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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被3整除的數(shù)的特征 　　上一講我們講了能被2，5整除的數(shù)的特征，根據(jù)這些特征，很容易就能判別出一個(gè)數(shù)是否能被2或5整除。同學(xué)們自然會(huì)問，有沒有類似的簡(jiǎn)便方法，直接判斷一個(gè)數(shù)能否被3整除？ 　　我們先具體觀察一些能被3整除的整數(shù)： 　　18，345，4737，25674 　　18能被3整除，1+8=9也能被3整除； 　　345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除； 　　4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除； 　　25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。 　　怎么這么巧？我們?cè)僭囈粋€(gè)：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再試了，同學(xué)們可能已經(jīng)在想：“是不是所有能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和都能被3整除？”結(jié)論是肯定的。它的一般性證明這里無法介紹，我們用一個(gè)具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。 　　由99和9都能被3整除，推知(799+49)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。 　　因此，判斷一個(gè)整數(shù)能否被3整除的簡(jiǎn)便方法是： 　　如果整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那么此整數(shù)能被3整除。如果整數(shù)的各位數(shù)字之和不能被3整除，那么此整數(shù)不能被3整除。 例1判斷下列各數(shù)是否能被3整除： 　　2574，38974，587931。 解：因?yàn)?+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除； 　　因?yàn)?+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除； 　　因?yàn)?+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。 　　為了今后使用方便，我們介紹一個(gè)表示多位數(shù)的方法。當(dāng)一個(gè)多位數(shù)中有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字用字母來表示時(shí)，為防止理解錯(cuò)誤，就在這個(gè)多位數(shù)的上面劃一線段來表示這個(gè)多位數(shù)。例如，表示這個(gè)三位數(shù)的百、十、個(gè)位依次是3，a，5；又如，表示這個(gè)四位數(shù)的千、百、十、個(gè)位依次是a，b，c，d。 例2六位數(shù)能被3整除，數(shù)字a=？ 解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2，5或8。即符合題意的a是2，5或8。 例3由1，3，5，7這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個(gè)能被3整除？ 解：在1，3，5，7這四個(gè)數(shù)中，任取三個(gè)，共有4組： 　　1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)能被3整除。由1，3，5可寫成135，153，315，351，513，531六個(gè)三位數(shù)；同理，由3，5，7也能寫成6個(gè)三位數(shù)。 　　所以，符合題意的三位數(shù)有62=12(個(gè))。 例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？ 解：除1以外，被2除余1的所有整數(shù)是 　　3，5，7，9，11，…，27，29，31，33，… 　　被3除余1的所有整數(shù)是 　　4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，… 　　被5除余1的所有整數(shù)是 　　6，11，16，21，26，31，36，… 　　上面三列數(shù)中，第一個(gè)同時(shí)出現(xiàn)的數(shù)是31，所以31是同時(shí)滿足被2，3，5除均余1且不等于1的最小數(shù)。 例4中使用的方法是解這類題型的基本方法，但不夠簡(jiǎn)捷。一個(gè)較簡(jiǎn)捷的方法是： 　　因?yàn)?大于2和3，所以先從被5除余1的數(shù) 　　1，6，11，16，21，26，31，36，… 　　中找出第一個(gè)(1除外)同時(shí)滿足被2和3除都余1的數(shù)31，就為所求。 　　到五年級(jí)學(xué)了更多的知識(shí)后，還可直接由235+1=31得到所求數(shù)。 例5同時(shí)能被2，3，5整除的最小三位數(shù)是幾？ 解：能被5整除的三位數(shù)是 　　100，105，110，115，120，125，…其中，第一個(gè)能同時(shí)被2，3整除的數(shù)是120(它是偶數(shù)，且1+2+0=3)，故120為所求。 練習(xí) 　　1.直接判斷25874和978651能否被3整除。 　　3.由2，3，4，5這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個(gè)能被3整除？ 　　4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？ (2)被3，5除余2且不等于2的最小整數(shù)是幾？ 　　5.同時(shí)能被2，3，5整除的最小自然數(shù)是幾？ 　　6.同時(shí)能被2，3，5整除的最大三位數(shù)是幾？ 　　7.一根鐵絲長(zhǎng)125厘米，要把它剪成長(zhǎng)2厘米、3厘米、5厘米的三種不同規(guī)格的小段。最多能剪成多少段？ 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 趣題巧解 　　為了考考同學(xué)們的智力和靈氣，先提幾個(gè)問題： 　　一張長(zhǎng)方形的紙，用剪刀剪掉一個(gè)角，還剩幾個(gè)角？ 　　把一根毛線對(duì)折兩次后剪一刀，毛線被剪成了幾段？ 　　一樹枝上有10只鳥，用汽槍打中了一只，樹枝上還剩幾只鳥？ 　　這類智力問題很有趣，但回答時(shí)要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正確地解答這類題目，一是要全面考慮各種情況，二是要充分運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，再就是還需要些思考問題的靈氣和非常規(guī)的思考方法。 例1一張長(zhǎng)方形紙片有四個(gè)角，用剪刀沿直線剪掉一個(gè)角后，還剩幾個(gè)角？ 　　分析：由于已知“剪掉一個(gè)角”，但沒有限制如何剪，所以必須對(duì)這個(gè)已知條件中的“剪法”有一個(gè)全面的考慮。否則，不加思索地順口答出“還剩3個(gè)角”，答案就不全面了。當(dāng)我們仔細(xì)考慮“剪法”的各種可能性后，再根據(jù)角的定義，就會(huì)得到全面而正確的答案。 解：由于剪掉長(zhǎng)方形紙片的一個(gè)角有下頁圖所示的三種不同剪法(圖中陰影部分為剪掉的角)，所以，可能還有5個(gè)角、4個(gè)角或3個(gè)角。 　　答：還剩5個(gè)角、4個(gè)角或3個(gè)角。 例2 37個(gè)同學(xué)要坐船過河，渡口處只有一只能載5人的小船(無船工)。他們要全部渡過河去，至少要使用這只小船渡河多少次？ 　　分析：如果由375=7……2，得出7+1=8次，那么就錯(cuò)了。因?yàn)楹鲆暳酥辽僖?個(gè)人將小船劃回來這個(gè)特定的要求。實(shí)際情況是：小船前面的每一個(gè)來回至多只能渡4個(gè)人過河去，只有最后一次小船不用返回才能渡5個(gè)人過河。 解：因?yàn)槌詈笠淮慰梢远?個(gè)人外，前面若干個(gè)來回每個(gè)來回只能渡過4個(gè)人，每個(gè)來回是2次渡河，所以至少渡河 　　[(37-5)4]2+1=17(次)。 　　答：至少要渡河17次。 例3(1)右圖是10枚硬幣，移動(dòng)其中1枚硬幣，使每一行上都有6枚硬幣。 (2)用12根火柴拼出6個(gè)邊長(zhǎng)為1根火柴的正方形。 分析與解：(1)10枚硬幣擺兩行，一般來說每行有102=5(枚)。圖中的兩行卻是一行5枚一行6枚，原因是中間有1枚在兩行的交叉點(diǎn)上，所以出現(xiàn)了5+6＞10。由于題中并沒有規(guī)定每個(gè)位置上只準(zhǔn)放一枚，所以，只要使其中1枚硬幣在兩直行的交叉點(diǎn)上再“重復(fù)”一下，即在兩行的交叉點(diǎn)上重疊地放2枚硬幣(見右上圖)，就可達(dá)到目的。 (2)一個(gè)正方形需要4根火柴才能拼出，12根火柴只能拼出3個(gè)正方形，即使如左下圖所示，也只能拼出4個(gè)正方形。如果我們放棄“在平面上拼”這種平常的思路，而改為在“立體空間中去拼”的新思路，那么就可能“柳暗花明”。 　　當(dāng)思路轉(zhuǎn)向立體空間后，自然會(huì)聯(lián)想到正方體圖形。因?yàn)樗辛鶄€(gè)正方形表面，而且正方體的棱恰好是12條，所以完全符合題意。 　　拼法如右上圖所示。 例3的解法說明，“換一個(gè)角度”或“換一個(gè)方向”去思考問題，往往能收到“奇效”！本題(2)如果把思路始終局限在平面上那么就絕無出路。事實(shí)上，題目中并沒有這樣的限制，而是習(xí)慣的思維方式把我們限制了。一旦轉(zhuǎn)到立體空間去思考，問題就迎刃而解了。 例4一群動(dòng)物在一起玩疊羅漢游戲。每只動(dòng)物的重量都是整千克數(shù)，其中，最輕的重1千克，最重的重60千克。疊羅漢規(guī)定每只動(dòng)物上面的總重量不能超過自己的重量。在重1～60千克的動(dòng)物都有的情況下，它們最多能疊幾層？(疊一個(gè)動(dòng)物算一層) 分析與解：由于要求疊的層數(shù)盡量多，所以應(yīng)該想到：①最上一層應(yīng)是最輕的動(dòng)物；②每只動(dòng)物上面的總重量盡量等于自己的重量(也滿足“不超過”自己的重量要求)。按這兩條原則疊羅漢，能很容易找出各層的動(dòng)物重量，從上到下，它們依次為： 　　第1層 　第2層　 第3層　 第4層 　第5層 　第6層　 第7層　 第8層 　　　1　　　 2 　　　3　　　6　　 　12 　　24 　　48 　　　96 　　因?yàn)?6＞60，所以這群動(dòng)物最多只能疊七層羅漢。(疊法不唯一) 　　如果只有重1，3，5，7，9，11，21千克的七個(gè)動(dòng)物，按例4中的要求疊羅漢，那么最多能疊幾層？它是由哪些重量的動(dòng)物疊出來的？(答案： 5層；由重1， 3， 5， 9， 21千克的動(dòng)物疊出) 例5(1)小麗家里的鬧鐘每天早晨6點(diǎn)半準(zhǔn)時(shí)響鈴，提醒小麗起床，準(zhǔn)備上學(xué)。有一次，小麗第二天要6點(diǎn)鐘起床到學(xué)校去大掃除，她在頭天晚上9點(diǎn)時(shí)把鬧鐘鐘面時(shí)間調(diào)到8點(diǎn)半還是調(diào)到9點(diǎn)半，才能使鬧鐘第二天早晨6點(diǎn)鐘響鈴？ (2)小明和小強(qiáng)約定10點(diǎn)鐘在學(xué)校門口碰面，小明的表慢5分鐘，而他卻以為慢10分鐘；小強(qiáng)的表慢10分鐘，而他卻以為快5分鐘。他倆會(huì)面時(shí)，誰遲到了？先到者等了多少時(shí)間才見到遲到者？ 分析與解：解決這兩個(gè)問題的關(guān)鍵是弄清“正確時(shí)間”和“鐘面時(shí)間”的含意。 (1)要使鬧鈴6點(diǎn)鐘響，即比平常提前半小時(shí)響，此時(shí)的鐘面時(shí)間是6點(diǎn)半，它比正確時(shí)間多半小時(shí)。所以，在頭天晚上9點(diǎn)調(diào)時(shí)針時(shí)，必須使鐘面時(shí)間比正確時(shí)間多半小時(shí)，即應(yīng)調(diào)到9點(diǎn)半。 (2)以正確時(shí)間為準(zhǔn)。小明以為他的表慢10分，所以，他比鐘面時(shí)間提早10分到達(dá)，實(shí)際上他的鐘面時(shí)間只比正確時(shí)間慢5分，所以小明提前了10-5=5(分)；小強(qiáng)以為他的表快5分，所以，他比鐘面時(shí)間晚到5分，實(shí)際上他的鐘面時(shí)間比正確時(shí)間慢10分，小強(qiáng)遲到了10+5=15(分)。會(huì)面時(shí)，小強(qiáng)遲到了，小明等了小強(qiáng) 　　5+15=20(分)。 例6(1)三個(gè)小朋友三分鐘削三支鉛筆，照此效率，六個(gè)小朋友幾分鐘削六支鉛筆？ (2)三只貓三天吃三只老鼠，照此效率，六只貓六天吃幾只老鼠？ 分析與解：這兩個(gè)問題用來訓(xùn)練對(duì)倍數(shù)關(guān)系的準(zhǔn)確理解。 (1)中小朋友個(gè)數(shù)變成2倍，削的鉛筆也變成2倍，所以，完成的時(shí)間應(yīng)不變，即3分鐘。 　　如果具體分析，那么由已知條件推知，一個(gè)小朋友削一支鉛筆需3分鐘，所以，六個(gè)小朋友削六支鉛筆還是需3分鐘。 (2)中貓的只數(shù)變成2倍，天數(shù)也變成2倍，所以，吃的老鼠只數(shù)就變成了22=4(倍)，即吃了 　　34=12(只)。 　　具體分析，由已知條件推知，一只貓三天吃一只老鼠，所以，當(dāng)貓變成6倍(六只)，而天數(shù)不變時(shí)，就有六只貓三天吃16=6(只)老鼠。進(jìn)而，當(dāng)貓不變(六只)，而天數(shù)變?yōu)?倍(六天)時(shí)，就有六只貓六天吃老鼠 　　62=12(只)。 練習(xí) 　　1.畫三條線段，能構(gòu)成幾個(gè)角？ 　　2.用6根長(zhǎng)短、粗細(xì)一樣的火柴棍拼出四個(gè)等邊三角形(即三邊相等的三角形)，如何拼？ 　　3.一只掛鐘，1點(diǎn)整敲1下，2點(diǎn)整敲2下……12點(diǎn)整敲12下，每半點(diǎn)整敲1下。一晝夜(24時(shí))一共要敲多少下？ 　　4.打靶時(shí)，小林和小峰各打了三槍，環(huán)數(shù)為1，2，4，5，7，9環(huán)。已知小林的總環(huán)數(shù)比小峰的總環(huán)數(shù)多6環(huán)。哪幾環(huán)是小峰打的？ 　　5.五個(gè)小朋友圍坐在一個(gè)大圓桌邊，按順時(shí)針方向依次編為1，2，3，4，5號(hào)。老師給1，2，3，4，5號(hào)小朋友分別發(fā)1，2，3，4，5個(gè)蘋果。從5號(hào)小朋友開始，依次按順時(shí)針方向看，若鄰坐的蘋果比自己少，則送給對(duì)方一個(gè)；若鄰坐的蘋果不比自己少就不送。照此做下去，到第三圈為止，他們每人手中各有多少個(gè)蘋果？ 　　6.球場(chǎng)休息時(shí)，保管員慌忙中把甲、乙、丙三個(gè)運(yùn)動(dòng)員先前交給他的水瓶都遞送錯(cuò)了，結(jié)果甲喝的是丙的。乙、丙各喝的是誰的？ 　　7.有一個(gè)臺(tái)稱，只能稱40千克以上的重量，甲、乙、丙三個(gè)小朋友的體重都在20～39千克之間，他們都想知道自己的體重。用這臺(tái)稱怎樣才能知道他們各自的體重？ 8. (1)三個(gè)小朋友三分鐘削三支鉛筆，九個(gè)小朋友六分鐘削幾支鉛筆？ (2)三只貓三天吃三只老鼠，六只貓幾天吃18只老鼠？