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2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 抽屜原理 專題簡析： 把12個蘋果放到11個抽屜中去，那么，至少有一個抽屜中放有兩個蘋果，這個事實的正確性是非常明顯的。把它進一步推廣，就可以得到數(shù)學(xué)里重要的抽屜原理。 用抽屜原理解決問題，小朋友一定要注意哪些是“抽屜”，哪些是“蘋果”，并且要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識制造抽屜，巧妙地加以應(yīng)用，這樣看上去十分復(fù)雜，甚至無從下手的題目才能順利地解答。 例題1 敬老院買來許多蘋果、橘子和梨，每位老人任意選兩個，那么，至少應(yīng)有幾位老人才能保證必有兩位或兩位以上老人所選的水果相同？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)抽屜原理，要保證必有兩個或兩個以上的蘋果放在同一抽屜中，蘋果總數(shù)至少要比抽屜數(shù)多1。這里，我們可以馬敬老院老人人數(shù)看作抽屜原理中的蘋果數(shù)，關(guān)鍵是看抽屜數(shù)了。 因為三種水果任選兩個的搭配有：蘋果——蘋果；蘋果——橘子；蘋果——梨；橘子——橘子；橘子——梨；梨——梨共6種，所以，既然有6個抽屜，必須至少有7個蘋果才能保證兩個或兩個以上的蘋果放在同一抽屜里，即至少要7位老人。 練 習(xí) 一 1．學(xué)校圖書室買來許多故事書、科技書和連環(huán)畫，每個同學(xué)任意選兩本。那么，至少應(yīng)有幾個同學(xué)，才能保證有兩個或兩個以上同學(xué)所選的書相同？ 2．布袋中有紅、黃、橙三種顏色的木塊若干塊，每個小朋友任意摸兩塊木塊。那么，至少有多少個小朋友，才能保證有兩個或兩個以上小朋友所選的木塊相同？ 3．一個袋子里有紅、黃、橙、紫四種顏色的小球，每人任意摸三個球，那么至少有幾人才能保證有兩個或兩個以上的人所選的小球相同？ 例題2 幼兒園大班有41個小朋友，老師至少拿幾件玩具隨便分給大家，才能保證至少有一個小朋友能得兩件玩具？ 思路導(dǎo)航：41個小朋友相當(dāng)于41個抽屜，玩具的件數(shù)相當(dāng)于蘋果。根據(jù)抽屜原理，玩具的件數(shù)應(yīng)比41多1，所以至少要拿42件玩具。 練 習(xí) 二 1．小明家有5口人，小明媽媽至少要買幾個蘋果分給大家，才能保證至少有一人能得兩個蘋果？ 2．某學(xué)校共有15個班級，體育室至少要買幾個排球分給各班，才能保證至少有一個班能得兩個排球？ 3．某校有370名1992年出生的學(xué)生，那么，至少有幾個學(xué)生的生日是同一天？ 例題3 盒子里混裝著5個白色球和4個紅色球，要想保證一次能拿出兩個同顏色的球，至少要拿出多少個球？ 思路導(dǎo)航：如果每次拿2個球會有三種情況：（1）一個白球，一個紅球；（2）兩個白球；（3）兩個紅球。不能保證一次能拿出兩個同顏色的球。 如果每次拿3個球會有四種情況：（1）一個白球，兩個紅球；（2）一個紅球，兩個白球；（3）三個白球；（4）三個紅球。這樣每次都能保證拿出兩個同顏色的球，所以至少要拿出3個球。 練 習(xí) 三 1．箱子里裝著6個蘋果和8個梨，要保證一次能拿出兩個同樣的水果，至少要拿出多少個水果？ 2．書箱里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次能拿出兩本同樣的書，至少要拿出多少本書？ 3．書箱里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次一定能拿出2本故事書，至少要拿出多少本書？ 例題4 一個布袋里裝有紅、黃、藍襪子各5只，問一次至少取出多少只，才能保證每種顏色至少有一只？ 思路導(dǎo)航：我們從最不利的情況著手，如果先取5只全是紅的，那么只了再取5只；如果5只又全是黃的，這時，再取1只一定是藍的了，這樣取52＋1=11只才能保證每種顏色至少有1只。 練 習(xí) 四 1．抽屜里放著紅、綠、黃三種顏色的球各3只，一次至少摸出多少只才能保證每種顏色至少有一只？ 2．書箱里放著4本故事書，3本連環(huán)畫，2本文藝書。一次至少取出多少本書，才能保證每種書至少有一本？ 3．盒子里放有3枝綠鉛筆，3枝紅鉛筆和5枝藍鉛筆，如果閉上眼睛摸一次，必須摸幾枝才能保證至少有1枝藍鉛筆？ 例題5 三（2）班有50個同學(xué)，在學(xué)雷鋒活動中，每人單獨做了些好事，他們共做好事155件。問：是否有人單獨做了4件或4件以上的好事？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)條件可知：三（2）班有50個同學(xué)，假如每個同學(xué)做3件好事，那就做了350=150件好事，而他們做的好事是155件，就多做了155－150=5件，所以完全可能有一個同學(xué)做了4件或4件以上好事。 練 習(xí) 五 1．幼兒園小班共有30個小朋友，他們每人自己都有一些玩具，他們共有玩具92件。問：是否有人單獨有4件或4件以上玩具？ 2．童星幼兒園有6個班，他們在植樹節(jié)中每班都種了一些樹，他們共種了14棵樹，問：是否有班級種了3棵或3棵以上的樹？ 3．明明、華華、穎穎三人各有一些鉛筆，他們共有鉛筆14枝。問：是否有人有5枝或5枝以上的鉛筆？ 附送： 2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)列規(guī)律 1、下面是兩個具有一定的規(guī)律的數(shù)列，請你按規(guī)律補填出空缺的項： (1)1，5，11，19，29，________，55； (2)1，2，6，16，44，________，328。 解答：（1）觀察發(fā)現(xiàn)，后項減前項的差為：6、8、10、......所以，應(yīng)填41（=29+12），41+14=55符合。 （2）觀察發(fā)現(xiàn)，6=2*（2+1），16=2*（2+6），44=2*（16+6），所以，應(yīng)填120=2*（44+16），2*（120+44）=328符合。 2、有一列由三個數(shù)組成的數(shù)組，它們依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；……。問第99個數(shù)組內(nèi)三個數(shù)的和是多少？ 解答：觀察每一組中對應(yīng)位置上的數(shù)字，每組第一個是1、2、3、......的自然數(shù)列，第二個是5、10、15、......，分別是它們各組中第一個數(shù)的5倍，第三個10、20、30、......，分別是它們各組中第一個數(shù)的10倍；所以，第99組中的數(shù)應(yīng)該是：99、99*5、99*10，三個數(shù)的和=99+99*5+99*10=1584。 3、0，1，2，3，6，7，14，15，30，________，________，________。上面這個數(shù)列是小明按照一定的規(guī)律寫下來的，他第一次先寫出0，1，然后第二次寫出2，3，第三次接著寫6，7，第四次又接著寫14，15，依次類推。那么這列數(shù)的最后3項的和應(yīng)是多少？ 解答：觀察發(fā)現(xiàn)，在0、1后寫2、3，2=1*2；在2、3后面寫6、7，6=3*2；在6、7后面寫14、15，14=7*2；在14、15后面寫30，30=15*2；所以，后三項應(yīng)填31、62（=31*2）、63，和為31+62+63=156。 4、仔細觀察下面的數(shù)表，找出規(guī)律，然后補填出空缺的數(shù)字。 解答：觀察發(fā)現(xiàn)，（1）第二行的數(shù)字比第一行對應(yīng)位的數(shù)字都大21，所以應(yīng)該填58+21=79；（2）第一列的數(shù)字是同行中后兩列的數(shù)之和，所以應(yīng)該填28-9=19。 5、圖5-3中各個數(shù)之間存在著某種關(guān)系。請按照這一關(guān)系求出數(shù)a和b。 解答：圖中5個圓、10個數(shù)字，其中5個數(shù)字是只屬于某一個圓本身的，5個數(shù)字是每兩個圓相重疊的公共區(qū)域的，觀察發(fā)現(xiàn)，兩圓重疊部分的公共區(qū)域的數(shù)字2倍，正好等于兩圓獨有數(shù)字之和，15*2=10+20，30*2=20+40；所以，a=2*17-10=24，b=（16+40）/2=28。驗算：20*2-16=24，符合。 6、將8個數(shù)從左到右排成一行，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)恰好等于它前面兩個數(shù)之和。如果第7個數(shù)和第8個數(shù)分別是81，131，那么第一個數(shù)是多少？ 解答：根據(jù)數(shù)列規(guī)律倒推，第6個數(shù)=131-81=50，第5個數(shù)=81-50=31，第4個數(shù)=50-31=19，第三個數(shù)=31-19=12，第2個數(shù)=19-12=7，第個數(shù)=12-7=5。 7、1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…。上面是一串按某種規(guī)律排列的自然數(shù)，問其中第101個數(shù)至第110個數(shù)之和是多少？ 解答：觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的規(guī)律為三個一組、三個一組，每一組的第一個數(shù)為從1開始的自然數(shù)列，每一組中的三個數(shù)為連續(xù)自然數(shù)；101/3=33......2，說明第101個是第33+1=34組中的第二個數(shù)，那么應(yīng)該是34+1=35；從101到110共有110-101+1=10個數(shù)，那么這10個數(shù)分別是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他們的和為35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365。 8、如果把1到999這些自然數(shù)按照從小到大的順序排成一排，這樣就組成了一個多位數(shù)：12345678910111213…996997998999。那么在這個多位數(shù)里，從左到右的第xx個數(shù)字是多少？ 解答：一位數(shù)1~9共有9個；二位數(shù)10~99共有90個，占90*2=180位；一、二位數(shù)共占了189位；xx-9-180=1811，這1811個位數(shù)都是三位數(shù)，1811/3=603......2，說明第xx個數(shù)是第604個三位數(shù)的第2位，三位數(shù)從100開始，第604個應(yīng)該是603，第二位就是0。因此，從左到右的第xx個數(shù)字是0。 9、標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G記號的7盞燈順次排成一行，每盞燈各安裝著一個開關(guān)。現(xiàn)在A，C，D，G這4盞燈亮著，其余3盞燈是滅的。小方先拉一下A開關(guān)，然后拉B，C，…，直到G的開關(guān)各一次，接下去再按從A到G順序拉動開關(guān)，并依此循環(huán)下去。他這樣拉動了1990次后，亮著的燈是哪幾盞？ 解答：如果一個燈的開關(guān)被拉了2下，那么，這個燈原來是什么狀態(tài)，還應(yīng)該是什么狀態(tài)，即原來亮著的還亮著，原來不亮的還是不亮?，F(xiàn)在共有7盞燈，每個拉2次的話就是14次。也就是說，每拉14下，每個燈都和原來的情況一樣。1990/14=142......2，說明，拉1990次就相當(dāng)于只拉了2次，那么就應(yīng)該是A和B各被拉了一下。A原來亮著，現(xiàn)在變滅；B原來不亮，現(xiàn)在變亮。所以，拉1990次后亮著的燈應(yīng)該有：B、C、D、G。 10、在1，2兩數(shù)之間，第一次寫上3；第二次在1，3之間和3，2之間分別寫上4，5，得到 1 4 3 5 2。 以后每一次都在已寫上的兩個相鄰數(shù)之間，再寫上這兩個相鄰數(shù)之和。這樣的過程共重復(fù)了8次，那么所有數(shù)的和是多少？ 解答：原來兩數(shù)之和：1+2=3；操作一次：1+3+2=6=3+3；操作2次：1+4+3+5+2=15=3+3+9；操作3次：1+5+4+7+3+8+5+7+2=42=3+3+9+27；......規(guī)律是，操作n次，和為3+3^1+3^2+3^3+......+3^n,所以，操作8次的和為3+3^1+3^2+3^3+......+3^8=9843。 11、有一列數(shù)：1，1989，1988，1，1987，…。從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差。那么第1989個數(shù)是多少？ 解答：為了找到規(guī)律，我們把這列數(shù)再往下寫出一些：1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，1，1983，1982，1，1982，…這樣我們可以很容易的看出規(guī)律了，即每三個一組，第一個為1，后兩個是從1989依次減1排下去；1989/3=663，共有663組，去掉每一組中的1，剩下663*2=1326個，從1989順序遞減，到最后一個應(yīng)該是1989-1326+1=664。所以，第1989個數(shù)是664。 12、在1，9，8，9后面順次寫出一串?dāng)?shù)字，使得每個數(shù)字都等于它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)字，即得到1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么這個數(shù)串的前398個數(shù)字的和是多少？ 解答：同上一題所講的思路一樣，我們需要再往下寫一些，以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9，…這是我們已經(jīng)可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律了，即它們會以8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1不斷循環(huán)，也即從第3個數(shù)開始，每12個數(shù)一個循環(huán)。那么，（398-2）/12=33，即供循環(huán)33次；一個循環(huán)的數(shù)字和為8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60，前398個數(shù)字的和=1+9+33*60=1990。 13、有一列數(shù)：2，3，6，8，8，…從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是前兩個數(shù)乘積的個位數(shù)字，那么這一列數(shù)中的第80個數(shù)是多少？ 解答：還是上面的思路，需要再往下寫一些，尋找規(guī)律：2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，…不難發(fā)現(xiàn)，規(guī)律是從第三個數(shù)開始，每6個數(shù)一個循環(huán)，那么，（80-2）/6=13，所以，第80個數(shù)是8。 14、xx名學(xué)生從前往后排成一列，按下面的規(guī)則報數(shù)：如果某個同學(xué)報的數(shù)是一位數(shù)，后面的同學(xué)就要報出這個數(shù)與9的和；如果某個同學(xué)報的數(shù)是兩位數(shù)，后面的同學(xué)就要報出這個數(shù)的個位數(shù)與6的和?，F(xiàn)在讓第一個同學(xué)報1，那么最后一個同學(xué)報的數(shù)是多少？ 解答：按照要求，我們先寫出前面的一些數(shù)，尋找規(guī)律：1，10，6，15，11，7，16，12，8，17，13，9，18，14，10，......規(guī)律是：從第2個數(shù)開始，每13個數(shù)一個循環(huán)；（xx-1）/13=153......9，所以，最后一個同學(xué)報的數(shù)是17。 15、將從1到60的60個自然數(shù)排成一行，成為111位自然數(shù)，即12345678910111213…5960。在這111個數(shù)字中劃去100個數(shù)字，余下數(shù)字的排列順序不變，那么剩下的11位數(shù)最小可能是多少？ 解答：為了使剩下的數(shù)盡可能小，那么除留下第一個1外，后面應(yīng)盡可能多的留下0，1~60共有6個0，并且有一個是在最后，所以，第一個1后面只能留下5個0，也就是說，到50為止，前面除第一個1外只留下0，這時便成10000051525354555657585960；除了第一個1和6個0外，還要留下4個數(shù)，不難看出，應(yīng)該留下51525354中的1234，所以，剩下的11位數(shù)最小可能是10000012340。