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2019-2020年高考數(shù)學(xué)滾動檢測05向量數(shù)列不等式和立體幾何的綜合同步單元雙基雙測A卷理 一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分） 1. 設(shè)平面、，直線、，，，則“，”是“”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：1.平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)；2.充分必要條件 2. 如果對任意實(shí)數(shù)x總成立,則a的取值范圍是　　　?。? ） A． B． C． D． 【答案】Ａ 【解析】 試題分析：因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x總成立,所以a小于的最小值，由絕對值的幾何意義，數(shù)軸上到定點(diǎn)-1，-9距離之和的最小值為兩定點(diǎn)之間的距離，所以，故選A。 考點(diǎn)：本題主要考查絕對值的幾何意義。 3. 【xx河南漯河中格紙上小正方形邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A. 48 B. 36 C. 32 D. 24 【答案】C 【解析】由三視圖可知，該幾何體是由一個三棱柱截去一個四棱錐而得到的。 該幾何體的體積為： 故選：C 點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬. 4. 《莊子天下篇》中記述了一個著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”反映這個命題本質(zhì)的式子是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 考點(diǎn)：等比數(shù)列求和. 5. 【xx湖南五市十校聯(lián)考】已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是斜邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】幾何體如圖： 為外接球的球心，表面積為，選B. 點(diǎn)睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解． (2)若球面上四點(diǎn)構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用求解． 6. 設(shè)等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為,已知，則 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由題意可知成等比數(shù)列，即8，-1，成等比數(shù)列， 可得 ，故選A 考點(diǎn)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì) 7. 【xx云南昆明一中檢測】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， ，則數(shù)列中的為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的定義以及已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)，屬于中檔題.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)常用的方法有：累加法、累乘法、構(gòu)造法， 已知數(shù)列前項(xiàng)和與第項(xiàng)關(guān)系，求數(shù)列通項(xiàng)公式，常用公式，將所給條件化為關(guān)于前項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項(xiàng)的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式. 在利用與通項(xiàng)的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況.，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式. 8. 是邊長為1的等比三角形，已知向量滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積運(yùn)算. 【方法點(diǎn)睛】平面向量數(shù)量積的類型及求法 (1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式ab＝|a||b|cos θ；二是坐標(biāo)公式ab＝x1x2＋y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義. (2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡. 9. 【xx江西宜春調(diào)研】如圖（1），五邊形是由一個正方形與一個等腰三角形拼接而成，其中， ，現(xiàn)將進(jìn)行翻折，使得平面平面，連接，所得四棱錐如圖（2）所示，則四棱錐的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】對四棱錐進(jìn)行補(bǔ)型，得到三棱柱如下所示，故四棱錐的外接球球心即為三棱柱的外接球球心；故其外接球半徑 ，故表面積 故選C. 點(diǎn)睛：本題考查了多面體的外接球，把不易求其外接球半徑的幾何體轉(zhuǎn)化為易求半徑的幾何體是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了補(bǔ)體的方法. 10. 若不等式在區(qū)間上有解，則a的取值范圍為（ ） A．（,） B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：，設(shè)在上是減函數(shù)，所以最小值為，所以 考點(diǎn)：不等式與函數(shù)問題 11. 【xx遼寧凌源兩校聯(lián)考】若實(shí)數(shù)， 滿足不等式組 ， ，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 12. 已知邊長為的菱形中，，現(xiàn)沿對角線折起，使得二面角為120，此時點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：多面體的外接球及表面面積公式的運(yùn)用． 二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分） 13. 已知向量，，則__________． 【答案】5 【解析】 試題分析：因?yàn)橛?，所以? 考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積． 14. 設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，如果那么_____________． 【答案】 【解析】 考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用． 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中涉及數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列的累積法等知識點(diǎn)的綜合考查，著重考查學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題，本題的解答中，利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，得到，進(jìn)而得到是解答的關(guān)鍵． 15. 【xx江蘇溧陽調(diào)研】給出下列命題： （1）若兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定平行于另一個平面； （2）若兩個平面垂直，那么平行于其中一個平面的直線一定平行于另一個平面； （3）若兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面； （4）若兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個平面． 則其中所有真命題的序號是___________________． 【答案】（1）（3） 【解析】逐一考查所給的命題： （1）若兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定平行于另一個平面； （2）若兩個平面垂直，那么平行于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面； （3）若兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面； （4）若兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)的直線不一定垂直于另一個平面． 綜上可得：真命題的序號是（1）（3）. 16. 如圖是某幾何體的三視圖（單位：cm），則該幾何體的表面積是__ ___cm2，體積為_ __ cm3． 【答案】 【解析】 考點(diǎn)：空間幾何體的三視圖． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17. 【xx河南漯河中學(xué)四?！咳鐖D，四棱錐中，底面是的菱形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直， 為的中點(diǎn). （1）求證： 平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】試題分析：（1）要證平面，轉(zhuǎn)證線線垂直即可；（2）分別求出兩個平面的法向量，利用向量間的運(yùn)算關(guān)系求出兩個向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角． 試題解析： （1）法一：作于，連接 由側(cè)面與底面垂直，則面 所以，又由， ， ， 則，即 取的中點(diǎn)，連接， 由為的中點(diǎn)， 則四邊形為平行四邊形， 所以，又在中， ， 為中點(diǎn)，所以， 所以，又由所以面. 法二: 作于，連接 由側(cè)面與底面垂直，則面 所以，又由， ， ， 則，即 分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 由已知， ， ， ， ， ， ， 所以， ， 又由所以面. （2）設(shè)面的法向量為 由， ， 由（I）知面，取面的法向量為 所以，設(shè)二面角大小為，由為鈍角得 點(diǎn)睛：利用法向量求解空間二面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 18. 已知函數(shù)其中在中，分別是角的對邊，且． （1）求的對稱中心； （2）若，，求的面積． 【答案】（1） 對稱中心為（2） 【解析】 試題分析：（1）利用向量數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)，利用f（A）=1，結(jié)合A的范圍，可得結(jié)論；（2）先利用余弦定理，結(jié)合條件可求bc的值，從而可求△ABC的面積． 試題解析： (1）因?yàn)椋? 所以對稱中心 考點(diǎn)：解三角形；三角形中的恒等變換 【名師點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論，很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的．在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中，往往都隱含著某種特殊關(guān)系，認(rèn)真審視數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對數(shù)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到突破問題的方案． 19. 已知函數(shù) （1）若對于任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）如果關(guān)于x的不等式f（x）m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）結(jié)合二次函數(shù)圖像，當(dāng)在區(qū)間兩端點(diǎn)處函數(shù)值滿足成立成立時，則有在區(qū)間上成立，將相應(yīng)的自變量值代入可求得實(shí)數(shù)的不等式，得到其取值范圍；（2）由不等式有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，從而得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，求得其范圍 試題解析：（1） （2） ， 法二： 有解 ∴ 考點(diǎn)：1．二次函數(shù)圖像及性質(zhì)；2．不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化 20. 已知數(shù)列的首項(xiàng)且． （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，求出它的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】（1）證明見解析，；（2）. 【解析】 試題解析： （1），即， ∴，又， ∴數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列， ，． （2）由（1）得， ∴， ， , 相減得， ∴． 考點(diǎn)：遞推數(shù)列求通項(xiàng)，錯位相減法． 【方法點(diǎn)晴】錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令，則兩式錯位相減并整理即得. 21. 如圖，在四棱錐中，為正三角形，，平面平面． （1）點(diǎn)在棱上，試確定點(diǎn)的位置，使得平面； （2）求二面角的余弦值． 【【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用線面垂直的判定定理推證；（2）借助題設(shè)運(yùn)用空間向量的數(shù)量積求解. （1），故； 設(shè)，若，則，即， 即，即，即當(dāng)為的中點(diǎn)時，， 則平面，所以當(dāng)為的中點(diǎn)時平面． （2）設(shè)平面的一個法向量，，則且，即且，令，則，則， 再取平面的一個法向量為 則， 故二面角的余弦值為 考點(diǎn)：線面垂直的判定定理及空間向量的數(shù)量積公式等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用. 【易錯點(diǎn)晴】立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一,也高考和各級各類考試的重要內(nèi)容和考點(diǎn).本題以四棱錐為背景考查的是空間的直線與平面的位置關(guān)系及二面角的平面角等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用.解答本題第一問時,要掌握線面垂直判定定理中的條件,設(shè)法找出面內(nèi)的兩條相交直線與已知直線垂直；第二問中計(jì)算問題先建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用空間向量的有關(guān)知識先確定平面的一個法向量,再運(yùn)用空間向量的數(shù)量積公式求解出二面角的余弦值為. 22. 【xx江西宜春調(diào)研】已知多面體如圖所示，底面為矩形，其中平面， ，若分別是的中心，其中. （1）證明： ； （2）若二面角的余弦值為，求的長. 【答案】(1)見解析(2) SD=2 【解析】試題分析： 利用題意證得平面，然后利用線面垂直的性質(zhì)和直線平行的結(jié)論可得 （2）如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DS分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，則． 因?yàn)椤偷酌妫云矫娴囊粋€法向量為. 設(shè)平面SRB的一個法向量為， ， ，則 即 令x=1，得，所以， 由已知，二面角的余弦值為， 所以得 ，解得a =2，所以SD=2．