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限時訓練09 中考中級練(四) 限時：30分鐘　滿分：26分 1．(4分)若對于任意非零實數(shù)a，拋物線y＝ax2＋ax－2a總不經(jīng)過點P(x0－3，x02－16)，則符合條件的點P(　　) A．有且只有1個 B．有且只有2個 C．有且只有3個 D．有無數(shù)個 2．(4分)如圖X9－1，已知△ABC中，∠B＝30，∠C＝60，AC＝2，E是BC邊上一點，將△AEC沿AE翻折，點C落在點D處，若DE∥AB，則EC＝　　　?。? 圖X9－1 3．(8分)如圖X9－2，四邊形ACDE是證明勾股定理用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的邊長，易知AE＝2c，這時我們把關(guān)于x的形如ax2＋2cx＋b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0的一個根，且四邊形ACDE的周長是6，求△ABC的面積． 圖X9－2 4．(12分)如圖X9－3，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90，AB＝BC＝4，P為AC中點，E為AB邊上一動點，F(xiàn)為BC邊上一動點，且滿足條件∠EPF＝45，記四邊形PEBF的面積為S1． (1)求證：∠APE＝∠CFP． (2)記△CPF的面積為S2，CF＝x，y＝S1S2． ①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求y的最大值; ②在圖中作四邊形PEBF關(guān)于AC的對稱圖形，若它們又關(guān)于點P成中心對稱，求y的值． 圖X9－3 參考答案 1．B　[解析] 由題意得拋物線y＝a(x＋2)(x－1)，總不經(jīng)過點P(x0－3，x02-16)，將點P坐標代入拋物線的解析式，得a(x0－1)(x0－4)≠(x0＋4)(x0－4)恒成立．①當x0＝1時，得0≠－15，恒成立，將x0＝1代入P點坐標可得P1(－2，－15);②x0＝4時，左邊＝右邊＝0，不符合題意;③當x0＝－4時，得40a≠0，因為a≠0，所以不等式恒成立，將x0＝－4代入P點坐標可得P2(－7，0);④當x0≠1且x0≠4且x0≠－4時，a≠x0＋4x0－1＝1＋5x0－1不恒成立．綜上所述，存在兩個點P1(－2，－15)，P2(－7，0)． 2．4－2 3　[解析] 如圖所示，由折疊可得∠D＝∠C＝60，AD＝AC＝2， ∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠D＝60， 又∵∠B＝30， ∴∠AFB＝90，即AD⊥BC， ∴∠CAD＝90－60＝30， ∴CF＝12AC＝122＝1，AF＝3， ∴DF＝2-3． 設(shè)CE＝DE＝x，則EF＝1－x， ∵Rt△DEF中，EF2＋DF2＝DE2，∴(1－x)2＋(2-3)2＝x2， 解得x＝4－23，∴EC＝4－23． 故答案為4－23． 3．解：當x＝－1時，有a-2c＋b＝0，即a＋b＝2c． ∵2a＋2b＋2c＝6，即2(a＋b)＋2c＝6， ∴32c＝6，∴c＝2， ∴a2＋b2＝c2＝2，a＋b＝2， ∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab， ∴ab＝1，∴S△ABC＝12ab＝12． 4．解：(1)證明：∵∠EPF＝45，∴∠APE＋∠FPC＝180－45＝135． ∵∠ABC＝90，AB＝BC，∴∠PCF＝45， ∴∠CFP＋∠FPC＝180－45＝135，∴∠APE＋∠FPC＝∠CFP＋∠FPC，∴∠APE＝∠CFP． (2)①∵∠ABC＝90，AB＝BC＝4， ∴AC＝AB2＋BC2＝42． ∵P為AC的中點，∴AP＝CP＝22． ∵∠APE＝∠CFP，∠FCP＝∠PAE＝45， ∴△APE∽△CFP，則APCF＝AEPC， ∴AE＝APPCCF＝2222x＝8x． 如圖①，過點P作PH⊥AB于點H，PG⊥BC于點G，則PH，PG是△ABC的中位線， ∴PH＝12BC＝2，PG＝12AB＝2， ∴S△APE＝12PHAE＝1228x＝8x，S2＝S△PCF＝12CFPG＝12x2＝x， ∴S1＝S△ABC－S△APE－S△PCF＝1244-8x-x＝8-8x-x， ∴y＝S1S2＝8-8x-xx＝－x2＋8x－8＝－(x－4)2＋8． ∵E在AB上運動，F(xiàn)在BC上運動，且∠EPF＝45， ∴2≤x≤4，∴當x＝4時，y取得最大值，y最大值＝8， ∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝－x2＋8x－8(2≤x≤4)，y的最大值為8． ②如圖②所示，圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點P成中心對稱， 則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對稱， 此時EB＝BF，即AE＝FC， ∴8x＝x，解得x＝22， 將x＝22代入y＝－x2＋8x－8，得y＝162-16．