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第五單元 數(shù)列
課時(shí)作業(yè)(二十八) 第28講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法
基礎(chǔ)熱身
1.在數(shù)列an中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),則a4的值為 ( )
A.31 B.30
C.15 D.63
2.[2017天門(mén)三校月考] 數(shù)列-1,4,-9,16,-25,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為 ( )
A.an=n2
B.an=-1nn2
C.an=-1n+1n2
D.an=-1n(n+1)2
3.數(shù)列0,2,6,14,30,…的第6項(xiàng)為 ( )
A.60 B.62
C.64 D.94
4.[2017吉林一中月考] 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n,則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是第 項(xiàng).
5.[2017衡陽(yáng)期末] 在數(shù)列an中,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=n2+n(n∈N*),則an= .
能力提升
6.[2017保定二模] 在數(shù)列an中,其前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n+23an,則anan-1的最大項(xiàng)的值為( )
A.-3 B.-1
C.3 D.1
7.在數(shù)列{an}中a1=3,(3n+2)an+1=(3n-1)an (n≥1),則an= ( )
A.63n-1
B.6n+1
C.92n+1
D.32n-1
8.在數(shù)列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,則a2018= ( )
A.-6 B.-3
C.3 D.6
9.[2017鄭州一中模擬] 已知數(shù)列{an}滿足an=8+2n-72n(n∈N*).若數(shù)列{an}的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為M和m,則M+m= ( )
A.112 B.272
C.25932 D.43532
10.已知數(shù)列an,bn滿足a1=b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn,則下列結(jié)論中正確的是 ( )
A.只有有限個(gè)正整數(shù)n使得an<2bn
B.只有有限個(gè)正整數(shù)n使得an>2bn
C.數(shù)列an-2bn是遞增數(shù)列
D.數(shù)列anbn-2是遞減數(shù)列
11.[2018江西省宜春三中月考] 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=Sn(n∈N*),則通項(xiàng)公式an= .
12.已知函數(shù)fx=x2-3tx+18,x≤3,(t-13)x-3,x>3,記an=fn(n∈N*),若an是遞減數(shù)列,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
13.[2017錦州質(zhì)檢] 已知數(shù)列an滿足a1=1,an-an+1=2anan+1n(n+1),n∈N*,則an= .
14.(10分)[2018六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)月考] 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=24,S11=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,并求使得Sn取得最大值時(shí)n的值.
15.(13分)[2017信陽(yáng)質(zhì)檢] 已知數(shù)列an滿足a2=72,且an+1=3an-1.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式以及數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式;
(2)若不等式an+12an+1-32≤m對(duì)任意的n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
難點(diǎn)突破
16.(12分)[2018宜春三中月考] 設(shè)a1=2,a2=4,數(shù)列{bn}滿足bn+1=2bn+2,且an+1-an=bn.
(1)求證:數(shù)列{bn+2}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
加練一課(四) 遞推數(shù)列的通項(xiàng)的求法
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.[2017遵義航天高級(jí)中學(xué)月考] 數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an-1,則an= ( )
A.1 B.2n-1
C.n D.-1
2.已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap+aq且a2=6,那么a10等于 ( )
A.165 B.33
C.30 D.21
3.[2017黃山二模] 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),則S5= ( )
A.31 B.42
C.37 D.47
4.若數(shù)列{an}前8項(xiàng)的值各異,且an+8=an對(duì)任意的n∈N*都成立,則下列數(shù)列中可取遍{an}前8項(xiàng)值的數(shù)列為 ( )
A.{a2k+1} B.{a3k+1}
C.{a4k+1} D.{a6k+1}
5.[2017揭陽(yáng)模擬] 已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=n+1n+2an,則an= ( )
A.1n B.2n+1
C.12n-1 D.32n+1
6.[2017三明質(zhì)檢] 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則S2017=( )
A.321008-3 B.22017-1
C.22009-3 D.21010-3
7.已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+1n+1+n,則an= ( )
A.3n-2 B.2n-1
C.n D.2n+1
8.已知數(shù)列an滿足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),則an= ( )
A.2n2+1 B.3n2+2
C.1n2-n+1 D.2n2-n+2
9.[2017贛州期末] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an+1+(-1)nan=n,則S40= ( )
A.120 B.150
C.210 D.420
10.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,且an=2nan-1an-1+n-1(n≥2,n∈N*),則an= ( )
A.2n+12n+1 B.n2n+12n-1
C.n2n2n-1 D.2n2n-1
11.[2017福州第一中學(xué)質(zhì)檢] 已知數(shù)列an滿足a1=a2=12,an+1=2an+an-1(n∈N*,n≥2),則∑i=220171ai-1ai+1的整數(shù)部分是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
12.已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且an=2an-1,n≥6,an-1+1,2≤n<6,a1=a(a∈R).給出下列3個(gè)結(jié)論:①數(shù)列an+5一定是等比數(shù)列;②若S5<100,則a<18;③若a3,a6,a9成等比數(shù)列,則a=-43.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)為 ( )
A.②
B.②③
C.①③
D.①②③
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)
13.若數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+2,則a10= .
14.[2017深圳調(diào)研] 若數(shù)列an,bn滿足a1=b1=1,bn+1=-an,an+1=3an+2bn,n∈N*,則a2017-a2016= .
15.[2017株洲一模] 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an= .
16.[2018 南寧二中、柳州高中聯(lián)考] 已知數(shù)列2008,2009,1,-2008,…若這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和,則這個(gè)數(shù)列的前2018項(xiàng)之和S2018= .
課時(shí)作業(yè)(二十九) 第29講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
基礎(chǔ)熱身
1.[2017重慶診斷] 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a1=-2,S3=0,則an的公差為 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.在等差數(shù)列an中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,則a3+a6+a9= ( )
A.30 B.27
C.24 D.21
3.[2017葫蘆島期末] 已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a4+a9=10,則S12= ( )
A.30 B.45
C.60 D.120
4.[2017大理模擬] 在等差數(shù)列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,那么a5= .
5.在等差數(shù)列an中,a3+a6=11,a5+a8=39,則公差d= .
能力提升
6.[2017河南八市聯(lián)考] 在等差數(shù)列an中,若a2+a4+a6=3,則a1+a3+a5+a7= ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
7.[2017杭州質(zhì)檢] 設(shè)an是等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若正整數(shù)i,j,k,l滿足i+l=j+k(i≤j≤k≤l),則 ( )
A.aial≤ajak
B.aial≥ajak
C.SiSl
T10+1013恒成立,則整數(shù)n的最小值為 ( )
A.1026 B.1025
C.1024 D.1023
7.[2017合肥調(diào)研] 已知數(shù)列an滿足a1=2,4a3=a6,ann是等差數(shù)列,則數(shù)列{(-1)nan}的前10項(xiàng)的和S10= ( )
A.220 B.110
C.99 D.55
8.[2017臨川實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模] 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法(“少?gòu)V”算法),該算法的前兩步用現(xiàn)代漢語(yǔ)描述如下.第一步:構(gòu)造數(shù)列1,12,13,14,…,1n①.第二步:將數(shù)列①的各項(xiàng)乘n2,得到一個(gè)新數(shù)列a1,a2,a3,…,an.則a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an等于( )
A.n24 B.n-124
C.nn-14 D.nn+14
9.[2017重慶第八中學(xué)月考] 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若an+1=(-1)n-1an+2n+1,則S32= ( )
A.560 B.360
C.280 D.192
10.[2017唐山一模] 數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,則數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和等于 .
11.[2017陜西黃陵中學(xué)模擬] 已知數(shù)列an是公差為整數(shù)的等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a5+2=0,2S1,3S2,8S3成等比數(shù)列,則數(shù)列1anan+1的前10項(xiàng)和為 .
12.[2017玉溪質(zhì)檢] 已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,an+2=1+sin2nπ2an+2cos2nπ2,則該數(shù)列的前20項(xiàng)和為 .
13.(15分)[2017莆田一模] 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2,數(shù)列bn滿足bn=1(2n+1)log2a2n-1 +22n-1.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.
14.(15分)[2017佛山質(zhì)檢] 已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+2,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2-bn.
(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.
難點(diǎn)突破
15.(5分)[2017洛陽(yáng)三檢] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+1=1+an1-an,若a1=2,則{log2an}的前2017項(xiàng)的和為 ( )
A.1 B.2
C.-6 D.-586
16.(5分)[2017撫州臨川區(qū)模擬] 在數(shù)列an中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,n∈N*,若對(duì)于任意的a∈[-2,2],不等式an+1n+1<2t2+at-1恒成立,則t的取值范圍為 .
課時(shí)作業(yè)(三十二) 第32講 數(shù)列的綜合問(wèn)題
基礎(chǔ)熱身
1.[2017河北五校一模] 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a2,a4是方程x2-x-2=0的兩個(gè)根,則S5= ( )
A.-52 B.-5
C.5 D.52
2.[2017河南新鄉(xiāng)一模] 已知數(shù)列an為等差數(shù)列,且滿足OA=a3OB+a2015OC,其中點(diǎn)A,B,C在一條直線上,點(diǎn)O為直線AB外一點(diǎn),記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S2017的值為 ( )
A.20172 B.2017
C.2018 D.2015
3.[2017宜賓二診] 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=ncos2nπ4-sin2nπ4,其前n項(xiàng)和為Sn,則S40為( )
A.10 B.15
C.20 D.25
4.[2017梅河口五中期末] 已知數(shù)列an滿足a1=33,an=12n2-12n+33,則ann取最小值時(shí)n= .
5.現(xiàn)在傳播信息的渠道有很多,可以通過(guò)廣播、電視、網(wǎng)絡(luò)等渠道進(jìn)行傳遞.現(xiàn)有一人自編了一則健康有趣的笑話想通過(guò)QQ傳遞給好友進(jìn)行分享,他立即通過(guò)QQ發(fā)給好友,用10秒鐘發(fā)給了6個(gè)在線好友,接到信息的人同樣用10秒鐘將此信息發(fā)給不知此信息的6個(gè)在線好友,依此下去,則經(jīng)過(guò)一分鐘后有 個(gè)人知道這條信息.
能力提升
6.[2018鞍山第一中學(xué)一模] 設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-2的等差數(shù)列, Sn為其前n項(xiàng)和,若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1= ( )
A.8 B.-8
C.1 D.-1
7.[2017湖南五市十校聯(lián)考] 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1<0,若存在自然數(shù)m≥3,使得am=Sm,則當(dāng)n>m時(shí),Sn與an的大小關(guān)系是 ( )
A.Snan
D.大小不能確定
8.[2018河南名校聯(lián)考] 已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1a2a3a4a5=11024,且a2,a4,a3成等差數(shù)列,則S5= ( )
A.3316 B.3116
C.23 D.1116
9.[2017黃山二模] 對(duì)正整數(shù)n,設(shè)曲線y=(2-x)xn在x=3處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列ann+2的前n項(xiàng)和等于 ( )
A.3n+12-3 B.3n-32
C.3n+1-32 D.3n+32
10.[2017太原三模] 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn+3)(n∈N*)在函數(shù)y=32x的圖像上,等比數(shù)列bn滿足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n項(xiàng)和為T(mén)n,則下列結(jié)論正確的是 ( )
A.Sn=2Tn
B.Tn=2bn+1
C.Tn>an
D.Tn1,a2015a2016>1,a2015-1a2016-1<0.給出下列結(jié)論:(1)00;(3)T2016的值是Tn中最大的;(4)使Tn>1成立的最大自然數(shù)等于4030.其中正確的結(jié)論為 ( )
A.(1)(3) B.(2)(3)
C.(1)(4) D.(2)(4)
16.(5分)[2017湖南永州三模] 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=-1n-1n,若對(duì)任意的正整數(shù)n,有(an+1-p)(an-p)<0恒成立, 則實(shí)數(shù)p的取值范圍是 .
課時(shí)作業(yè)(二十八)
1.C [解析] 由題意,得a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,故選C.
2.B [解析] 易知數(shù)列-1,4,-9,16,-25,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=-1nn2,故選B.
3.B [解析] 觀察數(shù)列,得出規(guī)律:a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,a5-a4=24,因此a6-a5=25,所以a6=62,故選B.
4.5 [解析] 因?yàn)閍n=3n2-28n=3n-1432-1963,且n∈N*,所以當(dāng)n=5時(shí),an取得最小值.
5.2n [解析] 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2,滿足上式.故an=2n.
6.C [解析] 當(dāng)n≥2時(shí),Sn=n+23an,Sn-1=n+13an-1.兩式作差可得an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,則anan-1=n+1n-1=1+2n-1,據(jù)此可得,當(dāng)n=2 時(shí),anan-1取到最大值3.
7.A [解析] ∵(3n+2)an+1=(3n-1)an,∴an+1=3n-13n+2an,∴an=3(n-1)-13(n-1)+23(n-2)-13(n-2)+2…32-132+23-13+2a1=3n-43n-13n-73n-4…58253=63n-1,故選A.
8.D [解析] 根據(jù)題意可知a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,那么a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,…,可知數(shù)列{an}的周期為6,那么a2018=a3366+2=a2=6,故選D.
9.D [解析] ∵an=8+2n-72n,∴an+1=8+2n-52n+1,∴an+1-an=2n-52n+1-2n-72n=2n-5-2(2n-7)2n+1=-2n+92n+1.∴當(dāng)1≤n≤4時(shí),an+1>an,即a5>a4>a3>a2>a1;當(dāng)n≥5時(shí),an+1a6>a7>….因此數(shù)列an先遞增后遞減,∴當(dāng)n=5時(shí),a5=25932為最大項(xiàng),即M=25932,又當(dāng)n→∞時(shí),an→8,a1=112,∴最小項(xiàng)為112,即m=112,∴m+M=112+25932=43532.故選D.
10.D [解析] 根據(jù)題意可構(gòu)造數(shù)列{an-2bn},則an+1-2bn+1=an+2bn-2an-2bn=(1-2)an-(1-2)2bn=(1-2)(an-2bn).因?yàn)閍1=b1=1,所以a1-2b1=1-2,所以{an-2bn}是以1-2為首項(xiàng),1-2為公比的等比數(shù)列,故an-2bn=(1-2)n,所以A,B不正確.因?yàn)閧an-2bn}的公比為1-2,其絕對(duì)值小于1,所以{|an-2bn|}為遞減數(shù)列,所以C不正確.anbn-2=1bn|an-2bn|,易知數(shù)列an,bn為遞增數(shù)列,故1bn為遞減數(shù)列,又{|an-2bn|}為遞減數(shù)列,故anbn-2為遞減數(shù)列,D正確.
11.an=1,n=1,2n-2,n≥2 [解析] 由an+1=Sn①,可得an=Sn-1(n≥2)②,①-②得an+1-an=Sn-Sn-1=an(n≥2),即an+1an=2(n≥2),又a2=S1=1,所以a2a1=1≠2,則數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列,所以an=1,n=1,2n-2,n≥2.
12.53,4 [解析] 因?yàn)閍n是遞減數(shù)列,數(shù)列{an}從a4項(xiàng)開(kāi)始用式子(t-13)x-3計(jì)算,所以只要t-13<0,即t<13即可.因?yàn)閍1,a2,a3通過(guò)x2-3tx+18計(jì)算,所以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),應(yīng)該有3t2>52且a3>a4,即t>53且9-9t+18>t-13,解得531,∴1<∑i=220171ai-1ai+1<2,則∑i=220171ai-1ai+1的整數(shù)部分是1,故選B.
12.B [解析] 根據(jù)題意,數(shù)列an滿足an=2an-1,n≥6,an-1+1,2≤n<6,且a1=a,則a2=a1+1=a+1,a3=a2+1=a+2,a4=a3+1=a+3,a5=a4+1=a+4,a6=2a5=2a+8,a7=2a6,…對(duì)于①,當(dāng)a=-4時(shí),a6=2a+8=0,此時(shí)數(shù)列an+5不是等比數(shù)列,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,若S5<100,則有S5=(a1+a2+…+a5)=5(a+2)<100,則有a<18,故②正確;對(duì)于③,根據(jù)題意,a3=a+2,a6=2a+8,a9=24a5=16(a+4),若a3,a6,a9成等比數(shù)列,則有(2a+8)2=(a+2)16(a+4),且a6=2a+8≠0,解得a=-43,故③正確.故選B.
13.19 [解析] 因?yàn)閍n+1=an+2,所以an+1-an=2,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,所以a10=1+(10-1)2=19.
14.22017 [解析] 由題得,a2=3a1+2b1=5,當(dāng)n≥2時(shí),an+1=3an+2bn=3an-2an-1,所以an+1-an=2(an-an-1),又a2-a1=4,所以數(shù)列{an-an-1}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,所以a2017-a2016=422016-1=22017.
15.1,n=1,n!2,n≥2 [解析] 當(dāng)n≥2時(shí),由已知得an+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan,用此等式減去已知等式,得an+1-an=nan,即an+1=(n+1)an,又a2=a1=1,∴a1=1,a2a1=1,a3a2=3,a4a3=4,…,anan-1=n,將以上n個(gè)式子相乘,得an=n!2(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a1=1不滿足上式,則an=1,n=1,n!2,n≥2.
16.4017 [解析] 設(shè)該數(shù)列為{an},則a1=2008,a2=2009,a3=1,a4=-2008,由題意得a5=-2009,a6=-1,a7=2008,…所以an+6=an,即數(shù)列an是以6為周期的數(shù)列,又a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, ∴S2018=336(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a1+a2)=4017.
課時(shí)作業(yè)(二十九)
1.B [解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題設(shè)可得3(-2)+322d=0,解得d=2,故選B.
2.B [解析] 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,等差數(shù)列第1,4,7項(xiàng)的和,第2,5,8項(xiàng)的和與第3,6,9項(xiàng)的和成等差數(shù)列,所以a3+a6+a9=233-39=27,故選B.
3.C [解析] S12=(a1+a12)122=6(a4+a9)=60,故選C.
4.9 [解析] 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.
5.7 [解析] 由(a5+a8)-(a3+a6)=39-11=4d=28,得d=7.
6.B [解析] 由a2+a4+a6=3得a4=1,則a1+a3+a5+a7=4a4=4,故選B.
7.A [解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.可以令i=1,j=2,k=3,l=4,則aial-ajak=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d2≤0,S1S4-S2S3=a1(4a1+6d)-(2a1+d)(3a1+3d)=-2a12-3a1d-3d2=-2a1+34d2-158d2≤0,故只有A選項(xiàng)正確.
8.B [解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意,得2a1+4d=-14,9a1+36d=-27,解得a1=-11,d=2,則an=2n-13.令an=2n-13≤0,an+1=2(n+1)-13≥0,解得112≤n≤132.因?yàn)閚∈N*,所以n=6,即當(dāng)n=6時(shí),Sn取得最小值,故選B.
9.A [解析] 設(shè)最上面一節(jié)竹子的容積為a1,則依題意可知a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=3,a7+a8+a9=3a8=4,則有a2+a3=32,a8=43,所以a2+a3+a8=32+43=176,故選A.
10.A [解析] 設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,則由題設(shè)可得bn=an+1-an=b1+(n-1)d,則a2-a1=b1,a3-a2=b1+d,a4-a3=b1+2d,…,a31-a30=b1+29d,累加得a31-a1=30b1+(1+2+…+29)d=30b1+29302d,即a31=15(2b1+29d),又b15+b16=2b1+29d=15,所以a31=15(2b1+29d)=1515=225,故選A.
11.-2017 [解析] ∵Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,∴Snn是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d.∵S20142014-S20082008=6,∴6d=6,d=1.∵a1=-2017,∴S11=-2017,∴Snn=-2017+(n-1)1=-2018+n,∴S2017=(-2018+2017)2017=-2017.
12.201732016 [解析] 由題意可得,當(dāng)n≥2時(shí),an+bn=an-1+bn-1+2,an-bn=13an-1-13bn-1=13(an-1-bn-1),所以數(shù)列{an+bn}是以a1+b1=3 為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列{an-bn}是以a1-b1=1 為首項(xiàng),13 為公比的等比數(shù)列,所以(a1008+b1008)(a2017-b2017)=(3+21007)1132016=201732016.
13.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,
因?yàn)閍1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4,所以2d=4,d=2.
又a1+a2=a1+a1+d=6,所以a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2n.
(2)記bn=an+an+1,所以bn=2n+2(n+1)=4n+2,
又bn+1-bn=4(n+1)+2-4n-2=4,所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為6,公差為4的等差數(shù)列,
其前n項(xiàng)和Sn=n(b1+bn)2=n(6+4n+2)2=2n2+4n.
14.解:(1)由題意知2Sn=1+an,即4Sn=(1+an)2.當(dāng)n=1時(shí),可得a1=1.
當(dāng)n≥2時(shí),有4Sn-1=(an-1+1)2,又4Sn=(an+1)2,兩式相減得
(an+an-1)(an-an-1-2)=0,∵an>0,∴an-an-1=2,則數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,即an=2n-1.
(2)2anan+1=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1,
∴Tn=1-13+13-15+…+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1.
15.C [解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵S3=a1+a2+a3=3a2=9,a2a4=21,∴a2=3,a4=7,d=2,an=2n-1.設(shè)Tn=b1a1+b2a2+…+bnan=b11+b23+…+bn2n-1=1-12n,則Tn+1=b11+b23+…+bn2n-1+bn+12n+1=1-12n+1,兩式作差得Tn+1-Tn=bn+12n+1=12n-12n+1=12n+1,所以bn+1=2n+12n+1,則bn=2n-12n.當(dāng)bn<110,即2n-12n<110時(shí),得n的最小值為8,故選C.
16.8 [解析] 由題知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn=-2,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=3.又a2b1=b2a1+b1,可得a2=74.當(dāng)n=2k時(shí),有a2k+1b2k=b2k+1a2k+b2k,即3a2k+1=-2a2k+3①.當(dāng)n=2k-1時(shí),有a2kb2k-1=b2ka2k-1+b2k-1,即-2a2k=3a2k-1-2②.當(dāng)n=2k+1時(shí),有a2k+2b2k+1=b2k+2a2k+1+b2k+1,即-2a2k+2=3a2k+1-2③.由①③可得a2k+2-a2k=-12,由①②可得a2k+1-a2k-1=13,則數(shù)列a2k,a2k-1都是等差數(shù)列,首項(xiàng)分別為a2=74,a1=-12,公差分別為-12,13.則S2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=na1+n(n-1)213+na2+n(n-1)2-12=-n212+43n.則當(dāng)n=8時(shí),S2n取得最大值.
課時(shí)作業(yè)(三十)
1.D [解析] 由題意,得(2-3)a=22,解得a=4(2+3),故選D.
2.A [解析] 由題意得,q3=a6a3=124=18,則q=12,故選A.
3.C [解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由S3=14,a3=8,得S3=a1(1+q+q2)=14,a3=a1q2=8,可得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=225=64,故選C.
4.8 [解析] 因?yàn)閍3a5a7=64,所以a53=64,解得a5=4,故a4=a5q=8.
5.1+5 [解析] 由等比數(shù)列的性質(zhì)知S2,S4-S2,S6-S4也成等比數(shù)列,所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(S4-2)2=2(4-S4),解得S4=1+5或S4=1-5(舍).
6.B [解析] 由a5=2S4+3,a6=2S5+3可得a6-a5=2a5,則a6a5=3,故選B.
7.B [解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a3=-4,a7=-16,∴a52=a3a7=(-4)(-16)=64,又a5=a3q2=-4q2<0,∴a5=-8.故選B.
8.A [解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由log2a3+log2a10=1得log2a3a10=1,即a3a10=2.∵a5a6a8a9=16,∴(a5a8)(a6a7)q2=16,∴q2=4.由真數(shù)大于零得q>0,∴q=2.故選A.
9.C [解析] 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,故a4,a7是一元二次方程x2-2x-8=0的兩個(gè)根,解得a4=-2,a7=4或a4=4,a7=-2,故a1=1,q3=-2,a10=-8或a1=-8,q3=-12,a10=1,所以a1+a10=-7.
10.A [解析] 由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,∴q2-q-2=0,∴q=2.∵aman=4a1,∴qm+n-2=16,∴2m+n-2=24,∴m+n=6,∴1m+4n=16(m+n)1m+4n=165+nm+4mn≥16(5+4)=32,當(dāng)且僅當(dāng)nm=4mn時(shí)等號(hào)成立,故1m+4n的最小值等于32.
11.B [解析] ∵等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比數(shù)列,a1=3,∴(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0,∵d≠0,∴d=-2,則an=3+(n-1)(-2)=5-2n,Sn=3n+n(n-1)2(-2)=4n-n2,anSn=(5-2n)(4n-n2)=2n3-13n2+20n.設(shè)f(x)=2x3-13x2+20x,則f(x)=6x2-26x+20,令f(x)=0,得x1=1,x2=103,則f(x)在1,103上單調(diào)遞減,在103,+∞上單調(diào)遞增.結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知,當(dāng)n=3時(shí),anSn取得最小值233-1332+203=-3.故anSn的最小值為-3.故選B.
12.3 [解析] 由數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列可得S1+2,S2+2,S3+2成等比數(shù)列,則(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),即(4+4q+2)2=(4+2)(4+4q+4q2+2),解得 q=3或q=0(舍去).
13.24(1-4-100) [解析] 由題得等比數(shù)列an的公比q=4a6a2=4116=12,所以a1=6,顯然數(shù)列anan+1也是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為a1a2=18,公比q=anan+1an-1an=q2=122=14,于是a1a2+a2a3+…+a100a101=181-141001-14=24(1-4-100).
14.解:(1)由an+1=1+Sn得當(dāng)n≥2時(shí),an=1+Sn-1,
兩式相減得an+1=2an.
因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列,所以a2=2a1,
又因?yàn)閍2=1+S1=1+a1,所以a1=1,則an=2n-1.
(2)易得數(shù)列l(wèi)g4002n-1是一個(gè)遞減數(shù)列,
所以lg40020>lg40021>lg40022>…>lg40028>0>lg40029>…
由此可知當(dāng)n-1=8,即n=9時(shí),數(shù)列l(wèi)g400an的前n項(xiàng)和Tn取得最大值.
15.解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=λ.當(dāng)n≥2 時(shí),an=Sn-Sn-1=(n-1)2n-(n-2)2n-1=n2n-1.
故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=λ,n=1,n2n-1,n≥2.
(2)由anbn=n,可得bn=1λ,n=1,12n-1,n≥2.
因?yàn)閿?shù)列bn為等比數(shù)列,
所以首項(xiàng)b1=1λ 滿足n≥2的情況,故λ=1.
則Tn=b1+b2+…+bn=1-12n1-12=21-12n.
因?yàn)門(mén)n+1-Tn=12n>0,所以Tn是遞增的,故Tn≥1且Tn<2.
又存在m∈N*,使得m
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2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
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