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2019-2020年高中物理 第1章 功和功率 第3節(jié) 功 率教學案 魯科版必修2 1．功率是標量，反應做功的快慢，可分為平均功率和瞬時功率。 2．平均功率表示力在一段時間內做功的平均快慢程度，常用P＝進行計算。若力F為恒力，也可用P＝Fcos α計算。 3．瞬時功率表示力在某一時刻做功的快慢程度，通常用P＝Fvcos α(α表示力F的方向與瞬時速度v的方向間的夾角)進行計算。 4．在機車問題中，P＝Fv是指牽引力的功率，當P一定時v與F成反比，當v一定時P與F成正比。 一、功率的含義 1．定義 功W跟完成這些功所用時間t的比值。 2．定義式 P＝。 3．單位 在國際單位制中，功率的單位是瓦特，簡稱瓦，用W表示。 4．物理意義 功率是標量，它是表示物體做功快慢的物理量。 二、功率與力、速度的關系 1．關系式 2．平均功率和瞬時功率 定義 常用描述 平均功率 物體在一段時間內做功的功率的平均值，它與某一段時間(或過程)有關 P＝或P＝Fcos α(為t時間內的平均速度) 瞬時功率 表示物體在某一時刻或某一狀態(tài)的功率。瞬時功率總與某一時刻或狀態(tài)相對應 P＝Fvcos_α(v為某一時刻的瞬時速度) 3．額定功率和實際功率 (1)額定功率是機械可以長時間工作的最大允許功率。一個機械的額定功率是一定的，機械工作時都要受額定功率的限制。 (2)實際功率是機械工作時實際輸出的功率，也就是發(fā)動機產生的牽引力做功的功率，實際功率通常要小于或等于額定功率。 1．自主思考——判一判 (1)力越大，做功越快。() (2)功率越大表示做的功越多。() (3)功率表示做功的快慢。(√) (4)機械發(fā)動機銘牌上的功率是指額定功率。(√) (5)額定功率一定大于實際功率。() 2．合作探究——議一議 (1)去過泰山的同學會遇到挑山工，假設挑山工和纜車將相同的貨物運至山頂，兩者對貨物做的功相同嗎？做功的功率相同嗎？ 圖131 提示：兩者對貨物做的功都等于克服重力做的功，由于將相同的貨物運往相同高度的山頂，兩者做相同的功，而用纜車運送貨物所用時間遠小于挑山工的用時，根據功率定義知纜車的做功功率遠大于挑山工的做功功率。 (2)在越野比賽中，汽車爬坡時，常常換用低速擋，這是為什么？ 圖132 提示：由P＝Fv可知，汽車在上坡時需要更大的牽引力，而發(fā)動機的額定功率是一定的，換用低速擋的目的是減小速度，進而增大牽引力。 功率的理解與計算 公式P＝與P＝Fv的理解與應用 定義式P＝ 計算式P＝Fv (1)P＝是功率的定義式，適用于任何情況下功率的計算，既適用于合力或某個力做功時功率的計算，也適用于恒力或變力做功時功率的計算 (2)P＝表示時間t內的平均功率，只有當物體做勻速運動時，才等于瞬時功率 (1)P＝Fv是由W＝Fs及P＝聯立導出的，體現了P、F、v三個量的制約關系 (2)P＝Fv通常用來計算某一時刻或某一位置的瞬時功率，此時v是瞬時速度；若v是某段時間內的平均速度，則計算的是該段時間內的平均功率 (3)該式成立的條件是F、v同向，若不同向，應用P＝Fvcos α進行計算，其中α是F與v之間的夾角 [典例]　如圖133所示，在光滑的水平面上，質量m＝3 kg的物體，在水平拉力F＝6 N的作用下，從靜止開始運動，經過3 s運動了9 m。求： 圖133 (1)力F在3 s內對物體所做的功； (2)力F在3 s內對物體做功的平均功率； (3)在3 s末，力F對物體做功的瞬時功率。 [思路點撥]　解答本題可按以下思路分析： (1)確定力F作用下對應的物體位移。 (2)求解3 s末物體的瞬時速度，由瞬時功率計算式求瞬時功率。 [解析]　(1)根據功的定義式W＝Fs得， 力F在3 s內對物體做的功為W＝69 J＝54 J。 (2)由功率的定義式P＝得，力F在3 s內對物體做功的平均功率為P＝ W＝18 W。 (3)在3 s末，物體的速度為v，由運動學公式s＝t可知，v＝＝6 m/s。因此，力F在3 s末對物體做功的瞬時功率為P＝Fv＝66 W＝36 W。 [答案]　(1)54 J　(2)18 W　(3)36 W 計算功率應該注意的問題 (1)首先應該明確所求的功率是平均功率還是瞬時功率，計算平均功率與瞬時功率選擇的公式不同。 (2)求平均功率時，尤其注意明確是哪一段時間內的平均功率；求瞬時功率時，應明確是哪一時刻的瞬時功率。 (3)應該明確是哪一個力對物體做功的功率，是動力還是阻力，是恒力還是變力等。不同情況的力，其做功情況會有所不同，功率的計算也會不同。 　　　　 1．質量為m的物體從高處自由下落，經時間t，重力對物體做功的平均功率為________，在t時刻重力對物體做功的瞬時功率為________。 解析：物體自由下落，t時刻速度為v＝gt，時間t內物體的平均速度為＝＝gt，則在時間t內重力對物體做功的平均功率＝mg＝mg2t，在t時刻重力做功的瞬時功率P＝mgv＝mg2t。 答案：mg2t　mg2t 2.如圖134所示，質量m＝2 kg的物塊在傾角α＝37的光滑固定斜面頂端由靜止滑下，已知sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，g取10 m/s2，求： 圖134 (1)前2 s內重力做的功； (2)前2 s內重力的平均功率； (3)2 s末重力的瞬時功率。 解析：(1)對物塊受力分析如圖所示，F合＝mgsin α， 由牛頓第二定律F＝ma得：a＝gsin α＝100.6 m/s2＝6 m/s2， 前2 s內物塊的位移s＝at2＝622 m＝12 m， 前2 s內重力做的功W＝mgssin α＝210120.6 J＝144 J。 (2)重力在前2 s內的平均功率＝＝ W＝72 W。 (3)物塊2 s末的速度v＝at＝62 m/s＝12 m/s， 重力在2 s末的瞬時功率P＝mgvsin α＝210120.6 W＝144 W。 答案：(1)144 J　(2)72 W　(3)144 W 機車啟動問題 1．機車以恒定功率啟動 如圖135所示分別為機車以恒定功率啟動過程中的速度、功率、牽引力隨時間變化的圖像。通過vt圖像可知，0～t1時間內為變加速運動，t1時刻后為勻速運動。 圖135 2．機車以恒定加速度啟動 如圖136所示分別為機車以恒定加速度啟動過程中的速度、功率、牽引力隨時間變化的圖像。通過vt圖像可知，0～t1時間內為勻加速運動，t1～t2時間內為變加速運動，t2時刻后為勻速運動。 圖136 [典例]　某汽車發(fā)動機的額定功率為60 kW，汽車質量為5 t，汽車在運動中所受阻力的大小恒為車重的0.1倍，g取10 m/s2。 (1)若汽車以額定功率啟動，則汽車所能達到的最大速度是多少？當汽車的速度為5 m/s時，其加速度是多少？ (2)若汽車以恒定的加速度0.5 m/s2啟動，則這一過程能維持多長時間？ [思路點撥]　解答有關機車的啟動問題，關鍵是能夠正確理解機車啟動過程中各個物理量的相互制約關系。 [解析]　(1)當汽車的加速度為零時，汽車的速度v達到最大值vm，故最大速度為vm＝＝ m/s＝12 m/s 由P＝Fv，F－f＝ma可得速度v＝5 m/s時加速度為 a＝＝－＝m/s2 ＝1.4 m/s2。 (2)汽車以0.5 m/s2的加速度做勻加速運動所能達到的最大速度為 vm′＝＝＝ m/s＝8 m/s 由于這一過程中汽車做勻加速直線運動，滿足vm′＝v0＋a′t， 故這一過程能維持的時間為t＝＝ s＝16 s。 [答案]　(1)12 m/s　1.4 m/s2　(2)16 s 分析汽車啟動類問題時，必須注意以下三點： (1)明確汽車的啟動方式，是以恒定功率啟動，還是以恒定加速度啟動。 (2)抓住兩個基本公式：功率P＝Fv(P是汽車的實際功率，F是汽車的牽引力，v是汽車的速度)；根據牛頓第二定律有F－f＝ma(f是汽車受到的阻力)。 (3)正確分析汽車啟動過程中各物理量在各個階段(如勻加速運動階段、變加速運動階段、勻速運動階段)的變化情況。 　　　　 1．假設摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。如果摩托艇發(fā)動機的輸出功率變?yōu)樵瓉淼?倍，則摩托艇的最大速率變?yōu)樵瓉淼?　　) A．4倍　　　　　　　　 　B．2倍 C. 倍 D. 倍 解析：選D　設f＝kv，當阻力等于牽引力時，速度最大，輸出功率變化前，有P＝Fv＝fv＝kvv＝kv2，變化后有2P＝F′v′＝kv′v′＝kv′2，聯立解得v′＝v，D正確。 2．(多選)一輛小汽車在水平路面上由靜止啟動，在前5 s內做勻加速直線運動，5 s末達到額定功率，之后保持額定功率運動，其vt圖像如圖137所示，已知汽車的質量為m＝2103 kg，汽車受到地面的阻力為車重的0.1倍，g取10 m/s2，則(　　) 圖137 A．汽車在前5 s內的牽引力為4103 N B．汽車在前5 s內的牽引力為6103 N C．汽車的額定功率為60 kW D．汽車的最大速度為30 m/s 解析：選BCD　由vt圖像知，前5 s的加速度a＝＝2 m/s2，由牛頓第二定律知，前5 s的拉力F－kmg＝ma，得F＝(0.1210310＋21032)N＝6103 N，故B對、A錯；又5 s末達到額定功率P＝Fv5＝610310 W＝6104 W＝60 kW，故C對；最大速度vmax＝＝ m/s＝30 m/s，故D對。 3．在水平路面上運動的汽車的額定功率為100 kW，質量為10 t，設阻力恒定，且為車重的0.1倍，求：(g取10 m/s2) (1)汽車在運動過程中所能達到的最大速度。 (2)若汽車以0.5 m/s2的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，這一過程能維持多長時間？ (3)若汽車以額定功率從靜止啟動后，當汽車的加速度為2 m/s2時，速度多大？ 解析：(1)當汽車速度最大時，a1＝0，F1＝f，P＝P額，故vmax＝＝m/s＝10 m/s。 (2)汽車從靜止開始做勻加速直線運動的過程中，a2不變，v變大，P也變大，當P＝P額時，此過程結束。 F2＝f＋ma2＝(0.110410＋1040.5)N＝1.5104 N v2＝＝m/s≈6.7 m/s， 則t＝＝ s＝13.4 s。 (3)F3＝f＋ma3＝(0.110410＋1042)N＝3104 N v3＝＝m/s≈3.3 m/s。 答案：(1)10 m/s　(2)13.4 s　(3)3.3 m/s 1．關于功率，下列說法中正確的是(　　) A．功率是描述做功快慢的物理量，在國際單位制中，其單位是焦耳(J) B．功率是描述做功快慢的物理量，在國際單位制中，其單位是瓦特(W) C．功率是描述做功多少的物理量，在國際單位制中，其單位是焦耳(J) D．功率是描述做功多少的物理量，在國際單位制中，其單位是瓦特(W) 解析：選B　功率是表示做功快慢的物理量，功率越大，表示做功越快。功率的國際單位是瓦特，故B正確。 2．關于功率，下列說法中正確的是(　　) A．物體做功越快，其功率越大 B．物體做功越多，其功率越大 C．實際功率一定等于額定功率 D．由P＝可知，功率與時間成反比 解析：選A　功率是表示做功快慢的物理量，功率越大，做功越快，A對。物體做功多，用的時間很長，功率也不大， B錯。物體的實際功率可能小于或等于額定功率，也可能短時間內大于額定功率，C錯。由P＝可知，只有在做功一定的情況下，功率才與時間成反比，D錯。 3．拖拉機耕地時一般比在道路上行駛時速度慢，這樣做的主要目的是(　　) A．節(jié)省燃料 B.提高拖拉機的功率 C．提高傳動機械的效率 D.增大拖拉機的牽引力 解析：選D　拖拉機耕地時受到的阻力比在路面上行駛時大得多，根據P＝Fv，在功率一定的情況下，減小速度，可以獲得更大的牽引力，選項D正確。 4.在平直公路上以一定速率(約為5 m/s)行駛的自行車所受阻力為車和人總重量的0.02倍，如圖1所示，則騎車人的功率最接近于(車和人的總質量約為100 kg)(　　) 圖1 A．0.1 kW B．1103 kW C．1 kW D．10 kW 解析：選A　因為車速v＝5 m/s，騎車時的牽引力F＝f＝0.0210010 N＝20 N，所以功率P＝Fv＝205 W＝100 W，即0.1 kW，故A正確。 5．(多選)質量為3 kg的物體，從高45 m處自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的過程中(　　) A．前2 s內重力做功的功率為300 W B．前2 s內重力做功的功率為675 W C．第2 s末重力做功的功率為600 W D．第2 s末重力做功的功率為900 W 解析：選AC　前2 s物體下落h＝ gt2＝20 m，重力做功的功率P1＝＝300 W，A對，B錯；2 s末物體的速度v＝gt＝20 m/s，此時重力的功率P2＝mgv＝600 W，C對，D錯。 6．某人用同一水平力F先后兩次拉同一物體，第一次使此物體沿光滑水平面前進l距離，第二次使此物體沿粗糙水平面也前進l距離，若先后兩次拉力做的功為W1和W2，拉力做功的功率是P1和P2，則(　　) A．W1＝W2，P1＝P2 B．W1＝W2，P1>P2 C．W1>W2，P1>P2 D．W1>W2，P1＝P2 解析：選B　由于拉力相同而又通過相同的位移，根據W＝Fl可知拉力對物體做的功一樣多，但由于沿光滑水平面前進l距離所用時間短，所以P1>P2，故B正確。 7．關于功率公式P＝和P＝Fv的說法正確的是(　　) A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意時刻的功率 B．由P＝Fv只能求某一時刻的瞬時功率 C．從P＝Fv知汽車的功率與它的速度成正比 D．從P＝Fv知當汽車發(fā)動機功率一定時，牽引力與速度成反比 解析：選D　公式P＝所計算的應是時間t內的平均功率，A錯誤；在P＝Fv中，若v為平均速度，則P為平均功率，若v為瞬時速度，則P為瞬時功率，B錯誤；公式P＝Fv涉及三個物理量之間的關系，因此必須在一個量確定不變時，才能判斷另外兩個物理量之間的關系，C錯誤，D正確。 8．設飛機飛行中所受阻力與速率的平方成正比，如果飛機以速度v勻速飛行，其發(fā)動機功率為P，則當發(fā)動機功率為8P時，飛機飛行的速度為(　　) A．v B.2v C.4v D.8v 解析：選B　飛機勻速飛行時，應有F＝F阻＝kv2，所以P＝Fv＝kv3，因此功率為8P時v′＝2v。B正確。 9．一小球以初速度v0水平拋出，不計空氣阻力，小球在空中運動的過程中重力做功的功率P隨時間t變化的圖像是(　　) 解析：選A　設經過時間t速度大小為v，其方向與豎直方向(或重力方向)成θ角，由功率公式P＝Fvcos θ知，此時重力的功率P＝mgvcos θ＝mgvy＝mggt＝mg2t，所以A正確。 10. (多選)如圖2所示為一汽車在平直的公路上由靜止開始運動的速度圖像，汽車所受阻力恒定。圖中OA為一段直線，AB為一曲線，BC為一平行于時間軸的直線，則(　　) 圖2 A．OA段汽車發(fā)動機的功率是恒定的 B．OA段汽車發(fā)動機的牽引力恒定 C．AB段汽車發(fā)動機的功率可能是恒定的 D．BC段汽車發(fā)動機的功率是恒定的 解析：選BCD　OA為一段直線，說明OA段汽車做勻加速直線運動，牽引力不變，根據P＝Fv可知，速度增大，牽引力不變，功率增大，故A錯誤，B正確；AB為一曲線，斜率逐漸減小，則加速度逐漸減小，牽引力減小，根據P＝Fv可知，牽引力減小，速度增大，功率可能不變，故C正確；BC為一平行于時間軸的直線，則汽車做勻速直線運動，牽引力等于阻力，不變，速度也不變，根據P＝Fv可知，功率不變，故D正確。 11．一輛重5 t的汽車，發(fā)動機的額定功率為80 kW。汽車從靜止開始以加速度a＝1 m/s2做勻加速直線運動，車受的阻力為車重的0.06倍。(g取10 m/s2)求： (1)汽車做勻加速直線運動的最長時間。 (2)汽車開始運動后5 s末和15 s末的瞬時功率。 解析：(1)設汽車做加速運動所能達到的最大速度為v，對汽車由牛頓第二定律得 F－f＝ma 即 －kmg＝ma，代入數據得v＝10 m/s 所以汽車做勻加速直線運動的時間t＝＝10 s。 (2)由于10 s末汽車達到了額定功率，5 s末汽車還處于勻加速運動階段，瞬時功率為 P＝Fv＝(kmg＋ma)at＝(0.065 00010＋5 0001)15 W＝4104 W＝40 kW 15 s末汽車已經達到了額定功率P額＝80 kW。 答案：(1)10 s　(2)40 kW　80 kW 12.近年來，被稱為“綠色環(huán)保車”的電動車成了不少市民購買的首選，電動車在出廠時都要進行檢測，在檢測某款電動車性能的實驗中，質量為8102 kg的電動車由靜止開始沿平直公路行駛，達到的最大速度為15 m/s，利用傳感器測得此過程中不同時刻電動車的牽引力F與對應的速度v，并描繪出F圖像，如圖3所示(圖中AB、BO均為直線)。假設電動車行駛中所受阻力恒定，求此過程中： 圖3 (1)電動車的額定功率； (2)電動車由靜止開始運動，經過多長時間，速度達到2 m/s? 解析：由F圖像知，AB段對應電動車加速過程中保持牽引力F＝2 000 N恒定不變，即做勻加速直線運動；BO段中直線的斜率k＝＝Fv保持恒定不變，對應電動車在這一階段以額定功率加速行駛。 (1)當電動車達到最大速度vmax＝15 m/s時，電動車的牽引力F＝f＝400 N，其中f為地面對電動車的阻力。 所以電動車的額定功率 P＝fvmax＝40015 W＝6 000 W。 (2)電動車勻加速行駛過程中的加速度 a＝＝ m/s2＝2 m/s2， 電動車剛達到額定功率時其速度 v＝＝ m/s＝3 m/s， 之后它將做加速度減小的變加速運動。 故當電動車的速度v′＝2 m/s時，正處于勻加速階段，則這一過程所用時間t＝＝ s＝1 s。 答案：(1)6 000 W　(2)1 s