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單元測試(三)
范圍:函數(shù) 限時:60分鐘 滿分:100分
一、 選擇題(每小題5分,共35分)
1.點(1,-2)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是 ( )
A.(1,2) B.(-1,2)
C.(-1,-2) D.(-2,1)
2.函數(shù)y=13-x中自變量x的取值范圍是 ( )
A.x<3 B.x≥3 C.x≤3 D.x≠3
3.若mn<0,則正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=nx在同一坐標(biāo)系中的大致圖像可能是 ( )
圖D3-1
4.一司機駕駛汽車從甲地去乙地,他以平均80千米/時的速度用了4個小時到達乙地,當(dāng)他按原路勻速返回時.汽車的速度v(千米/時)與時間t(時)的函數(shù)關(guān)系是 ( )
A.v=320t B.v=320t
C.v=20t D.v=20t
5.將拋物線y=x2+2x-3的圖像先向左平移2個單位,再向上平移3個單位,得到的拋物線的解析式是 ( )
A.y=(x-1)2-1 B.y=(x+3)2-1
C.y=(x-1)2-7 D.y=(x+3)2-7
6.如圖D3-2,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=-24x+1與x軸,y軸分別交于點A和點B,直線l2:y=kx(k≠0)與直線l1在第一象限交于點C.若∠BOC=∠BCO,則k的值為 ( )
圖D3-2
A.23 B.22 C.2 D.22
7.如圖D3-3,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=-2,與x軸的一個交點在(-3,0)和(-4,0)之間,其部分圖像如圖所示,則有下列結(jié)論:①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at2+bt(t為實數(shù));⑤點-92,y1,-52,y2,-12,y3是該拋物線上的點,則y1
0)的圖像上,AC∥x軸,AC=2.若點A的坐標(biāo)為(2,2),則點B的坐標(biāo)為 .
圖D3-4
11.如圖D3-5,拋物線y=ax2+bx+c過點(-1,0),且對稱軸為直線x=1,有下列結(jié)論:①abc<0;②10a+3b+c>0;③拋物線經(jīng)過點(4,y1)與點(-3,y2)則y1>y2;④無論a,b,c取何值,拋物線都經(jīng)過同一個點-ca,0;⑤am2+bm+a≥0.其中所有正確的結(jié)論是 .(填序號)
圖D3-5
三、 解答題(共45分)
12.(12分)如圖D3-6,直線y=3x與雙曲線y=kx(k≠0,且x>0)交于點A,點A的橫坐標(biāo)是1.
圖D3-6
(1)求點A的坐標(biāo)及雙曲線的函數(shù)表達式;
(2)B是雙曲線上一點,且點B的縱坐標(biāo)是1,連接OB,AB,求△AOB的面積.
13.(15分)某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團隊抓住商機,購進一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售,每袋成本價3元.試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(袋)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分數(shù)據(jù)如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天還需支付其他費用80元.
銷售單價x(元)
3.5
5.5
銷售量y(袋)
280
120
(1)請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)如果每天獲得160元的利潤,銷售單價為多少元?
(3)設(shè)每天的利潤為w元,當(dāng)銷售單價定為多少元時,每天的利潤最大?最大利潤是多少元?
14.(18分)如圖D3-7,矩形OABC的長OA=3,寬OC=1,將△AOC沿AC翻折得△APC.
圖D3-7
(1)求∠PCB的度數(shù);
(2)若P,A兩點在拋物線y=-43x2+bx+c上,求b,c的值,并說明點C也在此拋物線上;
(3)已知(2)中的拋物線與矩形OABC的邊CB相交于點D,與x軸相交于另外一點E,若M是x軸上的點,N是y軸上的點,以點E,M,D,N為頂點的四邊形是平行四邊形,試求點M,N的坐標(biāo).
參考答案
1.C [解析] 關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律是“橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)不變”,可知點(1,-2)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是(-1,-2).
2.A 3.B 4.B 5.B
6.B [解析] 直線l1:y=-24x+1中,令x=0,則y=1,令y=0,則x=22,即A(22,0),B(0,1),
∴Rt△AOB中,AB=AO2+BO2=3,
如圖,過C作CD⊥OA于點D,
∵∠BOC=∠BCO,
∴CB=BO=1,AC=2,
∵CD∥BO,∴OD=13AO=223,CD=23BO=23,
即C223,23,
把C223,23代入直線l2:y=kx,可得23=223k,
即k=22.
7.B [解析] ∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=-2,∴-b2a=-2,
∴4a-b=0,故①正確;
∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=-2,與x軸的一個交點在(-3,0)和(-4,0)之間,∴另一個交點位于(-1,0)和(0,0)之間,
∴拋物線與y軸的交點在原點的下方,
∴c<0.故②正確;
∵4a-b=0,∴b=4a.
∵當(dāng)x=-1時,y>0,∴a-b+c>0,
∵b=4a,∴a-4a+c>0,即-3a+c>0,故③正確;
∵4a-b=0,∴b=4a,
∴at2+bt-(4a-2b)=at2+4at-(4a-24a)=at2+4at+4a=a(t2+4t+4)=a(t+2)2.
∵t為實數(shù),a<0,∴a(t+2)2≤0,
∴at2+bt-(4a-2b)≤0,
∴at2+bt≤4a-2b,
即4a-2b≥at2+bt,∴④錯誤;
∵點-92,y1,-52,y2,-12,y3是該拋物線上的點,
∴將它們描在圖像上可得
由圖像可知y1n [解析] 因為0n.
9.b<92
10.(4,1) [解析] ∵點A(2,2)在函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上,
∴2=k2,得k=4.
∵在Rt△ABC中,AC∥x軸,AC=2,
∴點B的橫坐標(biāo)是4,∴y=44=1.
∴點B的坐標(biāo)為(4,1).
11.②④⑤ [解析] ∵拋物線的開口向上,∴a>0.∵對稱軸在y軸的右側(cè),∴b<0.∵拋物線和y軸的負半軸相交,
∴c<0,∴abc>0,故①錯誤;
∵拋物線y=ax2+bx+c過點(-1,0),對稱軸為直線x=1,則拋物線與x軸的另一個交點是(3,0),∴9a+3b+c=0.又a>0,∴9a+3b+c+a>0,即10a+3b+c>0,故②正確;
∵直線x=4與直線x=1相距3個單位長度,直線x=-3與直線x=1相距4個單位長度,根據(jù)拋物線的對稱性,所以y2>y1,故③錯誤;
∵拋物線過點(-1,0),∴a-b+c=0,∴b=a+c.∵拋物線的對稱軸為直線x=1,∴-b2a=1,∴b=-2a,∴a+c=-2a,∴c=-3a,即-ca=3.∵無論a,b,c取何值,拋物線都經(jīng)過同一個點(3,0),∴④正確;
∵x=m對應(yīng)的函數(shù)值為y=am2+bm+c,x=1對應(yīng)的函數(shù)值為y=a+b+c.
又∵x=1時函數(shù)取得最小值,∴a+b+c≤am2+bm+c,即a+b≤am2+bm.∵b=-2a,
∴am2+bm+a≥0.故⑤正確.
綜上所述,正確的結(jié)論是②④⑤.
12.解:(1)將x=1代入y=3x,得y=3,
∴點A的坐標(biāo)為(1,3).
將A(1,3)代入y=kx,得k=3,
∴雙曲線的函數(shù)表達式為y=3x.
(2)在y=3x中,當(dāng)y=1時,x=3,
∴點B(3,1).
如圖,S△AOB=S矩形OCED-S△AOC-S△BOD-S△ABE=33-1213-1213-1222=4.
13.解:(1)設(shè)y=kx+b,
將x=3.5,y=280;x=5.5,y=120代入,
得3.5k+b=280,5.5k+b=120,解得k=-80,b=560,
則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-80x+560.
(2)由題意,得(x-3)(-80x+560)-80=160,
整理,得x2-10x+24=0,
解得x1=4,x2=6.
∵3.5≤x≤5.5,∴x=4.
答:如果每天獲得160元的利潤,銷售單價為4元.
(3)由題意得:w=(x-3)(-80x+560)-80=-80x2+800x-1760=-80(x-5)2+240,
∵3.5≤x≤5.5,
∴當(dāng)x=5時,w有最大值240.
故當(dāng)銷售單價定為5元時,每天的利潤最大,最大利潤是240元.
14.解:(1)在Rt△OAC中,OA=3,OC=1,則∠OAC=30,∠OCA=60.
根據(jù)折疊的性質(zhì),知OA=AP=3,∠ACO=∠ACP=60.
又∵∠BCA=∠OAC=30,
∴∠PCB=30.
(2)過點P作PQ⊥OA于點Q,如圖①.
在Rt△PAQ中,∠PAQ=60,AP=3,
∴OQ=AQ=32,PQ=32,∴P32,32.
將P,A兩點坐標(biāo)代入拋物線的函數(shù)表達式中,得
-1+32b+c=32,-4+3b+c=0,
解得b=3,c=1,
即y=-43x2+3x+1.
當(dāng)x=0時,y=1,故點C(0,1)在此拋物線上.
(3)若DE是平行四邊形的對角線,
過點D作DM∥CE交x軸于點M,則四邊形EMDN為平行四邊形,如圖②.
把y=1代入拋物線的函數(shù)表達式得點D的坐標(biāo)為334,1.
把y=0代入拋物線的函數(shù)表達式得點E的坐標(biāo)為-34,0,
∴M32,0,N(0,1);
若DE是平行四邊形的一條邊,
過點A作AN1∥DE交y軸于點N1,則四邊形DAN1E是平行四邊形,如圖③.
過點D作DF⊥x軸,垂足為F.
AN1=DE=EF2+DF2=(334+34)2+12=3+1=2.
∵tan∠DEA=DFEF=33,
∴∠DEA=30.
∵∠EAN1=∠DEA,
∴∠EAN1=30,∴ON1=1,
∴M1(3,0),N1(0,-1);
同理過點C作CM2∥DE交x軸于點M2,則四邊形CM2ED是平行四邊形,
此時M2(-3,0),N2(0,1).
綜上,點M,N的坐標(biāo)分別為M32,0,N(0,1)或M(3,0),N(0,-1)或M(-3,0),N(0,1).
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