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專題七：圓 類型之一　與切線的性質有關的計算或證明 例1：如圖，為的直角邊上一點，以為半徑的與斜邊相切于點，交于點．已知，． （1）求的長； （2）求圖中陰影部分的面積． 針對訓練：1.已知AB是⊙O的直徑，AT是⊙O的切線，∠ABT＝50，BT交⊙O于點C，E是AB上一點，延長CE交⊙O于點D. (1)如圖①，求∠T和∠CDB的大?。? (2)如圖②，當BE＝BC時，求∠CDO的大?。? 類型之二　與切線的判定有關的計算或證明 例2：如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，點E在AB的延長線上，∠AED＝∠ABC. (1)求證：DE與⊙O相切； (2)若BF＝2，DF＝，求⊙O的半徑． 針對訓練：2.如圖在Rt△ACB中，∠ACB＝90，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，E為BC的中點，連結DE并延長交AC的延長線點F. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直徑的長． 　　 　 針對訓練：3. 如圖，⊙O的半徑OC與直徑AB垂直，點P在OB上，CP的延長線交⊙O于點D，在OB的延長線上取點E，使ED＝EP. (1)求證：ED是⊙O的切線； (2)當P為OE的中點，且OC＝2時，求圖中陰影部分的面積． 針對訓練：4.如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D，AE平分∠BAC交邊BC于點E，經(jīng)過點A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點G． （1）求證：BC是⊙F的切線； （2）若點A、D的坐標分別為A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半徑； （3）試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論． 類型之三：圓與函數(shù)的綜合 例3：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90，O為BC的中點，動點E在BA邊上移動，動點F在AC邊上移動． (1)當點E，F(xiàn)分別為邊BA，AC的中點時，求線段EF的長； (2)當∠EOF＝45時， ①設BE＝x，CF＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍； ②若以O為圓心的圓與AB相切(如圖)，試探究直線EF與⊙O的位置關系,并證明你的結論． 針對訓練：5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝8，tanB＝，點P是線段AB上的一個動點，以點P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個交點為點D，射線PD交射線BC于點E，設PA＝x. (1)當⊙P與BC相切時，求x的值； (2)設CE＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍． 專題七：圓(參考答案) 例1: （1）在Rt△ABC中，AB===2 ∵BC⊥OC ∴BC是⊙O的切線 ∵AB是⊙O的切線 ∴BD=BC= ∴AD=AB-BD= （2）在Rt△ABC中，sinA= ∴∠A=30 ∵AB切⊙O于點D ∴OD⊥AB ∴∠AOD=90-∠A=60 ∵ ∴ ∴OD=1 ∴ 針對訓練：1. 解：(1)如答圖①，連結AC， ∵AT是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90， ∵∠ABT＝50，∴∠T＝90－∠ABT＝40， 圖① 由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90， ∴∠CAB＝90－∠ABC＝40，∴∠CDB＝∠CAB＝40； (2)如答圖②，連結AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50， ∴∠BCE＝∠BEC＝65，∴∠BAD＝∠BCD＝65， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65， ∵∠ADC＝∠ABC＝50， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65－50＝15. 　圖② 例2：解：(1)證明：如圖，連結OD. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90， ∴∠A＋∠ABC＝90， ∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD， ∴∠BOD＝∠A， ∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90， ∴∠ODE＝90，即OD⊥DE，∴DE與⊙O相切； (2)如答圖，連結BD，過點D作DH⊥BF于點H. ∵DE與⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90， ∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD， ∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF， ∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF與△FDB都是等腰三角形， ∴FH＝BH＝BF＝1，∴HD＝＝3， 在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2， ∴OD＝5.即⊙O的半徑是5. 針對訓練：2. 解：(1)證明：如圖，連結OD，CD. ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90. ∴∠BDC＝90.又∵E為BC的中點， ∴DE＝BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90. ∴∠ODE＝90，∴DE是⊙O的切線； (2)設⊙O的半徑為x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2， 即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直徑為6. 針對訓練：3. 解：(1)證明：連接OD. ∵OD是圓的半徑， ∴OD＝OC. ∴∠CDO＝∠DCO. ∵OC⊥AB， ∴∠COP＝90. ∵在Rt△OPC中，∠CPO＋∠PCO＝90. 又∵ED＝EP， ∴∠EDP＝∠EPD＝∠CPO. ∴∠EDO＝∠EDP＋∠CDO＝∠CPO＋∠DCO＝90. ∴ED⊥OD. ∴ED是⊙O的切線． (2)∵P為OE的中點，ED＝EP，且由(1)知△ODE為直角三角形， ∴PE＝PD＝ED.∴∠E＝60. ∵OD＝OC＝2，∴ED＝＝. ∴S陰影＝S△ODE－S扇形OBD＝2－＝. 針對訓練：4. （1）連接EF， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE=∠CAE， ∵FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA， ∴∠FEA=∠EAC， ∴FE∥AC， ∴∠FEB=∠C=90，即BC是⊙F的切線； （2）連接FD， 設⊙F的半徑為r， 則r2=（r-1）2+22， 解得，r=，即⊙F的半徑為； （3）AG=AD+2CD． 證明：作FR⊥AD于R， 則∠FRC=90，又∠FEC=∠C=90， ∴四邊形RCEF是矩形， ∴EF=RC=RD+CD， ∵FR⊥AD， ∴AR=RD， ∴EF=RD+CD=AD+CD， ∴AG=2FE=AD+2CD．. 例3： 解：(1)在△ABC中， AB＝AC＝2，∠A＝90， ∴根據(jù)勾股定理， 得BC＝＝2. ∵點E，F(xiàn)分別為邊BA，AC的中點， ∴EF是△ABC的中位線． ∴EF＝. (2)①在△OEB和△FOC中， ∵AB＝AC，∠A＝90，∴∠B＝45. ∵∠EOB＋∠FOC＝135，∠EOB＋∠OEB＝135， ∴∠FOC＝∠OEB. 又∵∠B＝∠C， ∴△OEB∽△FOC. ∴＝. ∵BE＝x，CF＝y(tǒng)，OB＝OC＝， ∴＝，即y＝，其中1≤x≤2. ②直線EF與⊙O相切，理由： ∵△OEB∽△FOC， ∴＝. ∴＝，即＝. 又∵∠B＝∠EOF＝45， ∴△BEO∽△OEF. ∴∠BEO＝∠OEF. ∴點O到AB和EF的距離相等． ∵AB與⊙O相切， ∴點O到EF的距離等于⊙O的半徑． ∴直線EF與⊙ O相切． 針對訓練5： (1)∵∠ACB=90°,AC=8,tanB=， ∴BC=6，AB=10， 設P與BC相切于點M時， ∴PM⊥BC， ∴PM∥AC， ∴ ∴ ∴； (2)過點P作PH⊥AD，垂足為點H， ∵∠ACB=90°,tanB=， ∴sinA=， ∵PA=x， ∴PH=x， ∵∠PHA=90°， ∴PH2+AH2=PA2， ∴HA=x， ∵在⊙P中，PH⊥AD， ∴DH=AH=x， ∴AD=x， 又∵AC=8， ∴CD=8?x， ∵∠PHA=∠BCA=90°， ∴PH∥BE， ∴， ∴， ∴y=6?x(0≤x≤5).