = ??+?? 3 ??+（??﹣??  正確． ??3+（??﹣??） ） 【解析】 3 3 2 2 ??3+??3  ??+?? 根據(jù) x +y =（x+y）（x ﹣xy+y ），證明 ??3+（??﹣??） 3 = ??+（??﹣?? 成立。 ） b c a c a b 【例 4】已知 a+b+c=0，求a 1 + 1 + b 1 + 1 + c 1 + 1 的值． 【答案】﹣3． 【答案】解：原式= a + a + b + b + c + c = a + c + a + b + b + c b c c a a b b c a -b -c ∵a+b+c=0，則 a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，∴原式= + -a + = -3 ． b c a -3 【例 5】計(jì)算： 1 +|3﹣π|+10． 【答案】2 +π﹣2． 【解析】解：原式= ( 2 )3 +π﹣3+1=2  +π﹣3+1=2  +π﹣2． 【例 6】甲、乙兩容器內(nèi)都盛有酒精，甲有 v1 千克，乙有 v2 千克．甲中純酒精與水（重量）之比為 m1：n1， 乙中純酒精與水之比為 m2：n2，問將兩者混合后所得液體中純酒精與水之比是多少？ 【答案】解：∵甲有 v1 千克，甲中純酒精與水（重量）之比為 m1：n1， ∴甲中的純酒精的重量為 v1 ??1 = ??1??1 ；甲中的水的重量為 v1 ??1 = ??1??1 ； ??1+??1 ??1+??1 ??1+??1 ??1+??1 同理可得乙中的純酒精的重量為 ??2??2 ，水的重量為 ??2??2 ， ??2+??2 ??2+??2 ∴ 兩 者 混 合 后 所 得 液 體 中 純 酒 精 與 水 之 比 為 ：（ ??1??1 ??1+??1 + ??2??2 ??2+??2 ） （ ??1??1 ??1+??1 + ??2??2 ） ??2+??2 =??1??1??2+??1??1??2+??2??1??2+??2??2??1． ??1??2??1+??1??1??2+??2??1??2+??2??1??2 【解析】分別求得甲容器中的純酒精和水，乙容器中的純酒精和水，讓純酒精相加后除以水的和即為將兩者混合后所得液體中純酒精與水之比． 1. 在學(xué)習(xí)第 9 章第 1 節(jié)“分式”時，小明和小麗都遇到了“當(dāng) x 取何值時， ??+2 有意義” ??2﹣4 小明的做法是：先化簡 ??+2 = ??+2 = 1 ，要使 1 有意義，必須 x﹣2≠0，即 x≠2； ??2﹣4 （??﹣2）（??+2） ??﹣2 ??﹣2 小麗的做法是：要使 ??+2 有意義，只須 x2﹣4≠0，即 x2≠4，所以 x1≠﹣2，x2≠2． ??2﹣4 如果你與小明和小麗是同一個學(xué)習(xí)小組，請你發(fā)表一下自己的意見． 2. 下列分式，當(dāng) x 取何值時有意義． （1）2??+1； （2） 3+??2 ． 3??+2 2??﹣3 2??+?? 3. 已知分式??﹣?? ，當(dāng) x=2 時，分式的值為零；當(dāng) x=﹣2 時，分式?jīng)]有意義．求 a+b 的值． 4. 已知x=﹣1時，分式(x﹣b)/(x+a)無意義，x=4時分式的值為零，則a+b= ． 5. 仔細(xì)閱讀下面例，解答問題： 例：當(dāng) x 取何值時，分式 ??﹣1  的值為正？ 2??﹣1 解：依題意，得 ??﹣1 ＞0 2??﹣1 2??﹣1＞0 2??﹣1＜0 則有（1） 1﹣??＞?? 或（2） 1﹣??＜0 2 解不等式組（1）得：1＜x＜1；解不等式組（2）得：不等式組無解 2 ∴不等式的解集是：1＜x＜1 ∴當(dāng)＜x＜1 時，分式的值為正 問題：仿照以上方法解答問題：當(dāng) x 取何值時，分式的值為負(fù)？ 1．（1）x 取何值時，分式 ∣??∣﹣3 的值為零？無意義？ ??2﹣6??+9 （??﹣1）（??﹣3） （2）當(dāng) m 等于什么時，分式 ??2﹣3??+2 的值為零． 2. 若分式 2??+4 的值恒為負(fù)值，試求 x 的取值范圍． ??2+3??+2 4﹣1??3+??2 3. 不改變分式的值，把分式3 4 中的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，并使次數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)． 1??2﹣??+1 2 3 4. 已知分式 ??+?? 的值是 a，如果用 m，n 的相反數(shù)代入這個分式所得的值是 b，問 a 與 b 的關(guān)系是否能確 1﹣???? 定？若能確定，求出它們的關(guān)系，若不能確定，請說明理由． 5 1 1 ??+2????+?? ．已知??+??=3，求 的值． 2??﹣3????+2?? ??2 ??5 ??8 ??11 6. 一組按規(guī)律排列的式子：﹣ ， ，﹣ ， ，…（ab≠0），（n 為正整數(shù)）分別寫出第 5 個、第 8 ?? ??2 ??3 ??4 個、第 n 個式子？ 7. 閱讀下列解題過程，然后解題： 題目：已知 ?? = ?? = ?? （a、b、c 互不相等），求 x+y+z 的值． ??﹣?? ??﹣?? ??﹣?? 解：設(shè) ?? = ?? = ?? = ??，則 x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）， ??﹣?? ??﹣?? ??﹣?? ∴x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k?0=0，∴x+y+z=0． 依照上述方法解答下列問題： ??+??  ??+??  ??+?? ??+??﹣?? 已知： 8 ?? = ??﹣13 ?? = ?? ，其中 x+y+z≠0，求??+??+?? 的值． ．若使5??+6 為可約分?jǐn)?shù)，則自然數(shù) n 的最小值應(yīng)是多少？