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第24章 圓 考試時間：120分鐘；滿分：150分 學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 題號 一 二 三 總分 得分 　 評卷人 得 分 一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分） 1．（4分）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（　?。? A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 2．（4分）如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC．若∠A=60，∠ADC=85，則∠C的度數(shù)是（　?。? A．25 B．27.5 C．30 D．35 3．（4分）已知⊙O的半徑為5cm，直線1上有一點P，OP=5cm，則直線1與⊙O的位置關(guān)系為（　?。? A．相交 B．相離 C．相切 D．相交或相切 4．（4分）如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，線段PO交⊙O于點C，連結(jié)BC，若∠P=36，則∠B等于（　?。? A．27 B．32 C．36 D．54 5．（4分）在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2+PG2的最小值為（　?。? A． B． C．34 D．10 6．（4分）某同學(xué)以一個邊長為1的正六邊形的三個頂點為圓心，邊長為半徑，向外畫了三段圓弧，設(shè)計了如圖所示的圖案．則圖案外圍輪廓的周長為（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 7．（4分）若一個正多邊形的中心角等于其內(nèi)角，則這個正多邊形的邊數(shù)為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 8．（4分）如圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個扳手的開口a的值應(yīng)是（　?。? A．2cm B．cm C．cm D．1cm 9．（4分）如圖，已知圓O的半徑為a，點A，B，C均在圓O上，且OB⊥AC，則圖中陰影部分的面積是（　?。? A．（+π）a2 B．πa2 C．（+1）a2 D．πa2 10．（4分）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，將△ABC繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)40得到△ADE，點B經(jīng)過的路徑為弧BD，是圖中陰影部分的面積為（　?。? A．π﹣6 B．π C．π﹣3 D．+π 　 評卷人 得 分 二．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分） 11．（5分）已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是　 　cm． 12．（5分）如圖，在圓O中，AB為直徑，AD為弦，過點B的切線與AD的延長線交于點C，AD=DC，則∠C=　 　度． 13．（5分）如圖，在正五邊形ABCDE中，AC與BE相交于點F，則∠AFE的度數(shù)為　 ?。? 14．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＜AD，∠D=30，CD=4，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，則陰影部分的面積為　 　． 　 評卷人 得 分 三．解答題（共9小題，滿分90分） 15．（8分）如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC．求證：∠1=∠2． 16．（8分）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑． 17．（8分）文藝復(fù)興時期，意大利藝術(shù)大師達(dá)．芬奇研究過用圓弧圍成的部分圖形的面積問題．已知正方形的邊長是2，就能求出圖中陰影部分的面積． 證明：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2，S4=　 　，S5=　 　，S6=　 　+　 　，S陰影=S1+S6=S1+S2+S3=　 　． 18．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，∠DAB=45，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）． 19．（10分）已知在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED． （1）求證：ED=EC； （2）若CD=3，EC=2，求AB的長． 20．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D的切線交AC的延長線于點E． 求證：（1）DE⊥AE； （2）AE+CE=AB． 21．（12分）如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，過B點的切線交OP于點C． （1）求證：∠CBP=∠ADB． （2）若OA=2，AB=1，求線段BP的長． 22．（12分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，對角線AE與BF相交于點M，BD與CE相交于點N． （1）求證：AE=FB； （2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出所有與△ABM全等的三角形． 23．（14分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P，若AB=2，AC=． （1）求∠A的度數(shù)． （2）求弧CBD的長． （3）求弓形CBD的面積． 　 xx年秋 九年級上學(xué)期 第24章 圓 單元測試卷 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分） 1． 【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，由于點C的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論． 【解答】解：連接AC，AO， ∵⊙O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm， 當(dāng)C點位置如圖1所示時， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM===3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC===4cm； 當(dāng)C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5﹣3=2cm， 在Rt△AMC中，AC===2cm． 故選：C． 【點評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 2． 【分析】直接利用三角形外角的性質(zhì)以及鄰補角的關(guān)系得出∠B以及∠ODC度數(shù)，再利用圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理得出答案． 【解答】解：∵∠A=60，∠ADC=85， ∴∠B=85﹣60=25，∠CDO=95， ∴∠AOC=2∠B=50， ∴∠C=180﹣95﹣50=35 故選：D． 【點評】此題主要考查了圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理等知識，正確得出∠AOC度數(shù)是解題關(guān)鍵． 　 3． 【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來判定．判斷直線和圓的位置關(guān)系：①直線l和⊙O相交?d＜r；②直線l和⊙O相切?d=r；③直線l和⊙O相離?d＞r．分OP垂直于直線l，OP不垂直直線l兩種情況討論． 【解答】解：當(dāng)OP垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d=5cm=r，⊙O與l相切； 當(dāng)OP不垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d＜5cm=r，⊙O與直線l相交． 故直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交． 故選：D． 【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定． 　 4． 【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出∠OAP=90，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠AOP=54，結(jié)合圓周角定理得出答案． 【解答】解：∵PA切⊙O于點A， ∴∠OAP=90， ∵∠P=36， ∴∠AOP=54， ∴∠B=27． 故選：A． 【點評】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確得出∠AOP的度數(shù)是解題關(guān)鍵． 　 5． 【分析】設(shè)點M為DE的中點，點N為FG的中點，連接MN，則MN、PM的長度是定值，利用三角形的三邊關(guān)系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)點M為DE的中點，點N為FG的中點，連接MN交半圓于點P，此時PN取最小值． ∵DE=4，四邊形DEFG為矩形， ∴GF=DE，MN=EF， ∴MP=FN=DE=2， ∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1， ∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=212+222=10． 故選：D． 【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系、矩形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，利用三角形三邊關(guān)系找出PN的最小值是解題的關(guān)鍵． 　 6． 【分析】圖案外圍輪廓的周長=三條弧長之和，利用函數(shù)公式計算即可； 【解答】解：正六邊形的內(nèi)角==120， ∴扇形的圓心角=360﹣120=240， ∴圖案外圍輪廓的周長=3=4π， 故選：C． 【點評】本題考查正多邊形與圓，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是求出扇形的圓心角，記住弧長公式：l=． 　 7． 【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為360n進(jìn)行計算即可得到答案． 【解答】解：360n=． 故這個正多邊形的邊數(shù)為4． 故選：B． 【點評】本題考查的是正多邊形內(nèi)角、外角和中心角的知識，掌握中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵． 　 8． 【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角度數(shù)可得出∠1=30，再通過解直角三角形即可得出a的值，進(jìn)而可求出a的值，此題得解． 【解答】解：∵正六邊形的任一內(nèi)角為120， ∴∠1=30（如圖）， ∴a=2cos∠1=， ∴a=2． 故選：A． 【點評】本題考查了正多邊形以及解直角三角形，牢記正多邊形的內(nèi)角度數(shù)是解題的關(guān)鍵． 　 9． 【分析】根據(jù)陰影部分的面積=半圓面積+△ABC的面積，計算即可； 【解答】解：如圖連接OB． ∵OA=OC，OB⊥AC， ∴S△ABC=a2，S半圓=πa2， ∴S陰=a2+πa2=（+1）a2， 故選：C． 【點評】本題考查扇形的面積公式、三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分割法求陰影部分面積； 　 10． 【分析】根據(jù)AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△AED的面積=△ABC的面積，得到陰影部分的面積=扇形ADB的面積，根據(jù)扇形面積公式計算即可． 【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4， ∴△ABC為直角三角形， 由題意得，△AED的面積=△ABC的面積， 由圖形可知，陰影部分的面積=△AED的面積+扇形ADB的面積﹣△ABC的面積， ∴陰影部分的面積=扇形ADB的面積=， 故選：B． 【點評】本題考查的是扇形面積的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，根據(jù)圖形得到陰影部分的面積=扇形ADB的面積是解題的關(guān)鍵． 　 二．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分） 11． 【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可，小心別漏解． 【解答】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF﹣OE=2cm； ②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴OF=6cm，OE=8cm， ∴EF=OF+OE=14cm． ∴AB與CD之間的距離為14cm或2cm． 故答案為：2或14． 【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解． 　 12． 【分析】利用圓周角定理得到∠ADB=90，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ABC=90，然后根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△ABC為等腰直角三角形，從而得到∠C的度數(shù)． 【解答】解：∵AB為直徑， ∴∠ADB=90， ∵BC為切線， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC=90， ∵AD=CD， ∴△ABC為等腰直角三角形， ∴∠C=45． 故答案為45． 【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)． 　 13． 【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求出∠EAB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)計算即可． 【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴∠EAB=∠ABC==108， ∵BA=BC， ∴∠BAC=∠BCA=36， 同理∠ABE=36， ∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36+36=72， 故答案為：72． 【點評】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角與外角，掌握正多邊形的內(nèi)角的計算公式、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 　 14． 【分析】連接半徑和弦AE，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得：∠AEB=90，可得AE和BE的長，所以圖中弓形的面積為扇形OBE的面積與△OBE面積的差，因為OA=OB，所以△OBE的面積是△ABE面積的一半，可得結(jié)論． 【解答】解：連接OE、AE， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AEB=90， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=4，∠B=∠D=30， ∴AE=AB=2，BE==2， ∵OA=OB=OE， ∴∠B=∠OEB=30， ∴∠BOE=120， ∴S陰影=S扇形OBE﹣S△BOE， =﹣， =﹣， =﹣， 故答案為：﹣． 【點評】本題考查了扇形的面積計算、平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形中30度角等知識點，能求出扇形OBE的面積和△ABE的面積是解此題的關(guān)鍵． 　 三．解答題（共9小題，滿分90分） 15． 【分析】已知AB=AC，又OC=OB，OA=OA，則△AOB≌△AOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)知，∠1=∠2． 【解答】證明：連接OB、OC． ∵AB=AC，OC=OB，OA=OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）． ∴∠1=∠2． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用圓中半徑相等的隱含條件，獲得全等的條件，從而利用全等的性質(zhì)解決問題． 　 16． 【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得出點O既是三角形內(nèi)心也是外心，進(jìn)而求出∠OBD=30，BD=CD，再利用銳角函數(shù)關(guān)系得出BO即可． 【解答】解：過點O作OD⊥BC于點D，連接BO， ∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O， ∴點O即是三角形內(nèi)心也是外心， ∴∠OBD=30，BD=CD=BC=AB=， ∴cos30===， 解得：BO=2， 即⊙O的半徑為2cm． 【點評】此題主要考查了正多邊形和圓，利用正多邊形內(nèi)外心的特殊關(guān)系得出∠OBD=30，BD=CD是解題關(guān)鍵． 　 17． 【分析】利用圖形的拼割，正方形的性質(zhì)，尋找等面積的圖形，即可解決問題； 【解答】證明：由題意：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2， S4=S2，S5=S3，S6=S4+S5，S陰影面積=S1+S6=S1+S2+S3=2． 故答案為：S2，S3，S4，S5，2． 【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、扇形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型． 　 18． 【分析】連接OD，求出四邊形ABCD是平行四邊形，關(guān)鍵平行四邊形的性質(zhì)求出DC長，再根據(jù)梯形面積公式和扇形面積公式求出即可． 【解答】解：連接OD， ∵OA=OD，∠A=45， ∴∠A=∠ADO=45， ∴∠DOB=90，即OD⊥AB， ∵BC∥AD，CD∥AB， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD=AB=2 ∴S梯形OBCD=， ∴圖中陰影部分的面積S=S梯形OBCD﹣S扇形OBD=﹣=﹣． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，扇形的面積計算等知識點，能分別求出梯形OBCD的面積和扇形DOB的面積是解此題的關(guān)鍵． 　 19． 【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知∠B=∠EDC，根據(jù)AB=AC即∠B=∠C得∠EDC=∠C，即可得證； （2）連接AE，得AE⊥BC，結(jié)合AB=AC知BC=2EC=4，證△ABC∽△EDC即可得． 【解答】解：（1）∵∠EDC+∠EDA=180、∠B+∠EDA=180， ∴∠B=∠EDC， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠EDC=∠C， ∴ED=EC； （2）連接AE， ∵AB是直徑， ∴AE⊥BC， 又∵AB=AC， ∴BC=2EC=4， ∵∠B=∠EDC、∠C=∠C， ∴△ABC∽△EDC， ∴AB：EC=BC：CD， 又∵EC=2、BC=4、CD=3， ∴AB=8． 【點評】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)． 　 20． 【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得出∠CAD=∠ODA，利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可得出AE∥OD，結(jié)合切線的性質(zhì)即可證出DE⊥AE； （2）過點D作DM⊥AB于點M，連接CD、DB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出DE=DM，結(jié)合AD=AD、∠AED=∠AMD=90即可證出△DAE≌△DAM（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AE=AM，由∠EAD=∠MAD可得出，進(jìn)而可得出CD=BD，結(jié)合DE=DM可證出Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出CE=BM，結(jié)合AB=AM+BM即可證出AE+CE=AB． 【解答】證明：（1）連接OD，如圖1所示． ∵OA=OD，AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD， ∴∠CAD=∠ODA， ∴AE∥OD． ∵DE是⊙O的切線， ∴∠ODE=90， ∴OD⊥DE， ∴DE⊥AE． （2）過點D作DM⊥AB于點M，連接CD、DB，如圖2所示． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB， ∴DE=DM． 在△DAE和△DAM中，， ∴△DAE≌△DAM（SAS）， ∴AE=AM． ∵∠EAD=∠MAD， ∴， ∴CD=BD． 在Rt△DEC和Rt△DMB中，， ∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL）， ∴CE=BM， ∴AE+CE=AM+BM=AB． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用平行線的判定定理找出AE∥OD；（2）利用全等三角形的性質(zhì)找出AE=AM、CE=BM． 　 21． 【分析】（1）連接OB，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD=90，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBC=90，然后利用等量代換進(jìn)行證明； （2）證明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的長． 【解答】（1）證明：連接OB，如圖， ∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ABD=90， ∴∠A+∠ADB=90， ∵BC為切線， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC=90， ∴∠OBA+∠CBP=90， 而OA=OB， ∴∠A=∠OBA， ∴∠CBP=∠ADB； （2）解：∵OP⊥AD， ∴∠POA=90， ∴∠P+∠A=90， ∴∠P=∠D， ∴△AOP∽△ABD， ∴，即， ∴BP=7． 【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)． 　 22． 【分析】（1）證明△AFE與△BAF全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可； （2）先證明△ABM≌△DEN，同理得出△ABM≌△FEM≌△CBN， 【解答】證明：（1）∵正六邊形ABCDEF， ∴AF=EF=AB，∠AFE=∠FAB， 在△AFE與△BAF中， ， ∴△AFE≌△BAF（SAS）， ∴AE=FB； （2）與△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM，△CBN； ∵六邊形ABCDEF是正六邊形， ∴AB=DE，∠BAF=120， ∴∠ABM=30， ∴∠BAM=90， 同理∠DEN=30，∠EDN=90， ∴∠ABM=∠DEN，∠BAM=∠EDN， 在△ABM和△DEN中， ， ∴△ABM≌△DEN（ASA）． 同理利用ASA證明△FEM≌△ABM，△CBN≌△ABM． 【點評】本題考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定，掌握正多邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵． 　 23． 【分析】（1）根據(jù)題意可以求得BC的長和∠ACB的度數(shù)，從而可以求得∠A的度數(shù)； （2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可以求得∠COD的度數(shù)，從而可以求得弧CBD的長； （3）根據(jù)圖形可知，弓形CBD的面積等于扇形CBD與△COD的面積之差，從而可以解答本題． 【解答】解：（1）連接BC，BD， ∵AB是直徑， ∴∠ACB=90， ∵AB=2， AC=， ∴BC=1， ∴∠A=30； （2）連接OC，OD， ∵CD⊥AB、AB是直徑， ∴∠BOC=2∠A=60， ∴∠COD=120， ∴弧CBD的長是：； （3）∵OC=OA=1，∠BOC=60， ∴CP=OC?sin60=1=，OP=OC?cos60=， ∴CD=2CP=， ∴弓形CBD的面積是：． 【點評】本題考查扇形面積的計算、垂徑定理、圓周角定理、弧長計算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．