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2019-2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何第1講 直線與圓 理 真題試做 1．(xx陜西高考，理4)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點(diǎn)P(3,0)的直線，則(　　)． A．l與C相交 B．l與C相切 C．l與C相離 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能 2．(xx天津高考，理8)設(shè)m，n∈R，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的取值范圍是(　　)． A．[1－，1＋] B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞) C．[2－2，2＋2] D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞) 3．(xx重慶高考，理3)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是(　　)． A．相離 B．相切 C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心 4．(xx江蘇高考，12)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是__________． 5．(xx江西高考，文14)過直線x＋y－2＝0上點(diǎn)P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________． 6．(xx浙江高考，文17)定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離．已知曲線C1：y＝x2＋a到直線l：y＝x的距離等于曲線C2：x2＋(y＋4)2＝2到直線l：y＝x的距離，則實(shí)數(shù)a＝__________. 考向分析 直線與方程是解析幾何的基礎(chǔ)，高考中主要考查基本概念和求在不同條件下的直線方程；直線平行與垂直的關(guān)系的判定；兩條直線的交點(diǎn)和距離問題等，一般以選擇題、填空題的形式考查．對(duì)于圓的考查，主要是結(jié)合直線的方程用幾何法或待定系數(shù)法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及一般方程；利用圓的性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系等問題，其中含參數(shù)問題為命題熱點(diǎn)．一般以選擇題、填空題的形式考查，難度不大，從能力要求看，主要考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想以及分析問題與解決問題的能力． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　直線方程與兩條直線的位置關(guān)系 經(jīng)過點(diǎn)P(2，－3)作圓(x＋1)2＋y2＝25的弦AB，使點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程為(　　)． A．x－y－5＝0 B．x－y＋5＝0 C．x＋y＋5＝0 D．x＋y－5＝0 規(guī)律方法 (1)求直線方程的方法 ①直接法：直接選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，寫出結(jié)果； ②待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個(gè)條件設(shè)出直線方程，使方程中含有一待定系數(shù)，再由題目中另一條件求出待定系數(shù)． (2)兩條直線平行與垂直的判定 ①若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1； ②兩條不重合的直線a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的充要條件為a1b2－a2b1＝0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1； ③兩條直線a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0垂直的充要條件為a1a2＋b1b2＝0.判定兩直線平行與垂直的關(guān)系時(shí)，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況． (3)忽視對(duì)直線方程中的字母分類討論而丟解或增解 直線方程的截距式＋＝1中，有ab≠0的限制，而截距可以取正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，所以需要對(duì)a，b分類討論，否則容易造成丟解．如過點(diǎn)P(2，－1)，在x軸，y軸上的截距分別為a，b，且滿足a＝3b的直線易漏掉過原點(diǎn)的情形． 變式訓(xùn)練1 (1)“a＝3”是“直線ax－2y－1＝0與直線6x－4y＋c＝0平行”的__________條件．(　　) A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 (2)已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為__________． 熱點(diǎn)二　圓的方程 【例2】已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)，B(2,2)，并且直線m：3x－2y＝0平分圓的面積．求圓C的方程． 規(guī)律方法 圓的方程的求法 求圓的方程一般有兩類方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程一般采用待定系數(shù)法． 特別提醒：圓心到切線的距離等于半徑，該結(jié)論在解題過程中經(jīng)常用到，需牢記． 變式訓(xùn)練2 我們把圓心在一條直線上且相鄰兩圓彼此外切的一組圓叫做“串圓”．在如圖所示的“串圓”中，圓C1和圓C3的方程分別為x2+y2＝1和(x－3)2+(y－4)2＝1，則圓C2的方程為_______. 熱點(diǎn)三　直線與圓的位置關(guān)系 【例3】如圖所示，已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P. (1)求圓A的方程； (2)當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求直線l的方程； (3)是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請(qǐng)說明理由． 規(guī)律方法 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系最基本的解題方法為代數(shù)法，將幾何問題代數(shù)化，利用函數(shù)與方程思想解題． (2)與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長(zhǎng)，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理． 變式訓(xùn)練3 已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：(x－3)2＋(y＋6)2＝25. (1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交； (2)求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線l的方程． 思想滲透 1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 解答與圓有關(guān)的范圍問題時(shí)，經(jīng)常以形助數(shù)，巧妙破解． 【典型例題1】若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(　　)． A．[－1,1＋2] 　 B．[1－2，1＋2] C．[1－2，3] D．[1－，3] 解析：方程y＝x＋b表示斜率為1的平行直線系，曲線方程可化為(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)表示圓心為(2,3)，半徑為2的下半圓． 如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與半圓相切時(shí)須滿足圓心(2,3)到直線x－y＋b＝0的距離等于2，即＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍)． 當(dāng)直線y＝x＋b過點(diǎn)(0,3)時(shí)，可得b＝3，由圖可知滿足題意的b的取值范圍為1－2≤b≤3. 答案：C 2．分類討論思想 遇到字母時(shí)往往要對(duì)其進(jìn)行討論． 【典型例題2】試判斷方程x2＋y2＋4x＋2my＋8＝0表示的曲線類型． 解：將x2＋y2＋4x＋2my＋8＝0配方，得(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－4. (1)當(dāng)m2－4＞0， 即m＜－2或m＞2時(shí)，原方程表示以(－2，－m)為圓心，為半徑的圓； (2)當(dāng)m2－4＝0， 即m＝2時(shí)，原方程表示點(diǎn)(－2，－2)或(－2,2)； (3)當(dāng)m2－4＜0， 即－2＜m＜2時(shí)，原方程不表示任何曲線． 1．“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為(　　)． A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 3．(xx安徽安慶二模，5)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，直線l：2x＋y＝0，則圓C上的點(diǎn)到直線l的距離最大值為(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 4．(xx山東濰坊二模，14)若a，b，c是Rt△ABC的三邊的長(zhǎng)(c為斜邊長(zhǎng))，則圓C：x2＋y2＝4被直線l：ax＋by＋c＝0所截得的弦長(zhǎng)為__________． 5．(xx吉林長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模，14)圓心在直線x－2y－1＝0上，且經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)(2,1)的圓的方程為__________． 6．(xx湖北武昌5月模擬，13)在圓x2＋y2＝4上的點(diǎn)，與直線l：4x＋3y－12＝0的距離的最小值是__________． 7．已知直線l過點(diǎn)P(0,2)，斜率為k，圓Q：x2＋y2－12x＋32＝0. (1)若直線l和圓相切，求直線l的方程； (2)若直線l和圓交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，問是否存在常數(shù)k，使得與共線？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 參考答案 命題調(diào)研明晰考向 真題試做 1．A　解析：由題意可知圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝2.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,0)到圓心的距離d＝＝1＜2， 所以點(diǎn)P在圓內(nèi)．故直線l與圓C相交． 2．D　解析：直線與圓相切， ∴＝1， ∴|m＋n|＝， 即：mn＝m＋n＋1， 設(shè)m＋n＝t，則mn≤2＝， ∴t＋1≤，∴t2－4t－4≥0， 解得：t≤2－2或t≥2＋2. 3．C　解析：直線y＝kx＋1過定點(diǎn)(0,1)，而02＋12＜2， 所以點(diǎn)(0,1)在圓x2＋y2＝2內(nèi)部，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2相交且直線不經(jīng)過圓心，故選C. 4．　解析：圓C的方程可化為(x－4)2＋y2＝1，直線y＝kx－2是過定點(diǎn)(0，－2)的動(dòng)直線．圓心C到直線y＝kx－2的距離d＝，要使其滿足已知條件，則需d≤1＋1， 即≤1＋1，解得0≤k≤. 故k的最大值為. 5．(，)　解析：如圖所示，過P點(diǎn)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，由已知得，∠APO＝30，所以|PO|＝2. 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， 則解得 故所求坐標(biāo)為(，)． 6．　解析：x2＋(y＋4)2＝2到直線y＝x的距離為－＝， 所以y＝x2＋a到y(tǒng)＝x的距離為，而與y＝x平行且距離為的直線有兩條，分別是y＝x＋2與y＝x－2，而拋物線y＝x2＋a開口向上，所以y＝x2＋a與y＝x＋2相切，可求得a＝. 精要例析聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】A　解析：設(shè)圓心為C，則AB垂直于CP. kCP＝＝－1，故直線AB：y＋3＝x－2，即x－y－5＝0，故選A. 【變式訓(xùn)練1】(1)C　解析：兩條直線平行的充要條件是：＝≠， 即故“a＝3”是“直線ax－2y－1＝0與直線6x－4y＋c＝0平行”的必要而不充分條件． (2)x＋y－3＝0　解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(x0,0)(x0＞0)． 由于圓過點(diǎn)(1,0)，則半徑r＝|x0－1|，圓心到直線l的距離d＝. 由弦長(zhǎng)為2可知2＝(x0－1)2－2，整理得(x0－1)2＝4. ∴x0－1＝2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)． 因此圓心為(3,0)，由此可求得過圓心且與直線y＝x－1垂直的直線方程為y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0. 【例2】解：由已知得，線段AB的中點(diǎn)E，kAB＝＝－1，故線段AB的中垂線方程為y－＝x－，即x－y＋1＝0. 因?yàn)閳AC經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，故圓心在線段AB的中垂線上， 又因?yàn)橹本€m：3x－2y＝0平分圓的面積， 所以直線m經(jīng)過圓心． 由解得即圓心C(2,3)． 而圓的半徑r＝|CB|＝＝1， 所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1. 【變式訓(xùn)練2】2＋(y－2)2＝ 解析：易求出C1(0,0)，半徑r1＝1， 圓心C3(3,4)，半徑r3＝1. 設(shè)圓C2的圓心坐標(biāo)為C2(a，b)，半徑r2，據(jù)題意即可解出故圓C2的方程為2＋(y－2)2＝. 【例3】解：(1)設(shè)圓A的半徑為R. ∵圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R＝＝2. ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－2符合題意； 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 連接AQ，則AQ⊥MN. ∵|MN|＝2， ∴|AQ|＝＝1. 由|AQ|＝＝1，得k＝， ∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0. ∴所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. (3)∵AQ⊥BP，∴， ∴ . 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得P，則＝. 又＝(1,2)，∴. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)． 由 解得P， ∴＝， ∴＝－＝－5. 綜上所述，是定值，且. 【變式訓(xùn)練3】(方法一)(1)證明：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則有d＝， 整理可得4(d2－1)m2＋12m＋d2－9＝0，① 為使上面關(guān)于m的方程有實(shí)數(shù)解， 則Δ＝122－16(d2－1)(d2－9)≥0，解得0≤d≤. 可得d＜5，故不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交． (2)解：由(1)可知0≤d≤，即d的最大值為. 根據(jù)平面幾何知識(shí)可知：當(dāng)圓心到直線l的距離最大時(shí)，直線l被圓C截得的線段長(zhǎng)度最短． ∴當(dāng)d＝時(shí)，線段(即弦)的最短長(zhǎng)度為2＝2. 將d＝代入①可得m＝－，代入直線l的方程得直線被圓C截得最短線段時(shí)l的方程為x＋3y＋5＝0. (方法二)(1)證明：將直線l的方程變形有：m(2x－8)－y－3＝0， 解得知直線l過定點(diǎn)A(4，－3)． 又∵(4－3)2＋(－3＋6)2＜25，∴A點(diǎn)在圓C內(nèi)部，因此直線l與圓C總相交． (2)同方法一． 創(chuàng)新模擬預(yù)測(cè)演練 1．A　解析：直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切?圓心(a，b)到直線y＝x＋2的距離d＝r，即＝，|a－b＋2|＝2.解得a－b＝0或a－b＝－4，故選A. 2．B　解析：由圓心在直線x＋y＝0上，不妨設(shè)為C(a，－a)， ∴r＝＝， 解得a＝1，r＝， ∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 3．C　解析：可利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行分析解決． 4．2 5.2＋2＝ 解析：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由題設(shè)可得解此方程組，得所以所求圓的方程為2＋2＝. 6．　解析：圓的半徑是2，圓心O(0,0)到l：4x＋3y－12＝0的距離d＝＝，所以圓x2＋y2＝4上的點(diǎn)與直線l：4x＋3y－12＝0的距離的最小值是－2＝. 7．解：(1)將圓的方程化簡(jiǎn)，得(x－6)2＋y2＝4.圓心Q(6,0)，半徑r＝2. 直線l的方程為：y＝kx＋2， 故圓心到直線l的距離d＝＝，因?yàn)橹本€l和圓相切，故d＝r，即＝2，解得k＝0或k＝－，所以，直線l的方程為y＝2或3x＋4y－8＝0. (2)將直線l的方程和圓的方程聯(lián)立得 消y得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0， 因?yàn)橹本€l和圓相交，故Δ＝[4(k－3)]2－436(1＋k2)＞0，解得－＜k＜0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則有 而y1＋y2＝kx1＋2＋kx2＋2＝k(x1＋x2)＋4，＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(6，－2)． 因?yàn)榕c共線， 所以－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)， 即(1＋3k)(x1＋x2)＋12＝0， 代入得(1＋3k)＋12＝0，解得k＝－. 又因?yàn)椋糼＜0，所以沒有符合條件的常數(shù)k.