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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 6年高考母題精解精析 專題12 概率02 理 一、選擇題: 1.(xx年高考浙江卷理科9)有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本.若將其隨機(jī)的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率] （A） （B） （C） （D ） 解析：因?yàn)榧滓覂晌煌瑢W(xué)參加同一個(gè)小組有3種方法，兩位同學(xué)個(gè)參加一個(gè)小組共有種方法；所以，甲乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)小組的概率為 點(diǎn)評：本題考查排列組合、概率的概念及其運(yùn)算和分析問題、解決問題的能力。 4. (xx年高考廣東卷理科6)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽．現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為（ ） A. B. C. D. 5．(xx年高考湖北卷理科7)如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為 A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 答案：B 解析：系統(tǒng)正常工作概率為，所以選B. 6．(xx年高考陜西卷理科10)甲乙兩人一起去“xx西安世園會(huì)”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是 （A） （B） （C） （D） 7. (xx年高考四川卷理科12)在集合中任取一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a=（a,b）.從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為，其中面積不超過的平行四邊形的個(gè)數(shù)為，則( ) （A） （B） （C） （D） 8．(xx年高考福建卷理科4)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于 A． B． C． D． 【答案】C 二、填空題: 1.(xx年高考浙江卷理科15)某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率為，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的。記為該畢業(yè)生得到面試得公司個(gè)數(shù)。若，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 2. (xx年高考江西卷理科12)小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為 【答案】 【解析】小波周末不在家看書包含兩種情況:一是去看電影;二是去打籃球;所以小波周末不在家看書的概率為. 3. (xx年高考湖南卷理科15)如圖4，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1） ;（2） . 4. (xx年高考湖北卷理科12)在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期，從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期的概率為 （結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示） 答案： 解析：因?yàn)?0瓶飲料中未過期飲料有30-3=27瓶，故其概率為. 5.(xx年高考重慶卷理科13)將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為 6.(xx年高考安徽卷江蘇5)從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是______ 7．(xx年高考福建卷理科13)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)。若從中隨機(jī)取出2個(gè)球，則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于_______。 【答案】 8．(xx年高考上海卷理科9)馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布律如下表 請小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能肯 定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案 。 【答案】 9．(xx年高考上海卷理科12)隨機(jī)抽取9個(gè)同學(xué)中，至少有2個(gè)同學(xué)在同一月出生的概率是 （默認(rèn)每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到）。 【答案】 三、解答題: 1. (xx年高考山東卷理科18)（本小題滿分12分） 紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。 （Ⅰ）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率； （Ⅱ）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】（Ⅰ）紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率為=0.55. （Ⅱ）取的可能結(jié)果為0,1,2,3,則 =0.1; ++=0.35; =0.4; =0.15. 所以的分布列為 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 數(shù)學(xué)期望=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6. 2. (xx年高考遼寧卷理科19)（本小題滿分12分） 某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙. （I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個(gè)小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表： 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？ 附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數(shù). 即X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是： . 3.(xx年高考安徽卷理科20)（本小題滿分13分） 工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人?，F(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立. （Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？ （Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）； （Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小。 【解析】：（Ⅰ）無論怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率為= （Ⅱ）當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為時(shí)，所需派出人員數(shù)目的分布列為 1 2 3 P 所需派出人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）是 ，若交換前兩人的順序，則變?yōu)椋纱丝梢?，?dāng)時(shí)，交換前兩人的順序可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。 （ii）也可將（Ⅱ）中改寫為，若交換后兩人的順序則變?yōu)?，由此可見，保持第一個(gè)人不變，當(dāng)時(shí)，交換后兩人的順序可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。 組合（i）（ii）可知，當(dāng)時(shí)達(dá)到最小，即優(yōu)先派完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出人員的數(shù)目的均值，這一結(jié)論也合乎常理。 4. (xx年高考全國新課標(biāo)卷理科19)（本小題滿分12分） 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測試了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù) 4 12 42 32 8 （Ⅰ）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.（以實(shí)驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率） 5. (xx年高考天津卷理科16)（本小題滿分13分） 學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱） （Ⅰ）求在一次游戲中，（i）摸出3個(gè)白球的概率；（ii）獲獎(jiǎng)的概率； （Ⅱ）求在兩次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望. （Ⅱ）由題意可知的所有可能取值為0,1,,2, P(=0)=, P(=1)=, P(=2) =, 所以的分布列是 0 1 2 P 的數(shù)學(xué)期望=+=. 6．(xx年高考江西卷理科16)（本小題滿分12分） 某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一項(xiàng)測試，以便確定工資級別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4 杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力． （1）求X的分布列； （2）求此員工月工資的期望． 7. (xx年高考湖南卷理科18)（本小題滿分12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷售量（件） 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變）.設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)由該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨.將頻率視為概率. 求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率； 記為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品視為件數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 由題意知，的可能取值為2，3. + + 故的分布列為 所以的數(shù)學(xué)期望為. 8. (xx年高考廣東卷理科17)（本小題滿分13分） 為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)： （1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量； （2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足≥175且y≥75，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量； （3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨即抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）. （3）的取值為0，1，2。 所以的分布列為 0 1 2 P 故 9.(xx年高考陜西卷理科20)（本小題滿分13分） 如圖，A地到火車站共有兩條路徑 和 ，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表： 時(shí)間（分鐘） 的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站。 （Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ （Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。 （Ⅱ）A、B分別表示針對（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由（Ⅰ）知 又由題意知，A，B獨(dú)立， X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 10.(xx年高考重慶卷理科17)（本小題滿分13分。（Ⅰ）小問5分（Ⅱ）小問8分.） 某市公租房房屋位于A.B.C三個(gè)地區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個(gè)片區(qū)的房屋，且申請其中任一個(gè)片區(qū)的房屋是等可能的，求該市的任4位申請人中: （Ⅰ）若有2人申請A片區(qū)房屋的概率; （Ⅱ）申請的房屋在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望。 （2）設(shè)甲，乙兩個(gè)所付的費(fèi)用之和為，可為 分布列 . 12. (xx年高考全國卷理科18) (本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效) 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為0．5，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0．3,設(shè)各車主購買保險(xiǎn)相互獨(dú)立 (I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的l種的概率； (Ⅱ)X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的車主數(shù)。求的期望。 13．(xx年高考北京卷理科17)本小題共13分 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。 （Ⅰ）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差； （Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。 （注：方差，其中為，，…… 的平均數(shù)） 同理可得 所以隨機(jī)變量Y的分布列為： Y 17 18 19 20 21 P EY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+21=19. 14．(xx年高考福建卷理科19)（本小題滿分13分） 某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) （I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 P 0．4 a b 0．1 且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值； （II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望． （III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由． 注：（1）產(chǎn)品的“性價(jià)比”=； （2）“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性． 解析：本小題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。 解：（I）因?yàn)? 又由X1的概率分布列得 由 （II）由已知得，樣本的頻率分布表如下： 3 4 5 6 7 8 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 P 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 所以