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2019-2020年高中物理 5.7生活中的圓周運動 提高知識講解學案 新人教版必修2 【學習目標】 1、能夠根據(jù)圓周運動的規(guī)律，熟練地運用動力學的基本方法解決圓周運動問題。 2、學會分析圓周運動的臨界狀態(tài)的方法，理解臨界狀態(tài)并利用臨界狀態(tài)解決圓周運動問題。 3、理解外力所能提供的向心力和做圓周運動所需要的向心力之間的關系，以此為根據(jù)理解向心運動和離心運動。 【要點梳理】 要點一、靜摩擦力提供向心力的圓周運動的臨界狀態(tài) 要點詮釋： 1、水平面上的勻速圓周運動，靜摩擦力的大小和方向 物體在做勻速圓周運動的過程中，物體的線速度大小不變，它受到的切線方向的力必定為零，提供向心力的靜摩擦力一定沿著半徑指向圓心。這個靜摩擦力的大小，它正比于物體的質量、半徑和角速度的平方。 當物體的轉速大到一定的程度時，靜摩擦力達到最大值，若再增大角速度，靜摩擦力不足以提供物體做圓周運動所需要的向心力，物體在滑動摩擦力的作用下做離心運動。 臨界狀態(tài)：物體恰好要相對滑動，靜摩擦力達到最大值的狀態(tài)。此時物體的角速度（為最大靜摩擦因數(shù)），可見臨界角速度與物體質量無關，與它到轉軸的距離有關。 2、水平面上的變速圓周運動中的靜摩擦力的大小和方向 無論是加速圓周運動還是減速圓周運動，靜摩擦力都不再沿著半徑指向圓心，靜摩擦力一定存在著一個切向分量改變速度的大小。如圖是在水平圓盤上的物體減速和加速轉動時靜摩擦力的方向：（為了便于觀察，將圖像畫成俯視圖） 要點二、豎直面上的圓周運動的臨界狀態(tài) 要點詮釋： 1.汽車過拱形橋 在豎直面內的圓周運動中可以分為：勻速圓周運動和變速圓周運動。對于變速圓周運動，需要特別注意幾種具體情況下的臨界狀態(tài)。 例如：汽車通過半圓的拱形橋，討論橋面受到壓力的變化情況 （1）車在最高點的位置Ⅰ時對橋面的壓力 對車由牛頓第二定律得： 為了駕駛安全，橋面對車的支持力必須大于零，即 所以車的速度應滿足關系 臨界狀態(tài)：汽車在最高點處橋面對汽車的支持力為零，此時汽車的速度。 如果，在不計空氣阻力的情況下，汽車只受到重力的作用，速度沿著水平方向，滿足平拋運動的條件，所以從此位置開始，汽車將離開橋面做平拋運動，不會再落到橋面上。 （2）汽車沿著拱形橋面向下運動時車對于橋面的壓力 當汽車在跨越最高點后的某一位置Ⅱ時 由牛頓第二定律得 解得汽車對于橋面壓力的大小 可見在汽車速度大小不變的情況下，隨著角的不斷減小，汽車對橋面的壓力不斷減小。 臨界狀態(tài)：當時，汽車對橋面的壓力減小到零。從此汽車離開橋面做斜下拋運動。 所以要使得汽車沿著斜面運動，其速度必須滿足：，即車的速度。 2.細線約束的小球在豎直面上的變速圓周運動 例如，用長為R的細繩拴著質量是m的物體，在豎直平面內做圓周運動。 mg T V 在最高點處，設繩子上的拉力為T 根據(jù)牛頓第二定律列方程得： 由于繩子提供的只能是拉力， 所以小球要通過最高點，它的速度值。 臨界狀態(tài)：在最高點處，當只有重力提供向心力時，物體在豎直面內做圓周運動的最小速度是。 若在最高點處物體的速度小于這個臨界速度，便不能做圓周運動。事實上，物體早在到達最高點之前，就已經(jīng)脫離了圓周運動的軌道，做斜上拋運動。 3.輕桿約束小球在豎直面上的變速圓周運動 例如，一根長度為R輕質桿一端固定，另一端連接一質量為m的小球，使小球在豎直面內做圓周運動。 在最高點，設桿對球的作用力為FN，規(guī)定向下的方向為正方向， 根據(jù)牛頓第二定律列方程得： 因為桿既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以 當時，桿對球提供向上的支持力，與重力的方向相反； 當時，這與繩子約束小球的情況是一樣的。 所以輕桿約束的情況可以存在兩個臨界狀態(tài)： ①在最高點處的速度為零，小球恰好能在豎直面內做圓周運動，此時桿對小球提供支持力，大小等于小球的重力； ②在最高點處的速度是時，輕桿對小球的作用力為零，只由重力提供向心力。 球的速度大于這個速度時，桿對球提供拉力；球的速度小于這個速度時，桿對球提供支持力。 要點三、物體做離心與向心運動的條件 外力提供的向心力等于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做圓周運動； 外力提供的向心力小于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做遠離圓心的運動——離心運動 外力提供的向心力大于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做靠近圓心的運動——也可稱之為向心運動 要點四、處理圓周運動的動力學問題時應注意的問題 （1）確定向心力的來源。 向心力是根據(jù)力的效果命名的，在分析做圓周運動的質點受力情況時，切不可在物體的相互作用力（重力、彈力、摩擦力等）以外再添加一個向心力。 （2）確定研究對象的軌道平面和圓心的位置，以便確定向心力的方向。 例如，沿半球形碗的光滑內表面，一小球在水平面上做勻速圓周運動，如圖所示，小球做圓周運動的圓心在與小球同一水平面上的O′點，而不是在球心O，也不在彈力FN所指的PO線上。 （3）物體在靜摩擦力作用下做勻速圓周運動時，相對滑動的臨界條件是恰好達到最大靜摩擦力。 （4）物體在不同支承物（繩、桿、軌道、管道等）作用下，在豎直平面做圓周運動，通過最高點時的臨界條件。 ①輕繩模型 如圖所示沒有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運動過最高點的情況： 注意：繩對小球只能產生沿繩收縮方向的拉力 臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用：得 （可理解為恰好轉過或恰好轉不過的速度） 能過最高點的條件：，當時，繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力． 不能過最高點的條件：，實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道. ②輕桿模型 （2）如圖（a）的球過最高點時，輕質桿（管）對球產生的彈力情況： 注意：桿與繩不同，桿對球既能產生拉力，也能對球產生支持力，管壁支撐情況與桿一樣。 當v＝0時，N＝mg（N為支持力） 當 時， N隨v增大而減小，且，N為支持力． 當v=時，N＝0 當v＞時，N為拉力，N隨v的增大而增大 若是圖（b）的小球，此時將脫離軌道做平拋運動，因為軌道對小球不能產生拉力． 【典型例題】 類型一、生活中的水平圓周運動 例1、如圖所示，一個內壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相同的小球A和B緊貼著內壁分別在圖中所示的水平面內做勻速圓周運動．則下列說法正確的是( ) A．球A的線速度必定大于球B的線速度 B．球A的角速度必定小于球B的角速度 C．球A的運動周期必定小于球B的運動周期 D．球A對筒壁的壓力必定大于球B對筒壁的壓力 【思路點撥】兩球均貼著圓錐筒的內壁，在水平面內做勻速圓周運動。關注到兩球在運動中的半徑不同，正確對物體進行受力分析，應用向心力公式即可比較兩球運動中各個物理量的關系。 【答案】AB 【解析】兩球均貼著圓錐筒的內壁，在水平面內做勻速圓周運動，它們均受到重力和筒壁對它們的彈力作用。其合力必定在水平面內時刻指向圓心，如圖所示． 由圖可知，筒壁對球的彈力為，對于A、B兩球，因質量相等，θ角也相等，所以A、B兩球受到筒壁的彈力大小也相等，由牛頓第三定律知，A、B兩球對筒壁的壓力大小也相等，D選項不正確． 對球運用牛頓第二定律得，球的線速度，角速度，周期． 由此可見，球的線速度隨軌道半徑的增大而增大，所以A球的線速度必定大于B球的線速度，A選項正確．球的角速度隨半徑的增大而減小，周期隨半徑的增大而增大，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的周期大于B球的周期，A球的運動頻率小于B球的運動頻率，B選項正確，C選項不正確． 【總結升華】(1)A、B兩球的向心加速度、線速度、角速度、周期、頻率等物理量與球的質量無關。 (2)在勻速圓周運動中，物體所受合力提供向心力，正確對物體進行受力分析是分析求解的基礎． 例2、有一種叫“飛椅”的游樂項目，示意圖如圖所示．長為L的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑為r的水平轉盤邊緣．轉盤可繞穿過其中心的豎直軸轉動．當轉盤以角速度ω勻速轉動時，鋼繩與轉軸在同一豎直平面內，與豎直方向的夾角為θ．不計鋼繩的重力，求轉盤轉動的角速度ω與夾角θ的關系． 【思路點撥】座椅在水平面內做勻速圓周運動，其半徑是它到轉軸之間的水平距離。 【答案】 【解析】對座椅進行受力分析，如圖所示． y軸上：， ① x軸上：， ② 則由得：， 因此． 【總結升華】本題是一道實際應用題，考查了學生用物理知識解決實際問題的能力，解答這類問題的關鍵是把實際問題轉化成物理模型，用物理知識解決實際問題，這是學習物理的最高境界，也是近幾年高考命題一個非常明顯的趨向． 類型二、生活中的豎直圓周運動 例2、如圖所示，輕桿長為3L，桿上距A球為L處的O點裝在水平轉動軸上，桿兩端分別固定質量為m的A球和質量為3m的B球，桿在水平軸的帶動下，在豎直平面內轉動．問： (1)若A球運動到最高點時，桿OA恰好不受力，求此時水平軸所受的力； (2)在桿的轉速逐漸增大的過程中，當桿轉至豎直位置時，能否出現(xiàn)水平軸不受力的情況?如果出現(xiàn)這種情況，A、B兩球的運動速度分別為多大? 【解析】(1)令A球質量為mA，B球質量為mB，則mA＝m，mB＝3m．當A球運動到最高點時，桿OA恰好不受力，說明此時A球的重力提供向心力，則有mAg＝，所以． 又因為A、B兩球固定在同一桿上，因此．設此時OB桿對B球的拉力為FT，則有FT-mBg＝mB，所以FT＝9mg． 對OB桿而言，設水平軸對其作用力為F，則F＝FT＝9mg．由牛頓第三定律可知，水平軸所受到的拉力為9mg，方向豎直向下． (2)若水平軸不受力，那么兩段桿所受球的拉力大小一定相等，設其拉力為，轉動角速度為ω，由牛頓第二定律可得： ， ① ， ② 由①－②得：m1g+m2g＝(m1L1-m2L2)ω2， ③ 從上式可見，只有當m1L1＞m2L2時才有意義，故m1應為B球，m2為A球． 由③式代入已知條件可得：(3m+m)g＝(3m2L-mL)ω2，所以． 由上述分析可得，當桿處于豎直位置，B球在最高點，且時，水平軸不受力，此時有，． 【總結升華】本題中要注意研究對象的轉換，分析軸所受力的作用，先應分析小球的受力，而后用牛頓第三定律分析． 舉一反三 【高清課程：圓周運動的實例分析 例9】 【變式】質量為m的小球，用長為l的線懸掛在O點，在O點正下方處有一光滑的釘子C，把小球拉到與O在同一水平面的位置，擺線被釘子攔住，如圖所示.將小球從靜止釋放.當球第一次通過最低點P時( ) A.小球線速度突然增大 B.小球角速度突然增大 C.小球的向心加速度增大 D.擺線上的張力突然增大 【答案】BCD 類型三、斜面上的圓周運動 例3、 在傾角的光滑斜面上，有一長L＝0.8m的細繩，一端固定在O點，另一端拴一個質量m＝0.2kg的小球，使小球在斜面上做圓周運動，取g=10m/s2，求： （1）小球通過最高點時的最小速度？ （2）如果細繩受到10N的拉力就會斷，則通過最低點B時的最大速度？ 【思路點撥】這是一個豎直面上變速圓周運動問題的變式問題，要注意找出和豎直面上的變速圓周運動的共同之處和不同之處，要特別重視分析問題方法的遷移。 【解析】小球在垂直于斜面的方向上處于平衡狀態(tài)，在平行于斜面的平面內的運動情況和豎直平面內用細繩約束小球的運動情況類似。 （1）小球通過最高點A的最小速度，出現(xiàn)在繩子上拉力等于零的時候，此時重力的下滑分量提供向心力，在A點平行于斜面的方向上， 由牛頓第二定律得： 解得 （2）在B點繩子恰好被拉斷時，在平行于斜面的方向上， 由牛頓第二定律得： 解得 【總結升華】用細繩約束在斜面上的變速圓周運動和豎直面上的變速圓周運動，解決問題的方式是完全相同的，不同之處是：在斜面上時只有重力的下滑分量對變速圓周運動有貢獻。 類型四、連接體的圓周運動 例4、 如圖所示水平轉盤可繞豎直軸旋轉，盤上水平桿上穿著兩個質量相等的小球A和B，現(xiàn)將A和B分別置于距軸r和2r處，并用不可伸長的輕繩相連，已知兩個球與桿之間的最大靜摩擦力都是，試分析轉速從零逐漸增大，兩球對軸保持相對靜止過程中，A、B受力情況如何變化？ 【思路點撥】解決本題關鍵是：動態(tài)的分析物理過程，發(fā)現(xiàn)隱藏在過程中的臨界狀態(tài)；理解最大靜摩擦力出現(xiàn)的條件，弄清外力提供的向心力和圓周運動需要的向心力對運動的影響。 物體的勻速圓周運動狀態(tài)不是平衡狀態(tài)，它所需要的向心力應恰好由物體所受的合外力來提供?！半x心”與“向心”現(xiàn)象的出現(xiàn)，是由于提供的合外力與某種狀態(tài)下所需的向心力之間出現(xiàn)了矛盾。當“供”大于“需”時，將出現(xiàn)“向心”，當“供”小于“需”時，物體將遠離圓心被甩出。 對于此題，當轉動角速度增大到某一個值時，A和B將發(fā)生離心現(xiàn)象，向B一側甩出，此時A所受摩擦力應沿桿指向外側。而剛開始轉動時，A所受摩擦力應指向圓心，而且繩上沒有張力。 【解析】當轉動角速度增大到某一個值時，A和B將發(fā)生離心現(xiàn)象，向B一側甩出，此時A所受摩擦力應沿桿指向外側。而剛開始轉動時，A所受摩擦力應指向圓心，而且繩上沒有張力。 （1）由于ω從零開始逐漸增大，當較小時，A和B只靠自身靜摩擦力提供向心力。 對 A球： 對B球： 隨增大，靜摩擦力f不斷增大，直到時將有，即， （這是一個臨界狀態(tài)） （2）當時，繩上的張力T將出現(xiàn)。 對A球： ① 對B球： ② 由②式，當增加到時，繩上張力將增加，增加的張力 由①式，， 可見△fA＜0，即隨ω的增大，A球所受摩擦力將不斷減小。 （3）當時，設此時角速度 對A球，，對B球， （4）當角速度從ω2繼續(xù)增加時，A球所受的摩擦力方向將沿桿指向外側，并隨ω的增大而增大，直到為止，設此時角速度， A球： B球： （5）當時，A和B將一起向B側甩出。 【總結升華】(1)由于A、B兩球角速度相等，向心力公式應選用F＝mrω2； (2)分別找出ω逐漸增大的過程中的幾個臨界狀態(tài)，并正確分析各個不同階段的向心力的來源及其變化情況，揭示出小球所需向心力的變化對所提供向心力的靜摩擦力及繩子拉力之間的制約關系，這是求解本題的關鍵。動態(tài)分析也是物理學中重要的分析方法，努力的通過此題加以體會、實踐。 （3）對于兩個或兩個以上的物體，通過一定的約束，繞同一轉軸做圓周運動的問題，一般求解思路是：分別隔離物體，準確分析受力，正確畫出力圖，確定軌道半徑，注意約束關系（在連接體的圓周運動問題中，角速度相同是一種常見的約束關系）。 舉一反三 【變式1】如圖所示在水平轉臺上放一質量為M的木塊，木塊與轉臺間的最大靜摩擦因數(shù)為，它通過細繩與另一木塊m相連。轉臺以角速度轉動，M與轉臺能保持相對靜止時，它到轉臺中心的最大距離和最小距離分別為多大？ 【解析】假設轉臺光滑，M在水平面內轉動時，豎直方向上平臺對M的支持力與Mg相平衡，繩子的拉力提供M做圓周運動的向心力。因為M與轉臺保持相對靜止時，所以繩子的拉力T=mg。設此時M距離中心的半徑，則： 對M，， 即： 討論：（1）若R為最小值，M有向圓心運動的趨勢，故轉臺對M有背離圓心的靜摩擦力，大小為。 對m仍有T=mg 對M有： 解得 （2）若R為最大值，M有背離圓心運動的趨勢，故轉臺對M有指向圓心、大小為的靜摩擦力 對m仍有T=mg 對M有： 解得 【高清課程：圓周運動的實例分析 例3】 【變式2】甲、乙兩名溜冰運動員，M甲 = 80kg，M乙 = 40kg，面對面拉著彈簧秤做圓周運動的溜冰表演，如圖所示．兩人相距0.9m，彈簧秤的示數(shù)為9.2N，下列判斷中正確的是（ ） A．兩人的線速度相同，約為40m/s B．兩人的角速度相同，約為6rad/s C．兩人的運動半徑相同，都為0.45m D．兩人的運動半徑不同，甲為0.3m，乙為0.6m 【答案】D