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課時訓練30 菱形 限時：30分鐘 夯實基礎 1．[xx益陽]下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　) A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 2．[xx淮安]如圖K30－1，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，則這個菱形的周長是(　　) 圖K30－1 A．20 B．24 C．40 D．48 3．[xx臨沂]如圖K30－2所示，在△ABC中，點D是邊BC上的點(與B，C兩點不重合)，過點D作DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，下列說法正確的是(　　) 圖K30－2 A．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，則四邊形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形 4．[xx貴陽]如圖K30－3，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長為(　　) 圖K30－3 A．24 B．18 C．12 D．9 5．如圖K30－4，四邊形ABCD的四邊相等，且面積為120 cm2，對角線AC＝24 cm，則四邊形ABCD的周長為(　　) 圖K30－4 A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm 6．[xx葫蘆島]如圖K30－5，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的坐標為(2，3)，則點C的坐標為　　　　． 圖K30－5 7．如圖K30－6所示，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為　　　?。? 圖K30－6 8．[xx龍巖質(zhì)檢]如圖K30－7，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，連接AG，GE，AE，若∠F＝60，EF＝4，則△AEG的面積為　　　?。? 圖K30－7 9．[xx沈陽]如圖K30－8，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E． (1)求證：四邊形OCED是矩形； (2)若CE＝1，DE＝2，則菱形ABCD的面積是　　?。? 圖K30－8 能力提升 10．如圖K30－9，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，則四邊形OCED的面積為(　　) 圖K30－9 A．23 B．4 C．43 D．8 11．[xx上海]對于一個位置確定的圖形，如果它的所有點都在一個水平放置的矩形內(nèi)部或邊上，且該圖形與矩形的每條邊都至少有一個公共點(如圖K30－10①)，那么這個矩形水平方向的邊長稱為該圖形的寬，鉛垂方向的邊長稱為該圖形的高．如圖②，菱形ABCD的邊長為1，邊AB水平放置．如果該菱形的高是寬的23，那么它的寬的值是　　　　． 圖K30－10 12．[xx深圳]已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然后它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形，如圖K30－11，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45，以點C為圓心，以任意長為半徑作弧AD，再分別以點A和點D為圓心，大于12AD長為半徑作弧，交EF于點B，AB∥CD． (1)求證：四邊形ACDB為△FEC的親密菱形； (2)求四邊形ACDB的面積． 圖K30－11 拓展練習 13．[xx鎮(zhèn)江]如圖K30－12，點E，F(xiàn)，G分別在菱形ABCD的邊AB，BC，AD上，AE＝13AB，CF＝13CB，AG＝13AD．已知△EFG的面積等于6，則菱形ABCD的面積等于　　　?。? 圖K30－12 14．[xx紹興]小敏思考解決如下問題： 原題：如圖K30－13①，點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求證：AP＝AQ． (1)小敏進行探索，若將點P，Q的位置特殊化：把∠PAQ繞點A旋轉(zhuǎn)得到∠EAF，使AE⊥BC，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，如圖②，此時她證明了AE＝AF．請你證明． (2)受以上(1)的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線：如圖③，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．請你繼續(xù)完成原題的證明． (3)如果在原題中添加條件：AB＝4，∠B＝60，如圖①．請你編制一個計算題(不標注新的字母)，并直接給出答案． 圖K30－13 參考答案 1．C　 2．A　 3．D 4．A　[解析] ∵E是AC的中點，EF∥CB，EF＝3，∴EF是△ABC的中位線，∴BC＝2EF＝6．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，∴菱形ABCD的周長＝64＝24． 5．A　 6．(2，－3) 7．245　[解析] ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝12AC＝3，BO＝12BD＝4． 在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝5，∴BC＝5． ∵S△ABC＝12ACBD＝12BCAE，∴AE＝245． 8．43 9．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形， ∴AC⊥BD，∴∠COD＝90． ∵CE∥OD，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形． ∵∠COD＝90，∴平行四邊形OCED是矩形． (2)4 10．A 11．1813　[解析] 如圖，將菱形ABCD放置在一個水平矩形AFCE中，設寬AF為a，則高CF為23a，因為菱形ABCD的邊長為1，所以BF為a－1，在Rt△BCF中，由勾股定理得(a－1)2＋23a2＝12，解得a＝1813或a＝0(舍去)． 12．解：(1)證明：由已知尺規(guī)作圖痕跡得：AC＝CD，AB＝BD，CB是∠FCE的平分線， ∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB．又∵AC＝CD，AB＝BD，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四邊形ACDB為菱形，又∵∠ACD與△FEC中的∠FCE重合，它的對角∠ABD的頂點B在重合角的對邊FE上，∴四邊形ACDB為△FEC的親密菱形． (2)設菱形ACDB的邊長為x，∵CF＝6，CE＝12，∴FA＝CF－AC＝6－x，∵AB∥CD，∴△FAB∽△FCE，∴AFCF＝ABCE，即6－x6＝x12，解得x＝4， 過點A作AG⊥CE于點G，則在Rt△ACG中，∠ACG＝45，sin∠ACG＝AGAC，即sin45＝AG4＝22，解得AG＝422＝22，∴四邊形ACDB的面積＝AGCD＝224＝82． 13．27　[解析] 在邊CD上取點H，使CH＝13CD，連接FH，HG，AC，BD，AC與BD相交于點O，EG交AC于點P，EF交BD于點Q，連接PQ，則由對稱性可知，四邊形EFHG是平行四邊形，且EG∥BD∥FH，EF∥AC∥GH，點O在FG上，S四邊形OPEQ＝2S△OPG＝2S△OFQ．因為△EFG的面積為6，所以S△OPG＝S△OFQ＝32，S四邊形OPEQ＝3．因為EP∥OB，所以△AEP∽△ABO，設S△AEP＝x，所以S△AEPS△AOB＝AEAB2＝132＝19，即S△AOB＝9x．同理S△BQE＝49S△AOB＝4x，所以S四邊形OPEQ＝9x－x－4x＝4x＝3，解得x＝34，所以S△AOB＝934＝274，所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4274＝27． 14．[解析] (1)可先求出∠AFC＝∠AFD＝90，然后證明△AEB≌△AFD即可; (2)先求出∠EAP＝∠FAQ，再證明△AEP≌△AFQ即可; (3)可以分三個不同的層次，①直接求菱形本身其他內(nèi)角的度數(shù)或邊的長度，也可求菱形的周長．②可求PC＋CQ，BP＋QD，∠APC＋∠AQC的值．③可求四邊形APCQ的面積、△ABP與△AQD的面積和、四邊形APCQ周長的最小值等． 解：(1)證明：如圖①， 在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180，∠B＝∠D，AB＝AD， ∵∠EAF＝∠B，∴∠C＋∠EAF＝180，∴∠AEC＋∠AFC＝180． ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90， ∴∠AFC＝90，∠AFD＝90， ∴△AEB≌△AFD， ∴AE＝AF． (2)證明：如圖②，∵∠PAQ＝∠EAF＝∠B， ∴∠EAP＝∠EAF－∠PAF＝∠PAQ－∠PAF＝∠FAQ． ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEP＝∠AFQ＝90． ∵AE＝AF， ∴△AEP≌△AFQ， ∴AP＝AQ． (3)答案不唯一，舉例如下： 層次1：①求∠D的度數(shù)．答案：∠D＝60． ②分別求∠BAD，∠BCD的度數(shù)． 答案：∠BAD＝∠BCD＝120． ③求菱形ABCD的周長．答案：16． ④分別求BC，CD，AD的長．答案：4，4，4． 層次2：①求PC＋CQ的值．答案：4． ②求BP＋QD的值．答案：4． ③求∠APC＋∠AQC的值．答案：180． 層次3：①求四邊形APCQ的面積．答案：43． ②求△ABP與△AQD的面積和．答案：43． ③求四邊形APCQ周長的最小值． 答案：4＋43．