《2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.2 直線、圓的位置關(guān)系（第1課時）直線與圓的位置關(guān)系講義（含解析）新人教A版必修2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.2 直線、圓的位置關(guān)系（第1課時）直線與圓的位置關(guān)系講義（含解析）新人教A版必修2.doc（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第1課時 直線與圓的位置關(guān)系
[核心必知]
1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入
根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P126～P128，回答下列問題．
(1)怎樣用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系？
提示：利用圓心到直線的距離d與圓半徑的大小關(guān)系判斷它們之間的位置關(guān)系，若d>r，直線與圓相離；若d＝r，直線與圓相切；若d
0，即m>0或m<－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；
當(dāng)Δ＝0，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；
當(dāng)Δ<0，即－0或m<－時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；
當(dāng)d＝2，即m＝0或m＝－時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；
當(dāng)d>2，即－1，
∴點A在圓外．
(1)若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)．因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，
所以＝1，解得k＝－.
所以切線方程為y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
(2)若切線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4的距離也為1，這時直線與圓也相切，
所以另一條切線方程是x＝4，
綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.
圓的切線的求法
(1)點在圓上時
求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－，由點斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程x＝x0或y＝y(tǒng)0.
(2)點在圓外時
①幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．
②代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．
特別注意：切線的斜率不存在的情況，不要漏解．
練一練
2．求過點(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的直線方程．
解：由題意知切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.
∴＝5.
解得k＝或k＝－.
∴所求切線方程為y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
講一講
3．直線l經(jīng)過點P(5,5)并且與圓C: x2＋y2＝25相交截得的弦長為4，求l的方程．(鏈接教材P127—例2)
[思路點撥] 設(shè)出點斜式方程，利用r、弦心距及弦長的一半構(gòu)成三角形可求．
[嘗試解答] 據(jù)題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y－5＝k(x－5)，與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
法一：聯(lián)立方程組
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)25k(k－2)>0，
解得k>0.又x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝
＝
＝
＝ ＝4.
兩邊平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2符合題意．
故直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
法二：如圖所示，|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝|AB|＝4＝2，
則|OH|＝＝.
∴＝，解得k＝或k＝2.
∴直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
求直線與圓相交的弦長的兩種方法
(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程
與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|
＝
＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直線l的斜率k存在)．
練一練
3．求直線l：3x＋y－6＝0被圓C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長．
解：法一：由直線l與圓C的方程，
得消去y，得x2－3x＋2＝0.
設(shè)兩交點A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系有x1＋x2＝3，x1x2＝2，
|AB|＝
＝
＝＝
＝＝.
∴弦AB的長為.
法二：圓C: x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋(y－1)2＝5.
其圓心坐標(biāo)為C(0,1)，半徑r＝，點C(0,1)到直線l的距離為d＝＝，
所以半弦長＝＝＝.所以弦長|AB|＝.
————————————[課堂歸納感悟提升]————————————
1．本節(jié)課的重點是理解直線和圓的三種位置關(guān)系，會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系，能解決直線與圓位置關(guān)系的綜合問題．難點是解決直線與圓的位置關(guān)系．
2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法
(1)直線與圓位置關(guān)系的判斷方法，見講1.
(2)求圓的切線的方法，見講2.
(3)求直線與圓相交時弦長的方法，見講3.
3．本節(jié)課的易錯點是在解決直線與圓位置關(guān)系問題時易漏掉斜率不存在的情況，如講2、講3.
課下能力提升(二十四)
[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]
題組1 直線與圓的位置關(guān)系
1．直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關(guān)系是( )
A．過圓心 B．相切
C．相離 D．相交但不過圓心
解析：選D 圓心(1，－1)到直線3x＋4y＋12＝0的距離d＝＝，0r，即>2，
所以m∈(－2，2)．
題組2 圓的切線問題
4．若直線y＝x＋a與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為( )
A. B．
C．1 D．1
解析：選B 由題意得＝1，所以a＝，故選B.
5．圓心為(3,0)且與直線x＋y＝0相切的圓的方程為( )
A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
解析：選B 由題意知所求圓的半徑r＝＝，故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝3，故選B.
6．(2015重慶高考)若點P(1,2)在以坐標(biāo)原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為________．
解析：設(shè)切線斜率為k，則由已知得： kkOP＝－1.
∴k＝－.∴切線方程為x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
7．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，過點P(2，－1)作圓C的切線，切點為A，B.求直線PA，PB的方程．
解：切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圓心到直線的距離等于，即＝，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切線方程為y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
題組3 圓的弦長問題
8．設(shè)A、B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點，則|AB|＝( )
A．1 B. C. D．2
解析：選D 直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心C(0,0)，則|AB|＝2.
9．過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為，求直線l的方程．
解：由題意，直線與圓要相交，斜率必須存在，設(shè)為k.
設(shè)直線l的方程為y＋2＝k(x＋1)．
又圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1，所以圓心到直線的距離d＝＝＝.解得k＝1或.
所以直線l的方程為y＋2＝x＋1或y＋2＝(x＋1)，
即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.
[能力提升綜合練]
1．已知a，b∈R，a2＋b2≠0，則直線l: ax＋by＝0與圓x2＋y2＋ax＋by＝0的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
解析：選B 聯(lián)立
化簡得x2＋y2＝0，則
即直線l與圓只有一個公共點(0,0)，
因此它們相切，故選B.
2．(2015安徽高考)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
解析：選D 因為直線3x＋4y＝b與圓心為(1,1)，半徑為1的圓相切，所以＝1?b＝2或12，故選D.
3．(2014浙江高考)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
解析：選B 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，則圓心(－1,1)到直線x＋y＋2＝0的距離為＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4.
4．若點P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程為( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0
解析：選D 圓心是點C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直線AB過點P，所以直線AB的方程為x－y－3＝0.
5．過點P(－1,6)且與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直線方程是____________________．
解析：當(dāng)所求直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的方程為y－6＝k(x＋1)，則d＝＝2，解得k＝，此時，直線方程為： 4y－3x－27＝0；當(dāng)所求直線的斜率不存在時，所求直線的方程為x＝－1，驗證可知，符合題意．
答案：4y－3x－27＝0或x＝－1
6．直線l: y＝x＋b與曲線C: y＝有兩個公共點，則b的取值范圍是________．
解析：如圖所示，y＝是一個以原點為圓心，長度1為半徑的半圓，y＝x＋b是一個斜率為1的直線，要使兩圖有兩個交點，連接A(－1,0)和B(0,1)，直線l必在AB以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個臨界位置直線l的b值，當(dāng)直線l與AB重合時，b＝1；當(dāng)直線l與半圓相切時，b＝.所以b的取值范圍是[1，)．
答案：[1，)
7．(1)圓C與直線2x＋y－5＝0切于點(2,1)，且與直線2x＋y＋15＝0也相切，求圓C的方程；
(2)已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程．
解：(1)設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵兩切線2x＋y－5＝0與2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，
∴r＝2，
∴＝r＝2，
即|2a＋b＋15|＝10， ①
＝r＝2，
即|2a＋b－5|＝10，?、?
又∵過圓心和切點的直線與切線垂直，
∴＝，?、?
由①②③解得
∴所求圓C的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m，m)．
∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，
∴圓心到直線y＝x的距離為＝|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m2＝7＋2m2，∴m＝1，
∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
8．已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點．
(1)求四邊形PACB面積的最小值；
(2)直線上是否存在點P，使∠BPA＝60，若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解：(1)如圖，連接PC，由P點在直線3x＋4y＋8＝0上，可設(shè)P點坐標(biāo)為.
所以S四邊形PACB＝2S△PAC＝2|AP||AC|＝|AP|.
因為|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以當(dāng)|PC|2最小時，|AP|最?。?
因為|PC|2＝(1－x)2＋2＝2＋9.
所以當(dāng)x＝－時，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四邊形PACB面積的最小值為2.
(2)由(1)知圓心C到P點距離3為C到直線上點的最小值，若∠APB＝60易得需PC＝2，這是不可能的，所以這樣的點P是不存在的．
2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.2 直線、圓的位置關(guān)系（第1課時）直線與圓的位置關(guān)系講義（含解析）新人教A版必修2.doc
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