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2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和倍應(yīng)用題 　　小學(xué)數(shù)學(xué)中有各種各樣的應(yīng)用題。根據(jù)它們的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)量關(guān)系，形成了一些用特定方法解答的典型應(yīng)用題。比如，和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題、和差應(yīng)用題等等。 　　和倍應(yīng)用題的基本“數(shù)學(xué)格式”是： 　　已知大、小二數(shù)的“和”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。 　　上面的問題中有“和”，有“倍數(shù)”，所以叫做和倍應(yīng)用題。為了清楚地表示和倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系，畫出線段圖如下： 　　從線段圖知，“和”是小數(shù)的(倍數(shù)+1)倍，所以， 　　小數(shù)=和(倍數(shù)+1)。 　　上式稱為和倍公式。由此得到 　　大數(shù)=和-小數(shù)， 　　或 大數(shù)=小數(shù)倍數(shù)。 　　例如，大、小二數(shù)的和是265，大數(shù)是小數(shù)的4倍，則 　　小數(shù)=265(4＋1)=53， 　　大數(shù)=265-53=212或534=212。 例1 甲、乙兩倉庫共存糧264噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍。甲、乙兩倉庫各存糧多少噸？ 　　分析：把甲倉庫存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉庫存糧數(shù)看成“小數(shù)”，此例則是典型的和倍應(yīng)用題。根據(jù)和倍公式即可求解。 解：乙倉庫存糧 264(10＋1)＝24(噸)，甲倉庫存糧 　　264-24=240(噸)， 　　或 　　2410＝240(噸)。 　　答：乙倉庫存糧24噸，甲倉庫存糧240噸。 例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時出發(fā)，相向而行，2時后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時各行多少千米？ 　　分析：已知甲車速度是乙車速度的2倍，所以“1倍”數(shù)是乙車的速度?，F(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和，就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時共行 360千米，故1時共行 3602＝180(千米)，這就是兩輛車的速度和。 解：乙車的速度為 　　(3602)(2＋1)= 60(千米/時)， 　　甲車的速度為 　　602=20(千米/時)，或180-60=120(千米/時)。 　　答：甲車每時行120千米，乙車每時行60千米。 　　從上面兩道例題看出，用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù))是誰，“和”是誰。例1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯，其中例2中雖未直接給出“和”，但也很容易求出。下面我們講幾個“1倍”數(shù)不太明顯的例子。 例3 甲隊有45人，乙隊有75人。甲隊要調(diào)入乙隊多少人，乙隊人數(shù)才是甲隊人數(shù)的3倍？ 　　分析：容易求得“二數(shù)之和”為 45＋75=120(人)。如果從“乙隊人數(shù)才是甲隊人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即小數(shù))是“甲隊人數(shù)”那就錯了，從75不是45的3倍也知是錯的。這個“1倍”數(shù)是誰？根據(jù)題意，應(yīng)是調(diào)動后甲隊的剩余人數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動后的人數(shù)關(guān)系，即“調(diào)入人后的乙隊人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊剩余的人數(shù)”的3倍。由此畫出線段圖如下： 　　從圖中看出，把甲隊中“？”人調(diào)入乙隊后，(45＋75)就是甲隊剩下人數(shù)的 3＋1＝4(倍)。從而，甲隊調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。 解：甲隊調(diào)動后剩下的人數(shù)為 　　(45＋75)(3＋1)＝ 30(人)，故甲隊調(diào)入乙隊的人數(shù)為45-30＝15(人)。 　　答：甲隊要調(diào)15人到乙隊。 例4 妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應(yīng)給哥哥多少本書？ 　　仿照例3的分析可得如下解法。 解：兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(6＋1)倍，根據(jù)和倍公式，妹妹剩下 　　(53＋24)(6＋1)＝11(本)。故妹妹給哥哥書24-11＝13(本)。 　　答：妹妹給哥哥書13本。 例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個。后來大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個，而小灰兔自己又采了10個。這時，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問：原來大白兔和小灰兔各采了多少個蘑菇？ 分析與解：這道題仍是和倍應(yīng)用題，因為有“和”、有“倍數(shù)”。但這里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下： 　 　　根據(jù)和倍公式，小灰兔現(xiàn)有蘑菇(即“1倍”數(shù)) 　　(160-20＋10)(5＋1)＝25(個)， 　　故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(個)，大白兔原有蘑菇 　　160-15＝145(個)。 　　答：原來大白兔采蘑菇145個，小灰兔采15個。 附送： 2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和倍問題 專題簡析： 已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)分別是多少，像這樣的應(yīng)用題，通常叫做和倍問題。要想順利地解答和倍應(yīng)用題，最好的方法就是根據(jù)題意，畫出線段圖，使數(shù)量關(guān)系一目了然，從而正確列式解答。 解答和倍應(yīng)用題，關(guān)鍵是要找出兩數(shù)的和以及與其對應(yīng)的倍數(shù)和，從而先求出1倍數(shù)，再求出幾倍數(shù)。數(shù)量關(guān)系可以這樣表示： 兩數(shù)和（倍數(shù)＋1）=小數(shù)（1倍數(shù)） 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)（幾倍數(shù)） 兩數(shù)和－小數(shù)=大數(shù) 例題1 學(xué)校將360本圖書分給二、三兩個年級，已知三年級所分得的本數(shù)是二年級的2倍，問二、三兩個年級各分得多少本圖書？ 思路導(dǎo)航：將二年級所得圖書的本數(shù)看作1倍數(shù)，則三年級所得本數(shù)是這樣的2倍。如圖所示： 由圖可知，二、三年級所得圖書本數(shù)的和360本相當(dāng)于二年級的（1＋2）倍，則二年級所得圖書本數(shù)的360（1＋2）=120本，三年級為1202=240本。 練 習(xí) 一 1．小紅和小明共有壓歲錢800元，小紅的錢數(shù)是小明的3倍。小紅和小明各有壓歲錢多少元？ 2．學(xué)校將360本圖書分給二、三年級，已知三年級所得本數(shù)比二年級的2倍還多60本。二、三年級各得圖書多少本？ 3．甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油給甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？ 例題2 小寧有圓珠筆芯30枝，小青有圓珠筆芯15枝，問小青給小寧多少枝后，小寧的圓珠筆芯枝數(shù)是小青的8倍？ 思路導(dǎo)航：我們把變化后小青的圓珠筆芯枝數(shù)看作1倍數(shù)，那么小寧與小青圓珠筆芯的枝數(shù)和相當(dāng)于變化后小青枝數(shù)的9倍，所以變化后小青的枝數(shù)為（30＋15）（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，則表示小青給小寧的枝數(shù)。 練 習(xí) 二 1．紅紅有郵票80張，佳佳有郵票60張，要使紅紅的郵票張數(shù)是佳佳的4倍，那么佳佳必須給紅紅多少張郵票？ 2．甲水池有水69噸，乙水池有水36噸，如果甲水池中的水以每分鐘2噸的速度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池的水是甲水池的2倍？ 3．甲書架有圖書18本，乙書架有圖書8本，班圖書管理員又買來圖書16本，怎樣分配才能使甲書架圖書的本數(shù)是乙書架的2倍？ 例題3 被除數(shù)與除數(shù)的和為320，商是7，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？ 思路導(dǎo)航：由商是7可知，被除數(shù)是除數(shù)的7倍，把除數(shù)看作1份數(shù)，被除數(shù)就有這樣的7份，一共7＋1=8份。 除數(shù)：3208=40 被除數(shù)：407=280 練 習(xí) 三 1．被除數(shù)和除數(shù)和為120，商是7，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？ 2．被除數(shù)、除數(shù)、商的和為79，商是4，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？ 3．兩個整數(shù)相除商是21，余數(shù)為1，已知被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和一共是441。被除數(shù)、除數(shù)各是多少？ 例題4 兩數(shù)相除商為17余6，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479。被除數(shù)和除數(shù)分別為多少？ 思路導(dǎo)航：被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479，減去商17和余數(shù)6，得到被除數(shù)與除數(shù)的和為479－17－6=456；又因為被除數(shù)比除數(shù)的17倍多6，所以456－6=450就相當(dāng)于除數(shù)的（17＋1）倍，因此除數(shù)為450（17＋1）=25，被除數(shù)為2517＋6=431。 練 習(xí) 四 1．兩個整數(shù)相除商14余2，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是243，被除數(shù)比除數(shù)大多少？ 2．在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于240，而減數(shù)是差的5倍。差是多少？ 3．學(xué)校買來83本書，其中科技書是故事書的2倍，故事書比文藝書多5本，這三種書各多少本？ 例題5 兩個數(shù)之和是792，其中一個數(shù)的最后一位數(shù)數(shù)字是0，如果把0去掉，就與另一個數(shù)相同。這兩個數(shù)分別是多少？ 思路導(dǎo)航：把一個數(shù)的最后一位數(shù)字0去掉，就與另一個數(shù)相同，說明這兩個數(shù)中大數(shù)是小數(shù)的10倍。又已知兩個數(shù)之和是792，那我們就可以求出這兩個數(shù)分別是多少了。 小數(shù)：792（10＋1）=72 大數(shù)：7210=720 練 習(xí) 五 1．兩個數(shù)之和是253，其中一個數(shù)的最后一位數(shù)字是0，如果把0去掉，就與另一個數(shù)相同。這兩個數(shù)分別是多少？ 2．師徒兩人加工一批零件共693個，師傅加工零件個數(shù)的末位數(shù)字是0，如果去掉這個0，加工的個數(shù)就與徒弟一樣多。師徒二人分別加工零件多少個？ 3．甲、乙兩數(shù)的和是209，甲數(shù)縮小10倍就和乙數(shù)同樣大，甲、乙兩數(shù)分別是多少？