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24.3　圓周角 第1課時　圓周角定理及其推論 01　　基礎(chǔ)題 知識點1　圓周角的概念 1．下列圖形中的角是圓周角的是（B） 知識點2　圓周角定理 2．（xx南充）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上的一點，∠OAC＝32，則∠B的度數(shù)是（A） A．58 B．60 C．64 D．68 第2題圖 　　第3題圖 3．如圖，AB是⊙O的直徑，∠D＝35，則∠BOC的度數(shù)為（D） A．120 B．70 C．100 D．110 4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝ 45，AB ＝4，則⊙O的半徑為（A） A．2 B．4 C．2 D．5 5．如圖所示，半徑OA⊥OB，弦AC⊥BD于點E，求證：AD∥BC. 證明：∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90. ∴∠C＝∠D＝∠AOB＝45. 又∵AC⊥BD，∴∠AED＝90. ∴∠DAE＝45. ∴∠C＝∠DAE. ∴AD∥BC. 知識點3　圓周角定理的推論 6．（xx阜新）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在圓上，∠ABC＝65，那么∠OCA的度數(shù)是（A） A．25 B．35 C．15 D．20 第6題圖 　　第7題圖 7．（教材P29練習T2變式）如圖，⊙O中，弦AB，CD相交于點P.若∠A＝30，∠APD＝70，則∠B等于（C） A．30 B．35 C．40 D．50 8．（xx滁州一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，直徑DE⊥AC于點P.若點D在優(yōu)弧上，AB＝8，BC＝3，則DP＝5.5． 9．如圖，點A，B，C，D在⊙O上． （1）圖中有哪些相等的角？ （2）如果∠1＝∠2，圖中存在全等三角形嗎？如果存在，請找出來并證明． 解：（1）∠C＝∠D，∠DAC＝∠CBD. （2）存在．△ABD≌△BAC. 證明：在△ABD和△BAC中， ∴△ABD≌△BAC（AAS）． 易錯點　忽略弦所對的圓周角不唯一而致錯 10．已知⊙O的弦AB的長等于⊙O的半徑，則此弦AB所對的圓周角的度數(shù)為30或150． 02　　中檔題 11．如圖，點A，B，O是正方形網(wǎng)格上的三個格點，⊙O的半徑為OA，點P是優(yōu)弧上的一點，則tan∠APB的值是（A） A．1 B. C. D. 第11題圖 　　第12題圖 12．數(shù)學課上，老師讓學生用尺規(guī)作圖畫Rt△ABC，使斜邊AB＝c，BC＝a，小明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是（B） A．勾股定理 B．直徑所對的圓周角是直角 C．勾股定理的逆定理 D．90的圓周角所對的弦是直徑 13．（xx陜西）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65，作CD∥AB，并與⊙O相交于點D，連接BD，則∠DBC的大小為（A） A．15 B．35 C．25 D．45 第13題圖 　　第14題圖 14．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝50，點D是上一點，則∠D＝40． 15．將量角器按如圖所示的方法放置在三角形紙板上，使頂點C在半圓上，點A，B的讀數(shù)分別為100，150，則∠ACB的大小為25． 16．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝6，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝45.若點M，N分別是AB，BC的中點，則MN長的最大值是3． 17．已知：如圖，CA＝CB＝CD，過三點A，C，D的⊙O交AB于點F.求證：CF平分∠BCD. 證明：連接AD. ∵CA＝CB＝CD， ∴∠B＝∠BAC，∠CDA＝∠DAC＝∠BAC＋∠BAD. ∵∠CFA＝∠CDA，∠CFA＝∠BCF＋∠B， ∴∠BAD＝∠BCF. ∵∠BAD＝∠FCD， ∴∠BCF＝∠FCD. ∴CF平分∠BCD. 03　　鏈接中考 18．如圖，⊙O為銳角△ABC的外接圓，半徑為5. （1）用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線，并標出它與劣弧的交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）若（1）中的點E到弦BC的距離為3，求弦CE的長． 解：（1）如圖． （2）連接OE交BC于點F，連接OC，CE， ∵AE平分∠BAC， ∴＝. ∴OE⊥BC，EF＝3. ∴OF＝5－3＝2. 在Rt△OFC中，由勾股定理，可得 FC＝＝， 在Rt△EFC中，由勾股定理，可得 CE＝＝. 第2課時　圓內(nèi)接四邊形 01　　基礎(chǔ)題 　　　　　　　　　　　　　　　　 知識點1　圓內(nèi)接多邊形的概念 1．下列多邊形中一定有外接圓的是（A） A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 知識點2　圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 2．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形．若∠A＝70，則∠C的度數(shù)是（B） A．100 B．110 C．120 D．130 第2題圖 　　　第3題圖 3．如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點．若∠BAD＝105，則∠DCE的大小是（B） A．115 B．105 C．100 D．95 4．若四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶8，則∠D的度數(shù)是（D） A．10 B．30 C．80 D．120 5．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝115，則∠BOD等于130． 第5題圖 　　　第6題圖 6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若它的一個外角∠DCE＝70，則∠BOD＝140． 7．已知圓內(nèi)接四邊形相鄰三個內(nèi)角度數(shù)的比為2∶1∶7，求這個四邊形各內(nèi)角的度數(shù)． 解：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，可知其對角和相等，所以四個內(nèi)角的度數(shù)的比為2∶1∶7∶8. 設(shè)這四個內(nèi)角的度數(shù)分別為2x、x、7x、8x，則 2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20. 則2x＝40，7x＝140，8x＝160. 答：這個四邊形各內(nèi)角的度數(shù)分別為40、20、140、160. 8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B＝50，∠ACD＝25，∠BAD＝65.求證： （1）AD＝CD； （2）AB是⊙O的直徑． 證明：（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接 于⊙O，∠B＝50， ∴∠D＝180－∠B＝130. ∵∠ACD＝25， ∴∠DAC＝180－∠ACD－∠D＝25. ∴∠DAC＝∠ACD. ∴AD＝CD. （2）∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65－25＝40，∠B＝50， ∴∠ACB＝180－∠B－∠BAC＝90. ∴AB是⊙O的直徑． 易錯點　對圓內(nèi)接四邊形的概念理解不清導(dǎo)致錯誤 9．（xx銅仁）如圖，已知圓心角∠AOB＝110，則圓周角∠ACB＝（D） A．55 B．110 C．120 D．125 02　　中檔題 10．如圖，⊙C過原點O，且與兩坐標軸分別交于A，B兩點，點A的坐標為（0，3），M是第三象限內(nèi)上一點，∠BMO＝120，則⊙C的半徑為（C） A．6 B．5 C．3 D．3 11．（教材P31練習T1變式）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BC＝DC，∠BOC＝130，則∠BAD的度數(shù)是（B） A．120 B．130 C．140 D．150 第11題圖 　　第12題圖 12．（xx安慶二模）如圖，在⊙O中，已知∠OAB＝21.5，則∠C的度數(shù)為111.5． 13．（聊城中考改編）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是上一點，且＝，連接CF并延長交AD的延長線于點E，連接AC.若∠ABC＝105，∠BAC＝25，則∠E的度數(shù)為50． 第13題圖 　　第14題圖 14．（安徽中考）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，O點在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD＋∠OCD＝60． 15．（xx安徽模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC＝DE. （1）求證：∠A＝∠AEB； （2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD.求證：△ABE是等邊三角形． 證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠A＝∠DCE. ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠AEB. ∴∠A＝∠AEB. （2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形． ∵EO⊥CD， ∴EO是CD的垂直平分線．∴ED＝EC. ∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC. ∴△DCE是等邊三角形． ∴∠AEB＝60. ∴△ABE是等邊三角形． 16．如圖，AB是⊙O的直徑，D，E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD.連接AC交⊙O于點F，連接AE，DE，DF. （1）求證：∠E＝∠C； （2）若∠E＝55，求∠BDF的度數(shù)． 解：（1）證明：連接AD. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90，即AD⊥BC. ∵CD＝BD， ∴AD垂直平分BC. ∴AB＝AC. ∴∠B＝∠C. 又∵∠B＝∠E， ∴∠E＝∠C. （2）∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠CFD＝∠E＝55. ∵∠E＝∠C＝55， ∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110. 03　　鏈接中考 17．（安徽中考變式）如圖，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E，F(xiàn).若∠E＋∠F＝70，則∠A的度數(shù)是55．