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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和倍問(wèn)題 專題簡(jiǎn)析： 已知兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少，像這樣的應(yīng)用題，通常叫做和倍問(wèn)題。要想順利地解答和倍應(yīng)用題，最好的方法就是根據(jù)題意，畫(huà)出線段圖，使數(shù)量關(guān)系一目了然，從而正確列式解答。 解答和倍應(yīng)用題，關(guān)鍵是要找出兩數(shù)的和以及與其對(duì)應(yīng)的倍數(shù)和，從而先求出1倍數(shù)，再求出幾倍數(shù)。數(shù)量關(guān)系可以這樣表示： 兩數(shù)和（倍數(shù)＋1）=小數(shù)（1倍數(shù)） 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)（幾倍數(shù)） 兩數(shù)和－小數(shù)=大數(shù) 例題1 學(xué)校將360本圖書(shū)分給二、三兩個(gè)年級(jí)，已知三年級(jí)所分得的本數(shù)是二年級(jí)的2倍，問(wèn)二、三兩個(gè)年級(jí)各分得多少本圖書(shū)？ 思路導(dǎo)航：將二年級(jí)所得圖書(shū)的本數(shù)看作1倍數(shù)，則三年級(jí)所得本數(shù)是這樣的2倍。如圖所示： 由圖可知，二、三年級(jí)所得圖書(shū)本數(shù)的和360本相當(dāng)于二年級(jí)的（1＋2）倍，則二年級(jí)所得圖書(shū)本數(shù)的360（1＋2）=120本，三年級(jí)為1202=240本。 練 習(xí) 一 1．小紅和小明共有壓歲錢800元，小紅的錢數(shù)是小明的3倍。小紅和小明各有壓歲錢多少元？ 2．學(xué)校將360本圖書(shū)分給二、三年級(jí)，已知三年級(jí)所得本數(shù)比二年級(jí)的2倍還多60本。二、三年級(jí)各得圖書(shū)多少本？ 3．甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油給甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？ 例題2 小寧有圓珠筆芯30枝，小青有圓珠筆芯15枝，問(wèn)小青給小寧多少枝后，小寧的圓珠筆芯枝數(shù)是小青的8倍？ 思路導(dǎo)航：我們把變化后小青的圓珠筆芯枝數(shù)看作1倍數(shù)，那么小寧與小青圓珠筆芯的枝數(shù)和相當(dāng)于變化后小青枝數(shù)的9倍，所以變化后小青的枝數(shù)為（30＋15）（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，則表示小青給小寧的枝數(shù)。 練 習(xí) 二 1．紅紅有郵票80張，佳佳有郵票60張，要使紅紅的郵票張數(shù)是佳佳的4倍，那么佳佳必須給紅紅多少?gòu)堗]票？ 2．甲水池有水69噸，乙水池有水36噸，如果甲水池中的水以每分鐘2噸的速度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池的水是甲水池的2倍？ 3．甲書(shū)架有圖書(shū)18本，乙書(shū)架有圖書(shū)8本，班圖書(shū)管理員又買來(lái)圖書(shū)16本，怎樣分配才能使甲書(shū)架圖書(shū)的本數(shù)是乙書(shū)架的2倍？ 例題3 被除數(shù)與除數(shù)的和為320，商是7，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？ 思路導(dǎo)航：由商是7可知，被除數(shù)是除數(shù)的7倍，把除數(shù)看作1份數(shù)，被除數(shù)就有這樣的7份，一共7＋1=8份。 除數(shù)：3208=40 被除數(shù)：407=280 練 習(xí) 三 1．被除數(shù)和除數(shù)和為120，商是7，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？ 2．被除數(shù)、除數(shù)、商的和為79，商是4，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？ 3．兩個(gè)整數(shù)相除商是21，余數(shù)為1，已知被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和一共是441。被除數(shù)、除數(shù)各是多少？ 例題4 兩數(shù)相除商為17余6，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479。被除數(shù)和除數(shù)分別為多少？ 思路導(dǎo)航：被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479，減去商17和余數(shù)6，得到被除數(shù)與除數(shù)的和為479－17－6=456；又因?yàn)楸怀龜?shù)比除數(shù)的17倍多6，所以456－6=450就相當(dāng)于除數(shù)的（17＋1）倍，因此除數(shù)為450（17＋1）=25，被除數(shù)為2517＋6=431。 練 習(xí) 四 1．兩個(gè)整數(shù)相除商14余2，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是243，被除數(shù)比除數(shù)大多少？ 2．在一個(gè)減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于240，而減數(shù)是差的5倍。差是多少？ 3．學(xué)校買來(lái)83本書(shū)，其中科技書(shū)是故事書(shū)的2倍，故事書(shū)比文藝書(shū)多5本，這三種書(shū)各多少本？ 例題5 兩個(gè)數(shù)之和是792，其中一個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)數(shù)字是0，如果把0去掉，就與另一個(gè)數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)分別是多少？ 思路導(dǎo)航：把一個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)字0去掉，就與另一個(gè)數(shù)相同，說(shuō)明這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)是小數(shù)的10倍。又已知兩個(gè)數(shù)之和是792，那我們就可以求出這兩個(gè)數(shù)分別是多少了。 小數(shù)：792（10＋1）=72 大數(shù)：7210=720 練 習(xí) 五 1．兩個(gè)數(shù)之和是253，其中一個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)字是0，如果把0去掉，就與另一個(gè)數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)分別是多少？ 2．師徒兩人加工一批零件共693個(gè)，師傅加工零件個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是0，如果去掉這個(gè)0，加工的個(gè)數(shù)就與徒弟一樣多。師徒二人分別加工零件多少個(gè)？ 3．甲、乙兩數(shù)的和是209，甲數(shù)縮小10倍就和乙數(shù)同樣大，甲、乙兩數(shù)分別是多少？ 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和差倍問(wèn)題（一） 1．三個(gè)小組共有180人，一、二兩個(gè)小組人數(shù)之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數(shù)。 分析：要點(diǎn)：先把一，二小組看成一個(gè)整體！把第三小組看成一個(gè)整體，我們把這種方法叫“化三為二”即把三個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成兩個(gè)問(wèn)題，先求出第一，二小組的人數(shù)，再求出第一小組的人數(shù)。這是一個(gè)和差問(wèn)題。 解：（180＋20）2＝100（人）――第一，二小組的人數(shù) （100－2）2＝49（人）――第一小組的人數(shù) 綜合：［（180＋20）2－2］2＝49（人）――第一小組的人數(shù) 　　　　　　　　　　　　答：第一小組的人數(shù)是49人。 2．在一個(gè)減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于120，而減數(shù)是差的3倍，那么差等于多少？ 分析：這是一個(gè)和倍問(wèn)題。減數(shù)是差的3倍，那么被減數(shù)就是差的4倍，所以被減數(shù)、減數(shù)與差的和就是差的8倍，應(yīng)該等于120，所以差＝1208＝15。 解：120（1＋3＋1＋2）＝15答：差等于15。 3．有50名學(xué)生參加聯(lián)歡會(huì)，第一個(gè)到會(huì)的女同學(xué)同全部男生握過(guò)手，第二個(gè)到會(huì)的女生只差一個(gè)男生沒(méi)握過(guò)手，第三個(gè)到會(huì)的女生只差2個(gè)男生沒(méi)握過(guò)手，以此類推，最后一個(gè)到會(huì)的女生同7個(gè)男生握過(guò)手。問(wèn)這些學(xué)生中有多少名男生？ 分析：這是和差問(wèn)題。我們可以這樣想：如果這個(gè)班再多6個(gè)女生的話，最后一個(gè)女生就應(yīng)該只與1個(gè)男生握手，這時(shí)，男生和女生一樣多了，所以原來(lái)男生比女生多（7－1）6個(gè)人！男生人數(shù)就是： 解：（50＋6）2＝28（人）。答：男生人數(shù)是28人。 注：還有一種解法，7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（人） 我的分析方法還不能說(shuō)得很清楚。請(qǐng)大家指正。 4．甲、乙、丙共有100本課外書(shū)。甲的本數(shù)除以乙的本數(shù)，丙的本數(shù)除以甲的本數(shù)，商都是5，余數(shù)也都是1。那么乙有多少本書(shū)？ 分析：這是和倍問(wèn)題。看懂題后可以這樣理解，“甲、乙、丙3個(gè)數(shù)是100，甲是乙的5倍多1，丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是幾？”。即：乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（55）倍多（15＋1）6。那么100減去（1＋6）的差對(duì)應(yīng)（1＋5＋55）倍，這樣可求出乙是多少。 解：［100－1－（15＋1）］（1＋15＋155）＝9131＝3（本）答：乙有3本書(shū)。 5．有貨物108件，分成四堆存放在倉(cāng)庫(kù)時(shí)，第一堆件數(shù)的2倍等于第二堆件數(shù)的一半，比第三堆的件數(shù)少2，比第四堆的件數(shù)多2．問(wèn)每堆各存放多少件？ 分析：如果我們把第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是（22）4倍，第三堆是2倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就剛好是1＋4＋2＋2＝9倍（第三堆和第四堆剛好一個(gè)多2件一個(gè)少2件正好抵消），那么1倍就是1089＝12件，第二堆就是124＝48件，第三堆就是122＋2＝26件，第四堆就是122－2＝22件。 解：（108＋2－2）（1＋22＋2＋2）＝1089＝12（件）――第一堆 1222＝48（件）――第二堆；122＋2＝26（件）――第三堆；122－2＝22（件）――第四堆； 答：每堆各有12件、48件、26件、22件。 6．用中國(guó)象棋的車，馬，炮分別表示不同的自然數(shù)。如果：車馬＝2，炮車＝4，炮－馬＝56，那么“車＋馬＋炮”等于多少？ 分析：這是一個(gè)差倍問(wèn)題。依題有，馬是1倍，車是馬的2倍，炮是車的4倍，所以炮與馬的倍數(shù)差是（24－1）7倍，而炮與馬的兩數(shù)差是56，根據(jù)差倍問(wèn)題的公式就可分別求出車、馬、炮的值。 解：56（8－1）＝8――馬； 82＝16――車 164＝64――炮 8＋16＋64＝88――車＋馬＋炮答：車、馬、炮的和是88 7．甲、乙兩位學(xué)生原計(jì)劃每天自學(xué)的時(shí)間相同，若甲每天增加自學(xué)時(shí)間半小時(shí)，乙每天減少自學(xué)時(shí)間半小時(shí)，則乙自學(xué)6天的時(shí)間僅相等于甲自學(xué)一天的時(shí)間。問(wèn)：甲、乙原計(jì)劃每天自學(xué)多少分鐘？ 分析：差倍問(wèn)題。原來(lái)時(shí)間相同，現(xiàn)甲多半小時(shí)，乙少半小時(shí)，現(xiàn)在的兩數(shù)差是（30＋30）60分鐘，現(xiàn)在的差數(shù)差是（6－1）5倍，這樣可求出現(xiàn)乙每天自學(xué)的時(shí)間，加上30分鐘，可得原計(jì)劃每天自學(xué)時(shí)間。 解：（30＋30）（6－1）＋30＝12＋30＝42（分鐘）答：原計(jì)劃每天自學(xué)42分鐘。