內(nèi)蒙古中考數(shù)學重點題型專項訓練 二次函數(shù)綜合題.doc
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二次函數(shù)綜合題 類型一 與角度有關的問題 ★1.拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于點A，B(A在B 的左側)，與y軸交于點C. (1)求直線BC的解析式； (2)拋物線的對稱軸上存在點P，使∠APB＝∠ABC，利用圖 ①求點 P 的坐標； (3)點Q在y軸右側的拋物線上，利用圖②比較∠OCQ與 ∠OCA 的大小，并說明理由． 第 1 題圖 解：(1)當y＝0時，得0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3， ∴B 點的坐標為(3，0)， 當 x＝0，得 y＝3，即 C 點坐標為(0，3)，設直線 BC 的解析式為 y＝kx＋3(k≠0)， 將點 B(3，0)代入得0＝3k＋3，解得 k＝－1， ∴直線 BC 的解析式為 y＝－x＋3； (2)由(1)可知OB＝OC＝3， ∴△BOC 為等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45， 拋物線對稱軸為 x＝1， 設拋物線對稱軸交直線 BC 于點 D，交 x 軸于點 E， 當點 P 在 x 軸上方時，如解圖①， 第 1 題解圖① ∵∠APB＝∠ABC＝45，且 PA＝PB， ∴∠PBA＝180－45＝67.5， 2 ∠DPB＝12∠APB＝22.5， ∴∠PBD＝67.5－45＝22.5， ∴∠DPB＝∠DBP， ∴DP＝DB， 在 Rt△BDE中，BE＝DE＝2，由勾股定理可得，BD＝22， ∴PE＝2＋22， ∴P(1，2＋22)； 當點 P 在 x 軸下方時，由對稱性可知 P 點坐標為(1，－2－ 22)， 綜上可知，拋物線的對稱軸上存在點 P,使∠APB=∠ABC，P 點坐標為(1，2＋22)或(1，－2－22)； （3）如解圖②，作點A關于y軸對稱的點F， 點 F 的坐標為(1，0)， 則∠OCA＝∠OCF， 設直線 CF 的解析式為 y＝kx＋b， 把點 C(0，3)，F(xiàn)(1，0)代入求得 k＝－3，b＝3， 則直線 CF 的解析式為 y＝－3x＋3， y＝－3x＋3 聯(lián)立y＝－x2＋2x＋3， x1＝0 解 得 y1＝3 ， x2＝5 y2＝－12， 直線 CF 與拋物線的交點坐標為 (0，3)、(5，－12)，第1題解圖②設點 Q 的坐標為 (a，－a2＋2a＋3)， 當 0＜a＜5 時，∠OCF＜∠OCQ，則∠OCA＜∠OCQ； 當 a＝5時，∠OCF＝∠OCQ，則∠OCA＝∠OCQ； 當 a＞5時，∠OCF＞∠OCQ，則∠OCA＞∠OCQ. 類型二 線段及周長問題 ★1. 如圖，拋物線y＝－14x2＋bx＋c的圖象過點A(4，0)， B(－4，－4)，且拋物線與 y 軸交于點 C，連接 AB，BC，AC. (1)求拋物線的解析式； (2)點P是拋物線對稱軸上的點，求△PBC周長的最小值及此 時點 P 的坐標； (3)若E是線段AB上的一個動點(不與A、B重合)，過E作y軸的平行線，分別交拋物線及 x 軸于 F、D 兩點.請問是否存 在這樣的點 E，使 DE＝2DF？若存在，請求出點 E 的坐標；若不存在，請說明理由. 第 1 題圖 解：(1)∵拋物線y＝－14x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A(4，0)，B(－4，－4)， － 1 16 + 4b+c= 0 1 4 b = ， 2 ∴ 1 ，解得 － 16 - 4b+c= -4 c =2 4 ∴拋物線的解析式為 y＝－14 x2＋12 x＋2； （2）由拋物線y＝－14x2＋12x＋2 可得其對稱軸為直線x＝ 1 2 － 1 ＝1，點 C 的坐標為(0，2)， 2 (－4) 如解圖，作點 C 關于對稱軸 x＝1的點 C′，則 C′的坐標為(2，2)，連接 BC’； 即 BC′＝ (2 + 4)2+ (2 + 4)2＝62， BC′與對稱軸的交點即為所求點 P，連 第 1 題解圖 接 CP， 此時△PBC 的周長最?。? 設直線 BC′的解析式為 y＝kx＋m， ∵點 B(－4，－4)，C′(2，2)， ∴ 2k+m= 2 ，解得 k =1 ， -4k+m= -4 m =0 ∴直線 BC′的解析式為 y＝x， 將 x＝1代入 y＝x，得 y＝1， ∴點 P 坐標為(1，1)． ∴BC＝ 42+ (2 + 4)2= 213 . ∵△PBC 的周長為 CP＋BC＋PB＝BC＋BC′， ∴△PBC 周長的最小值為213＋62； (3)由點A(4，0)，B(－4，－4)可得直線AB的解析式為y＝12x－2，設點E(x，12x－2)，其中－4
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