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2019-2020年高中數(shù)學人教A版選修2-1《2-1-1 曲線與方程》教學設計 一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 1．教學內(nèi)容 《曲線與方程》共分兩小節(jié)，第一小節(jié)主要內(nèi)容是曲線的方程、方程的曲線的概念；第二小節(jié)內(nèi)容是如何求曲線的方程．本課時為第一小節(jié)內(nèi)容． 2．地位與作用 本小節(jié)內(nèi)容揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”相統(tǒng)一的關系，體現(xiàn)了解析幾何這門課的基本思想——數(shù)形結(jié)合思想，對解析幾何教學有著指導性的意義．其中，對曲線的方程和方程的曲線從概念上進行明確界定，是解析幾何中數(shù)與形互化的理論基礎和操作依據(jù)．《曲線與方程》作為《圓錐曲線與方程》的第一節(jié)，一方面，該部分內(nèi)容是建立在學生學習了直線的方程和圓的方程的基礎上對曲線與方程關系認識的一次飛躍；另一方面，它也為下一步學習圓錐曲線方程奠定了模型的基礎．因此，它在高中解析幾何學習中起著承前啟后的關鍵作用． 二、目標和目標解析 本課時的教學目標是結(jié)合已學曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步理解數(shù)形結(jié)合的基本思想．具體目標如下： 1．通過探究“以方程的解為坐標的點”匯集的圖形，感知并歸納概括曲線與方程的對應關系； 2．初步理解方程的曲線與曲線的方程的含義； 3．通過經(jīng)歷曲線與方程的對應關系的探究過程，發(fā)展抽象概括的能力； 4．能使用曲線的方程（方程的曲線）的概念判斷曲線與方程的對應關系，繼續(xù)理解數(shù)形結(jié)合思想． 三、教學問題診斷分析 1．問題診斷 學生已經(jīng)對“用方程表示直線、圓”有著感性的認知基礎，能夠根據(jù)直線的方程、圓的方程作對應的圖形，并對數(shù)形結(jié)合思想有初步的了解．但是從直線與方程、圓與方程到曲線與方程的對應關系是一次從感性認識到理性認識的“飛躍”，由于大多數(shù)學生對“生活中其他的曲線是否能用、如何使用方程表示”這些問題還未曾有過思考，加之曲線的方程（方程的曲線）這一組概念有著較高的抽象性，所以預計在本課的學習中，學生可能出現(xiàn)以下困難： （1）作圖探究結(jié)束后，學生獨立地歸納概括并寫出曲線的方程（方程的曲線）的概念時不規(guī)范，不全面； （2）難以理解 “曲線上的點的坐標都是方程的解”和“以方程的解為坐標的點都在曲線上”這兩句話在揭示“曲線與方程”的關系時各自所起的作用． 2．重難點 重點：曲線的方程（方程的曲線）的概念 難點：曲線的方程（方程的曲線）概念的生成和理解 3.突出重點、突破難點的策略 本節(jié)課的教學，根據(jù)“問題引導，任務驅(qū)動”的設計思路，遵循概念學習的規(guī)律，使學生在過程中感受數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．具體表現(xiàn)在： （1）用蘊含數(shù)學文化的廣告創(chuàng)設情境，并將 “章頭圖”、“章導言”融入其中，產(chǎn)生認知沖突，感悟?qū)W習曲線與方程的必要性； （2）讓學生經(jīng)歷“作圖—存異—質(zhì)疑—尋因”的探究過程，感知方程的變化帶來曲線的變化，曲線的差異導致方程的差異，再通過“獨立書寫—交流討論—互動修正”生成概念； （3）學生自主舉例，辨析概念，聯(lián)系已學知識，完成對概念的“結(jié)構(gòu)化”． 四、教學支持條件分析 1．學情分析 本課授課對象是成都石室中學高二理科實驗班的學生，數(shù)學基礎扎實，思維較活躍，具有較為豐富的探究活動經(jīng)驗，但在抽象概括能力和語言的規(guī)范表達上還有待進一步提升． 2．教學策略與教法、學法 本課采取“探究—發(fā)現(xiàn)”教學模式． 教師的教法注重活動的安排和問題的引導，通過問題引導學生從特殊到一般進行探索發(fā)現(xiàn)，并歸納概括． 學生的學法注重獨立探究、合作交流、歸納建構(gòu)． 教具：多媒體PPT課件，平板電腦，三角板，彩色粉筆 學具：教材、草稿本、三角板、圓規(guī)、鉛筆 五、教學過程設計 結(jié)合教材知識內(nèi)容和教學目標，本課的教學環(huán)節(jié)及時間分配如下： 教學內(nèi)容 師生活動（預設） 設計說明 一、創(chuàng)設情景，引入概念 播放一段和笛卡爾的傳說有關的廣告視頻． 通過層層設問，將學生從視頻逐步轉(zhuǎn)移到對解析幾何用代數(shù)方法研究直線、圓的回顧． 問題1：諸如圓錐曲線這類曲線能否像直線、圓一樣用代數(shù)的方法進行研究呢？ 研究清楚曲線與方程之間的關系，將為我們用代數(shù)方法研究幾何圖形提供可能． 師：不知大家有沒有看過下面這則廣告？ 生（齊）：（觀看視頻） 師：其實，這則廣告的創(chuàng)意源自于一位偉大數(shù)學家的愛情傳說，大家知道他是誰嗎？ 生（齊）：笛卡爾． 師：是的． 那你了解笛卡爾對數(shù)學的貢獻嗎？ 生1：他發(fā)明了直角坐標系，創(chuàng)立了解析幾何． 師：解析幾何研究幾何圖形的方法有何特點呢？你能結(jié)合所學知識談一談嗎？ 生2：我們在《必修2》中曾經(jīng)學習了直線、圓與方程，在直角坐標系中用方程表示直線、圓，然后使用代數(shù)的方法對他們進行研究． 師：大千世界，千奇百態(tài)！直線，圓都只是其中的一種曲線（直線也可稱之為特殊的曲線），生活中我們還會遇到很多其他的曲線，比如下面動畫中的截口曲線． （教師通過PPT展示截口曲線生成動畫） 師：在這個動畫中，你觀察到哪些曲線？ 生（齊）：橢圓，拋物線，雙曲線． 師：是的，它們統(tǒng)稱為圓錐曲線． 公元前，古希臘數(shù)學家阿波羅尼在他的《圓錐曲線》一書中便記載了他對圓錐曲線的幾何性質(zhì)的研究，后來一千多年里人類對其的認識止步于此． 當時，這些研究都是用的純幾何的方法，那么諸如圓錐曲線之類的曲線能否像直線、圓一樣用代數(shù)的方法來研究呢？ 生（齊）：可以． 師：怎樣展開對圓錐曲線的研究呢？ 生（齊）：在坐標系中找到圓錐曲線的方程． 師：那就讓我們先來研究曲線與方程之間的關系吧！ 優(yōu)美的畫面和音樂吸引學生注意力，富于文化的廣告創(chuàng)意調(diào)動學生的積極性，暗藏其中的故事情節(jié)激發(fā)學生的思考和好奇心，情景創(chuàng)設為引入概念鋪墊了良好的氛圍． 通過“問題引導”將學生從視頻，轉(zhuǎn)到解析幾何研究問題的方法上來，再延伸到其他曲線（如圓錐曲線）的研究方法上來，形成認知沖突，讓曲線與方程的學習滿足合理性和必要性． 通過情景創(chuàng)設浸潤數(shù)學文化教育，同時回顧了學生已有相關知識和方法，鏈接了本章章導言和章頭圖，形成了學生學習上的認知沖突，自然引出本課主題． 二、作圖探究，形成概念 探究活動: 請分別作出以下列方程的解為坐標的點構(gòu)成的圖形: 1． ； 問題2：兩位同學作出的圖形之間的差異是什么原因引起的？ 問題3：改變圖形，圖形上點的坐標滿足的關系會發(fā)生變化嗎？ 請你對剛才的曲線與方程之間的關系做一個總結(jié)． 探究活動: 請分別作出以下列方程的解為坐標的點構(gòu)成的圖形: 1． ； 2．． 問題4：為什么你作出來的圖形是一個半圓？引起作出圖形有差異的原因是什么？ 教師適當小結(jié)，請學生根據(jù)自己感受書寫曲線與方程（方程與曲線）的概念． 曲線的方程（方程的曲線）的概念： 一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關系： ⑴曲線上的點的坐標都是這個方程的解； ⑵以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點， 那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形） 問題5： 結(jié)合今天所學知識，你是如何認識直線的方程，圓的方程這兩個已學概念？ 師：請大家按照要求作圖． 師：請你說說你的作圖過程． 生3：先化簡為，它表示直線，取出直線上兩點（0,0），（1,2），連線作出這條直線． 師：有不同意見嗎？ 生4：應該去掉直線上的點才對． 師：為什么呢？ 生4：因為點的坐標不滿足方程． 師：好！你關注到了點的坐標，那么點（1,2）的坐標和方程是什么關系？這個坐標和方程是什么關系呢？ 生4：點（1,2）的坐標是方程的解；不是方程的解． （學生回答，教師板書） 師：剛才兩位同學的圖形不一樣是什么原因造成的？ 生（齊）：方程． 師：方程的區(qū)別在哪里？ 生（齊）：方程的解． 師：那么如果我將這支曲線擦除部分，新得到的曲線上的點又滿足怎樣的關系式呢？ （教師在黑板上將點（1,2）左下方下方抹去） 生（齊）： 師：改變圖形，方程發(fā)生了怎樣的變化． 生（齊）：范圍改變． 師：你根據(jù)剛才的探究進行總結(jié)． 生5：方程改變，曲線也在改變． 師：大家做得非常好！接下來請完成第二個方程． （學生獨立完成，時間2分鐘左右） 師：請看這位同學的圖形，正確嗎？為什么？ 生6：不正確，因為圓的左半部分不符合要求 師：什么原因?qū)е庐a(chǎn)生了兩個不同的圖形呢？ 生6： 的取值范圍，方程的解． 師：方程的解的不同直接導致曲線的不同． 師：（指著黑板說）如果曲線與方程滿足類似的對應關系，我們就稱曲線是方程的曲線，這個方程就是曲線的方程． 你能歸納出曲線的方程（方程的曲線）這一概念的要點嗎？請把它寫在草稿本上． 生：（先獨立書寫，再小組討論歸納2-3分鐘． ） 師：請說一說你對曲線的方程（方程的曲線）下的定義． 生7：我認為要滿足曲線的方程（方程的曲線），必須滿足以下兩條：1．曲線上的點的坐標都是方程的解；2．以方程的解為坐標的點都在曲線上． 師：很準確！ （板書學生所述內(nèi)容，并作適當規(guī)范） 師：你能舉例說明為什么要用兩個限制條件呢？可以缺某一個嗎？ 生8：（預設學生會在剛剛的例子中選擇） 師：能舉一個不滿足第二個限制條件的例子嗎？ 生9：（預設學生會在剛剛的例子中選擇） 師：直線的方程，圓的方程這些概念用今天所學知識該如何理解？ 生10：我認為直線的方程，圓的方程的概念和曲線的方程這一概念是一致的，直線也算特殊的曲線，圓也算曲線的一種． 師：是的． 你能舉例說明嗎？ 生10：比如說“直線”表示方程的直線． 探究活動的素材較好地起到了“先行組織者”的作用． 學生已具有識別直線方程、圓的方程的知識基礎． 在此認知基礎上，通過引導學生作圖、觀察、分析已有兩個事例，感受和體會從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合的思想方法． 通過教師的引導讓學生感知方程的不同導致曲線的不同，教師再適時地改編曲線，導致方程的不同． 讓學生多角度體驗曲線與方程之間的關系． 圓的方程的學習使得學生在獨立完成作圖有了基礎，但是對于方程的變化沒有保證同解導致的曲線差異這一現(xiàn)象的本質(zhì)，學生上不太明白，教師引導學生繼續(xù)感知曲線與方程之間的關系． 概念屬性的歸納——在兩則事例的基礎上進行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征． 引導學生通過剛才對具體事例觀察、分析，抽象概括共同的本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學概念． 用代數(shù)、幾何的語言刻畫和表達一種數(shù)學現(xiàn)象，是數(shù)學學習的基本任務． 概念的明確與表示——下定義，給出準確的數(shù)學語言描述； 對概念的辨析，通過學生舉反例來達成對概念的深入理解． 概念的“結(jié)構(gòu)化”，對概念生成并做了適當辨析和理解后，需要將概念與以前的學習進行聯(lián)系． 三、正反實例，應用概念 例1曲線C：到x軸距離等于1的點形成的軌跡，寫出C的方程． 例2 下列說法是否正確？并說明理由： （1）點 分別為的三個頂點，邊的中線的方程是； （2）曲線C：過點的反比例函數(shù)圖象，方程F：，那么曲線C是方程F的曲線． 【階段小結(jié)】教師引導下，學生交流自己對定義的認識． 師：請你說一下第1題的結(jié)果是什么？ 生11： 生12：不對． 應該是 師：能說說理由嗎？能用今天所學加以說明嗎？ 生12：縱坐標的點是曲線上的點，但這種點的坐標不是方程的解． 師：請看練習2，獨立完成 （學生作圖，應用定義分析） 師：請你來分析（1）是否正確． 生13：中線是線段，而方程表示的是直線，所以不正確． 師：判斷很快捷準確． 能否進一步分析它是不滿足定義的那一條？ 生13：應該是不滿足“以方程的解為坐標的點都是曲線上的點”這一條． 師：請你來分析（2），請到講臺上給大家講解． 生14：錯誤． 兩條都不滿足． 師：進一步分析不符合要求的點或者是方程的解，請你舉例說明． 生14：通過圖象我們發(fā)現(xiàn)曲線是分布在第一、三象限，而方程的曲線在第一、二象限． 師：能否用定義加以說明？ 生14：如點（-4,-1）在曲線上，但不是方程F的解；（-4,1）的坐標是方程的解，以它為坐標的點不在曲線上． 師：其實，要解決曲線與方程的關系的判斷，除了教材上定義之外，還有其他的一些表述，請你在學習定義的基礎上談談自己對曲線與方程關系的判斷方法． 生15：（預設）檢查曲線上的點和方程的解之間的關系． 師：不錯，但注意準確性．應該是曲線上的每一個點和方程的每一個解的關系． 生16：（預設）看曲線上是否有不是方程的解為坐標的點，看曲線是否包括了方程的所有解為坐標的點． 師：很好，這種判斷方法相當于是看曲線是否純粹地列出了方程的解為坐標的點，無多余的點，而方程的解是否完備地通過曲線體現(xiàn)了，沒有漏掉解． 要求學生根據(jù)簡單的曲線寫出方程． 應用概念并鞏固對其的理解． 例2的設計讓學生學會分別從曲線和方程出發(fā)，判斷曲線與方程之間的關系，初步學會應用概念． 通過對概念的應用，將學生對曲線的方程（方程的曲線）這一概念的多角度理解進行梳理，引導學生在說出自己對曲線與方程關系的理解的基礎上對概念再認識． 四、課堂檢測，課外延伸 【課堂檢測】 請將以下四個方程和右邊的圖形用連段連接起來： 【課外延伸】 1． 查閱資料了解數(shù)學家對圓錐曲線的研究歷史，并了解笛卡爾在其中所做出的貢獻． 2． 廣告創(chuàng)意使用到的笛卡爾的愛情傳說中，關于與心形曲線的關系涉及到了極坐標系，我們將會在《選修4-4》中學習． 師：接下來請看課堂檢測． 請將以下四個方程和四個曲線配對，并簡要說明理由． 生17：觀察方程中解的正負和曲線上點的坐標的正負，可以篩選答案． 師：不錯． 如果我們要用概念檢驗曲線和方程之間的關系，該如何分析呢？比如第一個方程和第一幅圖． 生17：第一支曲線上的部分點的坐標不是第一個方程的解，所以方程不是曲線的方程． 師：大家想知道本課之初視頻背后的故事嗎？ 生（齊）：想． （播放視頻） 師：廣告創(chuàng)意使用到的笛卡爾的愛情傳說中，關于與心形曲線的關系涉及到了極坐標系，我們將會在《選修4-4》中學習． 課堂檢測的作用是檢測學生在對定義的理解是否深入，應用是否靈活． 學生根據(jù)范圍直接進行配對，體現(xiàn)了其對曲線與方程關系掌握的靈活性． 《曲線與方程》銜接了直線、圓與圓錐曲線，了解圓錐曲線的發(fā)展歷史，更有利于激發(fā)學生使用方程研究圓錐曲線的興趣，更加積極地學習解析幾何一眼就問題的方法． 對于笛卡爾的愛情傳說，學生一定是很有興趣的，其中涉及到的極坐標系作為本課最后的一個說明即拓展了學生視野，也將高中解析幾何的直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、坐標系與參數(shù)方程四個部分都出現(xiàn)在了本課中． 附：板書設計 六、目標檢測設計 在本節(jié)課的教學中，為了達成教學目標，我注意了教學環(huán)節(jié)的設計與教學目標的達成相呼應，做到目標確定環(huán)節(jié)，在環(huán)節(jié)中實現(xiàn)目標，具體如下：本課的教學目標達成情況如下： 此外，課堂中我還設計了以下目標檢測環(huán)節(jié)： 1.課堂檢測 請將以下四個方程和圖形用連段連接起來： 2.課外延伸 （1）查閱資料了解數(shù)學家對圓錐曲線的研究歷史，并了解笛卡爾和坐標系在其中所做出的貢獻． （2）廣告創(chuàng)意使用到的笛卡爾的愛情傳說中關于與心形曲線的關系，便是曲線與方程對應關系的體現(xiàn)，它涉及到了極坐標系，我們將會在《選修4-4》坐標系與參數(shù)方程中學習． 設計意圖: 課堂檢測的目的是檢測教學效果．再次感受方程的不同導致曲線的不同之間，曲線的差異對應方程的差異，理解數(shù)形結(jié)合思想．學會使用概念對曲線與方程的關系進行界定． 《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架中談到，“文化是人存在的根和魂”，文化基礎包括“人文底蘊”、“科學精神”，本課內(nèi)容承載著這兩個要素，曲線與方程的關系體現(xiàn)了解析幾何核心思想，而解析幾何是近代數(shù)學的里程碑．課外延伸旨在通過讓學生自主查閱資料拓展視野，了解數(shù)學史，感受數(shù)學文化，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．結(jié)尾部分讓學生了解笛卡爾的信件便使用了“曲線與方程的對應關系”這一知識，激發(fā)學生興趣，并不經(jīng)意地提及了坐標系及參數(shù)方程這一解析幾何的板塊． 《曲線與方程》教學設計說明 本課時作為《圓錐曲線與方程》的第一節(jié)課，主要內(nèi)容是曲線的方程（方程的曲線）的概念．學生已經(jīng)對“用方程表示直線、圓”有著感性的認知基礎，能夠根據(jù)直線的方程、圓的方程作對應的圖形，并對數(shù)形結(jié)合思想有初步的了解．結(jié)合以上情況，我制定了本堂課的目標就是結(jié)合實例了解曲線與方程的對應關系，感悟數(shù)形結(jié)合思想.對本課的設計，我作以下說明： 1．關于設計定位． 如果將曲線的方程（方程的曲線）這一概念直接呈現(xiàn)給學生，然后進行對應練習，學生很可能只會機械記憶判斷曲線與方程對應關系的兩個條件，無法理解他們在揭示這種關系時各自所起的作用．我在設計這堂課時始終堅持兩條思路． 一條是以曲線的方程（方程的曲線）這一組概念的知識技能為目標的“明線”，一條是以經(jīng)歷一個完整的“從典型事例中抽象出新的數(shù)學概念”體驗過程為目標的“暗線”．讓數(shù)學思想方法似甘露一樣浸潤學生心田． 2．遵循概念學習的規(guī)律． 曲線與方程的概念的獲得應該符合學生的認知規(guī)律，在情景中認識到研究“曲線與方程的關系”的必要性，在對典型豐富的事例的探究過程中，歸納概括出特征、性質(zhì)，并將自然語言逐步轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言．因此遵循概念教學的規(guī)律，設計了“感知概念——形成概念——辨析概念——應用概念”的教學過程． 3．實現(xiàn)教材中本章“章頭圖”、“章導言”的教育價值和作用． 作為《圓錐曲線與方程》的第一課時，適當對本章學習內(nèi)容進行展望是很有必要的，本課的創(chuàng)設情境部分很好的整合了“章頭圖”、“章導言”與本節(jié)內(nèi)容，產(chǎn)生認知沖動，很好的實現(xiàn)了“章頭圖”、“章導言”的教育價值和作用． 4．浸潤數(shù)學文化、滲透數(shù)學思想、鼓勵數(shù)學閱讀、發(fā)展核心素養(yǎng)． 文化基礎是核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，包括“人文底蘊”和“科學精神”兩個方面，如何在數(shù)學學習過程中根據(jù)恰當素材進行人文情懷的塑造，是每一位數(shù)學教育工作者應該重視的內(nèi)容．本課的內(nèi)容體現(xiàn)了解析幾何的基本數(shù)學思想——數(shù)形結(jié)合思想，是解析幾何的核心概念，課堂中適度安排數(shù)學史、數(shù)學文化相關內(nèi)容能夠讓學生體會數(shù)學發(fā)展的過程，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)． 5．關于多媒體技術的使用 教學中平板電腦充當投影儀的作用，但較傳統(tǒng)投影儀有著記錄學生活動過程，節(jié)約展示時間的優(yōu)勢．因此，根據(jù)需要適當選擇媒體輔助可以更好的實現(xiàn)教學目的．