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專題能力訓練17 橢圓、雙曲線、拋物線
一、能力突破訓練
1.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓x212+y23=1有公共焦點,則C的方程為( )
A.x28-y210=1 B.x24-y25=1
C.x25-y24=1 D.x24-y23=1
2.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點.已知|AB|=42,|DE|=25,則C的焦點到準線的距離為( )
A.2 B.4
C.6 D.8
3.(2018全國Ⅱ,理5)若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3,則其漸近線方程為( )
A.y=2x B.y=3x
C.y=22x D.y=32x
4.(2018天津,理7)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為( )
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y29=1 D.x29-y23=1
5.設雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點,與雙曲線的一個交點為P,設O為坐標原點.若OP=mOA+nOB(m,n∈R),且mn=,則該雙曲線的離心率為( )
A.322 B.355
C.324 D.
6.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點.若正方形OABC的邊長為2,則a= .
7.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點.若∠MAN=60,則C的離心率為.
8.
如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點P(t,0)(t>0)作不過原點O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點.
(1)求點A,B的坐標;
(2)求△PAB的面積.
注:直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點為切點.
9.
如圖,動點M與兩定點A(-1,0),B(1,0)構成△MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設動點M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設直線y=x+m(m>0)與y軸相交于點P,與軌跡C相交于點Q,R,且|PQ|<|PR|,求|PR||PQ|的取值范圍.
10.已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.
(1)求曲線C的方程;
(2)點Q(x0,y0)(-2
0,b>0)的左、右焦點,O是坐標原點,過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=6|OP|,則C的離心率為( )
A.5 B.2 C.3 D.2
13.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N,若M為FN的中點,則|FN|= .
14.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為 .
15.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點B(1,0),點A是圓C上的動點,線段AB的垂直平分線與線段AC交于點P.
(1)求動點P的軌跡C1的方程;
(2)設M0,15,N為拋物線C2:y=x2上的一動點,過點N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點,求△MPQ面積的最大值.
16.已知動點C是橢圓Ω:x2a+y2=1(a>1)上的任意一點,AB是圓G:x2+(y-2)2=的一條直徑(A,B是端點),CACB的最大值是314.
(1)求橢圓Ω的方程;
(2)已知橢圓Ω的左、右焦點分別為點F1,F2,過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓Ω于P,Q兩點.在線段OF2上是否存在點M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
專題能力訓練17 橢圓、雙曲線、拋物線
一、能力突破訓練
1.B 解析 由題意得ba=52,c=3.
又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,
故C的方程為x24-y25=1.
2.B 解析 不妨設拋物線C的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=R2.
因為|AB|=42,所以可設A(m,22).
又因為|DE|=25,
所以R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,解得p2=16.
故p=4,即C的焦點到準線的距離是4.
3.A 解析 ∵e=ca=3,
∴c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.
∴ba=2.
∵雙曲線焦點在x軸上,∴漸近線方程為y=bax,
∴漸近線方程為y=2x.
4.C 解析 由雙曲線的對稱性,不妨取漸近線y=x.如圖所示,|AD|=d1,|BC|=d2,過點F作EF⊥CD于點E.
由題易知EF為梯形ABCD的中位線,
所以|EF|=12(d1+d2)=3.
又因為點F(c,0)到y(tǒng)=bax的距離為|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.
因為e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以雙曲線的方程為x23-y29=1.故選C.
5.C 解析 在y=x中令x=c,得Ac,bca,Bc,-bca,在雙曲線x2a2-y2b2=1中令x=c得Pc,b2a.
當點P的坐標為c,b2a時,由OP=mOA+nOB,
得c=(m+n)c,b2a=mbca-nbca,則m+n=1,m-n=bc.
由m+n=1,mn=29,得m=23,n=13或m=13,n=23(舍去),
∴bc=13,∴c2-a2c2=19,∴e=324.
同理,當點P的坐標為c,-b2a時,e=324.
故該雙曲線的離心率為324.
6.2 解析 ∵四邊形OABC是正方形,∴∠AOB=45,∴不妨設直線OA的方程即雙曲線的一條漸近線的方程為y=x.∴ba=1,即a=b.又|OB|=22,∴c=22.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.
7.233 解析 如圖所示,由題意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,
∵∠MAN=60,
∴|AP|=32b,|OP|=|OA|2-|PA|2=a2-34b2.
設雙曲線C的一條漸近線y=bax的傾斜角為θ,則tan θ=|AP||OP|=32ba2-34b2.又tan θ=ba,∴32ba2-34b2=ba,解得a2=3b2,
∴e=1+b2a2=1+13=233.
8.解 (1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設直線PA的方程為y=k(x-t),
由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,
由于直線PA與拋物線相切,得k=t.
因此,點A的坐標為(2t,t2).
設圓C2的圓心為D(0,1),點B的坐標為(x0,y0),由題意知:點B,O關于直線PD對稱,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.
因此,點B的坐標為2t1+t2,2t21+t2.
(2)由(1)知|AP|=t1+t2和直線PA的方程tx-y-t2=0.
點B到直線PA的距離是d=t21+t2.
設△PAB的面積為S(t),
所以S(t)=12|AP|d=t32.
9.解 (1)設M的坐標為(x,y),當x=-1時,直線MA的斜率不存在;
當x=1時,直線MB的斜率不存在.
于是x≠1,且x≠-1.
此時,MA的斜率為yx+1,MB的斜率為yx-1.
由題意,有yx+1yx-1=4.
整理,得4x2-y2-4=0.
故動點M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x≠1).
(2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ①
對于方程①,其判別式Δ=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+48>0,
而當1或-1為方程①的根時,m的值為-1或1.
結合題設(m>0)可知,m>0,且m≠1.
設Q,R的坐標分別為(xQ,yQ),(xR,yR),
則xQ,xR為方程①的兩根,
因為|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.
因為xQ=m-2m2+33,xR=m+2m2+33,且Q,R在同一條直線上,
所以|PR||PQ|=xRxQ=21+3m2+121+3m2-1=1+221+3m2-1.
此時1+3m2>1,且1+3m2≠2,
所以1<1+221+3m2-1<3,
且1+221+3m2-1≠53,
所以1<|PR||PQ|=xRxQ<3,且|PR||PQ|=xRxQ≠53.
綜上所述,|PR||PQ|的取值范圍是1,53∪53,3.
10.解 (1)由題意可知MA=(-2-x,1-y),MB=(2-x,1-y),OM=(x,y),OA+OB=(0,2).
∵|MA+MB|=OM(OA+OB)+2,
∴4x2+4(1-y)2=2y+2,∴x2=4y.
∴曲線C的方程為x2=4y.
(2)設Qx0,x024,
則S△QAB=21-x024=21-x024.
∵y=x24,∴y=12x,∴kl=12x0,
∴切線l的方程為y-x024=12x0(x-x0)與y軸交點H0,-x024,|PH|=1-x024=1-x024.
直線PA的方程為y=-x-1,直線PB的方程為y=x-1,
由y=-x-1,y=12x0x-x024,得xD=x0-22.
由y=x-1,y=12x0x-x024,得xE=x0+22,
∴S△PDE=12|xD-xE||PH|=1-x024,
∴△QAB與△PDE的面積之比為2.
二、思維提升訓練
11.A 解析 方法一:由題意,易知直線l1,l2斜率不存在時,不合題意.
設直線l1方程為y=k1(x-1),
聯(lián)立拋物線方程,得y2=4x,y=k1(x-1),
消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,
所以x1+x2=2k12+4k12.
同理,直線l2與拋物線的交點滿足x3+x4=2k22+4k22.
由拋物線定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8≥216k12k22+8=16,
當且僅當k1=-k2=1(或-1)時,取得等號.
方法二:如圖所示,由題意可得F(1,0),設AB傾斜角為θ不妨令θ∈0,π2.
作AK1垂直準線,AK2垂直x軸,結合圖形,根據拋物線的定義,可得|AF|cosθ+|GF|=|AK1|,|AK1|=|AF|,|GF|=2,
所以|AF|cos θ+2=|AF|,即|AF|=21-cosθ.
同理可得|BF|=21+cosθ,所以|AB|=41-cos2θ=4sin2θ.
又DE與AB垂直,即DE的傾斜角為π2+θ,則|DE|=4sin2π2+θ=4cos2θ,
所以|AB|+|DE|=4sin2θ+4cos2θ=4sin2θcos2θ=414sin22θ=16sin22θ≥16,當θ=π4時取等號,即|AB|+|DE|最小值為16,故選A.
12.C 解析 由題意畫圖,如圖所示,可知|PF2|=b,|OP|=a.由題意,得|PF1|=6a.
設雙曲線漸近線的傾斜角為θ.
∴在△OPF1中,由余弦定理知cos(180-θ)=a2+c2-(6a)22ac=c2-5a22ac=-cos θ.
又cos θ=ac,
∴c2-5a22ac=-ac,解得c2=3a2.∴e=3.
13.6 解析 設N(0,a),由題意可知F(2,0).
又M為FN的中點,則M1,a2.
因為點M在拋物線C上,所以a24=8,即a2=32,即a=42.
所以N(0,42).
所以|FN|=(2-0)2+(042)2=6.
14.y=22x 解析 拋物線x2=2py的焦點F0,p2,準線方程為y=-p2.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.
所以y1+y2=p.
聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,
消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.
所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.
所以該雙曲線的漸近線方程為y=22x.
15.解 (1)由已知可得,點P滿足|PB|+|PC|=|AC|=25>2=|BC|,
所以動點P的軌跡C1是一個橢圓,其中2a=25,2c=2.
動點P的軌跡C1的方程為x25+y24=1.
(2)設N(t,t2),則PQ的方程為
y-t2=2t(x-t)?y=2tx-t2.
聯(lián)立方程組y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,
有Δ=80(4+20t2-t4)>0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.
而|PQ|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,
點M到PQ的高為h=15+t21+4t2,
由S△MPQ=12|PQ|h代入化簡,得
S△MPQ=510-(t2-10)2+104≤510104=1305,當且僅當t2=10時,S△MPQ可取最大值1305.
16.解 (1)設點C的坐標為(x,y),
則x2a+y2=1.
連接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),CG=(-x,2-y),
可得CACB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y∈[-1,1].
因為a>1,所以當y=42(1-a)≤-1,即1-1,即a>3時,CACB的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a),
由條件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,
即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).
綜上所述,橢圓Ω的方程是x25+y2=1.
(2)設點P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點坐標為(x0,y0),則滿足x125+y12=1,x225+y22=1,兩式相減,
整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,
從而直線PQ的方程為y-y0=-x05y0(x-x0).
又右焦點F2的坐標是(2,0),
將點F2的坐標代入PQ的方程得
-y0=-x05y0(2-x0),
因為直線l與x軸不垂直,所以2x0-x02=5y02>0,從而0
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