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2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫問題 　　一天，小明做完作業(yè)正在休息，收音機(jī)中播放著輕松、悅耳的音樂。他拿了支筆，信手在紙上寫了“中”、“日”、“田”幾個(gè)字。突然，他腦子里閃出一個(gè)念頭，這幾個(gè)字都能一筆寫出來嗎？他試著寫了寫，“中”和“日”可以一筆寫成（沒有重復(fù)的筆劃），但寫到“田”字，試來試去也沒有成功。下面是他寫的字樣。（見下圖） 　　這可真有意思！由此他又聯(lián)想到一些簡單的圖形，哪個(gè)能一筆畫成，哪個(gè)不能一筆畫成呢？下面是他試著畫的圖樣。（見下圖） 　 　　經(jīng)過反復(fù)試畫，小明得到了初步結(jié)論：圖中的（1）、（3）、（5）能一筆畫成；（2）、（4）、（6）不能一筆畫成。真奇怪！小明發(fā)現(xiàn)，簡單的筆畫少的圖不一定能一筆畫得出來。而復(fù)雜的筆畫多的圖有時(shí)反倒能夠一筆畫出來，這其中隱藏著什么奧秘呢？小明進(jìn)一步又提出了如下問題： 　　如果說一個(gè)圖形是否能一筆畫出不決定于圖的復(fù)雜程度，那么這事又決定于什么呢？ 　　能不能找到一條判定法則，依據(jù)這條法則，對于一個(gè)圖形，不論復(fù)雜與否，也不用試畫，就能知道是不是能一筆畫成？ 　　先從最簡單的圖形進(jìn)行考察。一些平面圖形是由點(diǎn)和線構(gòu)成的。這里所說的“線”，可以是直線段，也可以是一段曲線。而且為了明顯起見，圖中所有線的端點(diǎn)或是幾條線的交點(diǎn)都用較大的黑點(diǎn)“●”表示出來了。 　　首先不難發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖中的每一個(gè)點(diǎn)都有線與它相連；有的點(diǎn)與一條線相連，有的點(diǎn)與兩條線相連，有的點(diǎn)與3條線相連等等。 　　其次從前面的試畫過程中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)圖能否一筆畫成不在于圖形是否復(fù)雜，也就是說不在于這個(gè)圖包含多少個(gè)點(diǎn)和多少條線，而在于點(diǎn)和線的連接情況如何——一個(gè)點(diǎn)在圖中究竟和幾條線相連?？磥?，這是需要仔細(xì)考察的。第一組（見下圖） 　　（1）兩個(gè)點(diǎn)，一條線。 　　每個(gè)點(diǎn)都只與一條線相連。 　?。?）三個(gè)點(diǎn)。 　　兩個(gè)端點(diǎn)都只與一條線相連，中間點(diǎn)與兩條線連。 　　第一組的兩個(gè)圖都能一筆畫出來。 　　（但注意第（2）個(gè)圖必須從一個(gè)端點(diǎn)畫起）第二組（見下圖） 　?。?）五個(gè)點(diǎn)，五條線。 　　A點(diǎn)與一條線相連，B點(diǎn)與三條線相連，其他的點(diǎn)都各與兩條線相連。 　?。?）六個(gè)點(diǎn)，七條線。（“日”字圖） 　　A點(diǎn)與B點(diǎn)各與三條線相連，其他點(diǎn)都各與兩條線相連。 　　第二組的兩個(gè)圖也都能一筆畫出來，如箭頭所示那樣畫。即起點(diǎn)必需是A點(diǎn)（或B點(diǎn)），而終點(diǎn)則定是B點(diǎn)（或A點(diǎn)）。 　　第三組（見下圖） 　 　?。?）四個(gè)點(diǎn)，三條線。 　　三個(gè)端點(diǎn)各與一條線相連，中間點(diǎn)與三條線相連。 　?。?）四個(gè)點(diǎn)，六條線。 　　每個(gè)點(diǎn)都與三條線相連。 　?。?）五個(gè)點(diǎn)，八條線。 　　點(diǎn)O與四條線相連，其他四個(gè)頂點(diǎn)各與三條線相連。 　　第三組的三個(gè)圖形都不能一筆畫出來。 　　第四組（見下圖） 　　（1）這個(gè)圖通常叫五角星。 　　五個(gè)角的頂點(diǎn)各與兩條線相連，其他各點(diǎn)都各與四條線相連。 　?。?）由一個(gè)圓及一個(gè)內(nèi)接三角形構(gòu)成。 　　三個(gè)交點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都與四條線相連（這四條線是兩條線段和兩條弧線）。 　?。?）一個(gè)正方形和一個(gè)內(nèi)切圓構(gòu)成。 　　正方形的四個(gè)頂點(diǎn)各與兩條線相連，四個(gè)交點(diǎn)各與四條線相連。 　?。ㄋ臈l線是兩條線段和兩條弧線）。 　　第四組的三個(gè)圖雖然比較復(fù)雜，但每一個(gè)圖都可以一筆畫成，而且畫的時(shí)候從任何一點(diǎn)開始畫都可以。第五組（見下圖） 　?。?）這是“品”字圖形，它由三個(gè)正方形構(gòu)成，它們之間沒有線相連。 　?。?）這是古代的錢幣圖形，它是由一個(gè)圓形和中間的正方形方孔組成。圓和正方形之間沒有線相連。 　　第五組的兩個(gè)圖形叫不連通圖，顯然不能一筆把這樣的不連通圖畫出來。 　　進(jìn)行總結(jié)、歸納，看能否找出可以一筆畫成的圖形的共同特點(diǎn)，為方便起見，把點(diǎn)分為兩種，并分別定名： 　　把和一條、三條、五條等奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)；把和兩條、四條、六條等偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫偶點(diǎn)，這樣圖中的要么是奇點(diǎn)，要么是偶點(diǎn)。 　　提出猜想：一個(gè)圖能不能一筆畫成可能與它包含的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，對此列表詳查： 　　從此表來看，猜想是對的。下面試提出幾點(diǎn)初步結(jié)論： 　?、俨贿B通的圖形必定不能一筆畫；能夠一筆畫成的圖形必定是連通圖形。 　　②有0個(gè)奇點(diǎn)（即全部是偶點(diǎn)）的連通圖能夠一筆畫成。（畫時(shí)可以任一點(diǎn)為起點(diǎn)，最后又將回到該點(diǎn)）。 　?、壑挥袃蓚€(gè)奇點(diǎn)的連通圖也能一筆畫成（畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，而另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)）； 　?、芷纥c(diǎn)個(gè)數(shù)超過兩個(gè)的連通圖形不能一筆畫成。最后，綜合成一條判定法則： 　　有0個(gè)或2個(gè)奇點(diǎn)的連通圖能夠一筆畫成，否則不能一筆畫成。 　　能夠一筆畫成的圖形，叫做“一筆畫”。 　　用這條判定法則看一個(gè)圖形是不是一筆畫時(shí)，只要找出這個(gè)圖形的奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)來就能行了，根本不必用筆試著畫來畫去。 　　看看下面的圖可能會(huì)加深你對這條法則的理解。 　　 　　從畫圖的過程來看：筆總是先從起點(diǎn)出發(fā)，然后進(jìn)入下一個(gè)點(diǎn)，再出去，然后再進(jìn)出另外一些點(diǎn)，一直到最后進(jìn)入終點(diǎn)不再出來為止。由此可見： 　　①筆經(jīng)過的中間各點(diǎn)是有進(jìn)有出的，若經(jīng)過一次，該點(diǎn)就與兩條線相連，若經(jīng)過兩次則就與四條線相連等等，所以中間點(diǎn)必為偶點(diǎn)。 　?、谠倏雌瘘c(diǎn)和終點(diǎn)，可分為兩種情況：如果筆無重復(fù)地畫完整個(gè)圖形時(shí)最后回到起點(diǎn)，終點(diǎn)和起點(diǎn)就重合了，那么這個(gè)重合點(diǎn)必成為偶點(diǎn)，這樣一來整個(gè)圖形的所有點(diǎn)必將都是偶點(diǎn)，或者說有0個(gè)奇點(diǎn)；如果筆畫完整個(gè)圖形時(shí)最后回不到起點(diǎn)，就是終點(diǎn)和起點(diǎn)不重合，那么起點(diǎn)和終點(diǎn)必定都是奇點(diǎn)，因而該圖必有2個(gè)奇點(diǎn)，可見有0個(gè)或2個(gè)奇點(diǎn)的連通圖能夠一筆畫成。 附送： 2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（二） 　　例1 仔細(xì)觀察下面的圖形，找出變化規(guī)律，猜猜在第3組的右框空白格內(nèi)填一個(gè)什么樣的圖？ 　　解：仔細(xì)觀察圖7—1，可知： 　　第1組左邊是個(gè)大菱形，右邊是個(gè)小菱形。 　　第2組左邊是個(gè)大三角形，右邊是個(gè)小三角形。 　　其規(guī)律是：每組中左右兩邊圖形的形狀相同，大小不同。都是左邊的圖形大，右邊的圖形小。 　　猜出答案：第3組中右邊空白格內(nèi)應(yīng)填個(gè)小長方形。（如圖7—3）。 　　仔細(xì)觀察圖7—2可知： 　　第1組左邊是個(gè)圓，而且左半圓涂有陰影線。右邊是左邊的陰影半圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后放置的。 　　第2組左邊是個(gè)等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有陰影線，右邊是左邊陰影直角三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后放置的。 　　其規(guī)律是：每組的右邊格內(nèi)的圖形都是左邊圖形左邊的一半，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)放置后成為右邊圖形。 　　猜出答案：第3組中右框內(nèi)應(yīng)填個(gè)陰影小長方形。如圖7—4示。 　　例2 按順序仔細(xì)觀察圖7—5、7—6的形狀，猜一猜第3組的“？”處應(yīng)填什么圖？ 　　解：圖7—5的？處應(yīng)填○▲。注意觀察第1組和第2組，每組都是由三對小圖形組成；而每對小圖形都是由一個(gè)“空白”的和一個(gè)“黑色”的小圖形組成；而且它倆的排列順序都是“空白”的在左邊，“黑色”的在右邊。 　　再按著第1、第2、第3組的順序觀察下去，可發(fā)現(xiàn)每對小圖形在各組中的位置的變化規(guī)律：它們都在向左移動(dòng)，當(dāng)一對小圖形移動(dòng)到最左邊后，下一步它就回到了最右邊。按這個(gè)移動(dòng)規(guī)律，可知圖7—5中第3組“？”處應(yīng)填：○▲。 　　圖7—6的？處應(yīng)填□△0。仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)第1組和第2組中間的部分都是由三個(gè)小圖形構(gòu)成的。構(gòu)成的規(guī)律是：當(dāng)你按照第1、第2、第3組的順序觀察時(shí)，6個(gè)小圖形都在向左移動(dòng)，而且移動(dòng)的同時(shí)又在重新分組和組合，但排列順序保持不變，當(dāng)某一個(gè)小圖形移動(dòng)到了最左邊時(shí)，下一步它就回到了最右邊。按這個(gè)規(guī)律可知圖7—6中第3組中間“？”處是：□△0。 　　例3 觀察圖7—7的變化，請先回答：在方框（4）中應(yīng)畫出怎樣的圖形？ 　　再答按（1）、（2）、（3）、……的順序數(shù)下去，第（10）個(gè)方框中是怎樣的圖形？ 　　解：先按（1）、（2）、（3）、……的順序仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)： 　　方框中的箭頭是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的；方框中的其他小圖形，如△、□和○也都是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的。 　　也就是說，方框連同內(nèi)部的所有小圖形作為一個(gè)整體在按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。 　　因此，方框（4）中的小圖形應(yīng)畫成圖7—8狀。再按已找到的規(guī)律，進(jìn)一步可發(fā)現(xiàn)圖形的變化是有“周期性”的，也就是說，每過4個(gè)方框后，同樣的圖形又重新出現(xiàn)一次。如，你可看到第（1）和第（5）是完全一樣的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）個(gè)圖形應(yīng)當(dāng)是完全一樣的。即第（10）個(gè)方框中的圖形應(yīng)是圖7—9所示的樣子。 　　例4 觀察圖7—10的變化，請先回答： 　　第（4）、（8）個(gè)圖中，黑點(diǎn)在什么地方？ 　　第（10）、（18）個(gè)圖中，黑點(diǎn)在什么地方？ 　　解：（1）按圖7—10中（1）、（2）、（3）、……的順序仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)黑點(diǎn)位置的變化規(guī)律： 　　在（1）中，黑點(diǎn)在最上面第一條橫線上； 　　在（2）中，黑點(diǎn)下降了一格，在上面第二條橫線上； 　　在（3）中，黑點(diǎn)又下降了一格，在中間一條線上了。 　　按黑點(diǎn)位置的這種變化可推測出： 　　在（4）中，黑點(diǎn)又下降一格，它的位置應(yīng)如圖7—11所示。 　　繼續(xù)觀察下去： 　　在（5）中，黑點(diǎn)下降到最下面的一條橫線上； 　　在（6）中，黑點(diǎn)開始往上升一格； 　　在（7）中，黑點(diǎn)再上升一格，按著黑點(diǎn)位置的這種變化可推測出： 　　在（8）中，黑點(diǎn)又上升一格，它的位置應(yīng)如圖7—12所示。 　?。?）進(jìn)一步仔細(xì)觀察圖7—10（1）～（9），可發(fā)現(xiàn)黑點(diǎn)位置變化的“周期性”規(guī)律：也就是說，每隔8個(gè)小圖，黑點(diǎn)又回到原來的位置。 　　因?yàn)?+8=10，2+8+8=18。 　　所以第（10）、（18）個(gè)小圖中，黑點(diǎn)的位置應(yīng)與第（2）個(gè)小圖相同，見圖7—13所示。