《《傅里葉光學(xué)》長春理工大學(xué)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《傅里葉光學(xué)》長春理工大學(xué)（141頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

傅里葉光學(xué) Fourier Optics 薛常喜 光電工程學(xué)院,1）光學(xué)是一門古老的學(xué)科，主要研究光波的本性、光波的傳播以及光與物質(zhì)的相互作用。 2）光學(xué)的發(fā)展歷史可以追溯到公元前5世紀(jì)，到目前已經(jīng)有2000多年的歷史，并逐漸在物理學(xué)中形成了一門獨(dú)立 的基礎(chǔ)學(xué)科。 3）光學(xué)的發(fā)展歷史可以看成是人們對光本性認(rèn)識的歷史，以及人們利用光學(xué)技術(shù)推動社會不斷進(jìn)步的歷史。 4）在整個發(fā)展歷史中，光學(xué)也從經(jīng)典光學(xué)發(fā)展到現(xiàn)代光學(xué)，人們對光學(xué)的認(rèn)識不斷深入，而光學(xué)在整個社會中的應(yīng)用也越來越廣泛。,1、傅里葉光學(xué)的發(fā)展歷史,光學(xué)的發(fā)展歷程,第一階段：17世紀(jì)中葉之前 經(jīng)典光學(xué)的早期發(fā)展階段 【幾何光學(xué)】,觸覺論、發(fā)射論,直線傳播、小孔成像、光的反射和凹凸面鏡反射成像,公元前5世紀(jì),公元前4世紀(jì),Snell折射定律、費(fèi)馬原理,公元前3世紀(jì)到公元17世紀(jì)中葉,第二階段：17世紀(jì)中葉至19世紀(jì) 經(jīng)典光學(xué)的快速發(fā)展階段【波動光學(xué)】,波動學(xué)說和粒子學(xué)說之爭,17世紀(jì)初至19世紀(jì)末,Maxwell電磁波理論 邁克爾遜-莫雷以太實(shí)驗(yàn),19世紀(jì)60年代,第三階段：20世紀(jì) 現(xiàn)代光學(xué)的誕生及發(fā)展階段,量子力學(xué)、相對論、波粒二像性、物質(zhì)波理論,20世紀(jì)上半葉,全息術(shù)、光學(xué)傳遞函數(shù)及激光器的誕生,20世紀(jì)40年代至60年代,量子光學(xué)、傅里葉光學(xué)、薄膜光學(xué)、集成光學(xué)、非線性光學(xué)、光纖光學(xué)等現(xiàn)代光學(xué)分支的誕生,20世紀(jì)60年代以來,,,,,19世紀(jì)80年代,,5）現(xiàn)代光學(xué)發(fā)展的三件大事1948年，全息術(shù)的誕生，物理學(xué)家第一次精確地拍攝下一張立體的物體像，它幾乎記錄了光波所攜帶的全部信息 (這正是“全息”名稱的來歷)！1955年，科學(xué)家第一次提出“光學(xué)傳遞函數(shù)”的新概念，并用它來評價(jià)光學(xué)鏡頭的質(zhì)量。1960年，一種全新的光源-激光器誕生了，它的出現(xiàn)極大地推動了相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。,6）20世紀(jì)50年代 數(shù)學(xué)、電子技術(shù)、通信理論與光學(xué)相結(jié)合，給光學(xué)引入了頻譜、空間濾波、載波、線性變換及相關(guān)運(yùn)算等概念，從而形成了一門新的光學(xué)學(xué)科—傅里葉光學(xué)！ 傅里葉變換和通信中的線性系統(tǒng)理論使光學(xué)與通信在信息學(xué)領(lǐng)域統(tǒng)一起來，從“空域” 走向“頻域”。 光學(xué)不再僅限于用光強(qiáng)、振幅和透過率的空間分布描述光學(xué)圖像，也用空間頻率的分布變化描述光學(xué)圖像。,1、傅里葉光學(xué)的發(fā)展歷史,,6）20世紀(jì)60年代以來由于激光器的應(yīng)用，全息術(shù)獲得了新的生命；全息術(shù)和光學(xué)傳遞函數(shù)的概念結(jié)合，光學(xué)研究的內(nèi)容和方法發(fā)生了改變,7）隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，信息光學(xué)也獲得了巨大發(fā)展，信息光學(xué)逐漸發(fā)展成為集光學(xué)、計(jì)算機(jī)和信息科學(xué)相結(jié)合的一門技術(shù)，成為信息科學(xué)的一個重要組成部分和現(xiàn)代光學(xué)的核心之一。,傳統(tǒng)上，用光強(qiáng)、振幅的空間分布來描述光學(xué)圖像,現(xiàn)在，則把圖像看作是由緩慢變化的背景、粗 的輪廓等比較低的“空間頻率”成分和急劇 變化的細(xì)節(jié)等比較高的“空間頻率”成分構(gòu)成 的，用頻率的分布和變化來描述光學(xué)圖像。,,“空域” “頻域”,,傅里葉光學(xué)（又稱信息光學(xué)）最終形成一個重要的學(xué)科分支。,1、傅里葉光學(xué)的發(fā)展歷史,,1）課程將從三個方面介紹傅里葉光學(xué)的基本內(nèi)容 一、信息光學(xué)的基礎(chǔ)理論，包括傅里葉變換、線性系統(tǒng)理論、標(biāo)量衍射理論、傳遞函數(shù)理論等； 二、信息光學(xué)的主要應(yīng)用，包括光學(xué)全息、計(jì)算全息、空間濾波、光學(xué)相干和非相干處理等； 三、信息光學(xué)的最新發(fā)展動態(tài)，如激光散斑、分?jǐn)?shù)傅里葉變換等。 2）具體安排見下頁,3、本課程的主要內(nèi)容,,1）傅里葉光學(xué)基于傅里葉變換的方法研究光學(xué)信息在線性系統(tǒng)中的傳遞、處理、變換與存儲等。 2）傅里葉光學(xué)主要的研究內(nèi)容包括： 光在空間的傳播（衍射和干涉問題） 光學(xué)成像（相干與非相干成像系統(tǒng)） 全息術(shù)（包括計(jì)算全息） 光學(xué)信息處理（相干濾波、相關(guān)識別等） 光學(xué)變換、光計(jì)算、光學(xué)傳感等 3）傅里葉光學(xué)主要的研究方法：傅里葉變換+線性系統(tǒng)理論,2、傅里葉光學(xué)的研究內(nèi)容和研究方法,,課程內(nèi)容安排 第一章 傅里葉變換 第二章 二維線性系統(tǒng) 第三章 標(biāo)量衍射理論 第四章 透鏡的位相調(diào)制和傅里葉變換性質(zhì) 第五章 光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性 第六章 部分相干理論 第七章 光學(xué)全息 第八章 光學(xué)信息處理 第九章 激光散斑及其應(yīng)用,3、本課程的主要內(nèi)容,主要內(nèi)容 1.引言——信息 2.光學(xué)信息光信息處理的優(yōu)勢 3.光信息處理發(fā)現(xiàn)的歷史 4.光信息處理作為一個新的技術(shù)科學(xué)分支還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到成熟和廣泛實(shí)用階段。 5.具體體現(xiàn)： 6.課程學(xué)習(xí)要求達(dá)到目的,從信息光學(xué)角度進(jìn)一步闡述傅里葉光學(xué),一．引言——信息科學(xué)技術(shù)是組成社會生產(chǎn)力的一個重要因素，社會生產(chǎn)水平最終決定人類改造自然的能力和范圍，也就決定了科學(xué)技術(shù)工作的任務(wù)，性質(zhì)和規(guī)模。 信息分為兩種類型： 1.能量傳遞和轉(zhuǎn)換為特征18世紀(jì)60年代的工業(yè)革命，以紡紗機(jī)和蒸汽機(jī)的發(fā)明為先導(dǎo)。 2.信息科學(xué)的形成20世紀(jì)中葉以來，隨著自動控制，通訊，電子計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展。從而認(rèn)識到信息運(yùn)動是物質(zhì)運(yùn)動總體的一個方面，它與能量運(yùn)動存在于統(tǒng)一的物質(zhì)運(yùn)動中。,信息的表現(xiàn)形式多種多樣 例如：①人的語言是社會信息②遺傳密碼是生物信息③計(jì)算機(jī)程序是技術(shù)信息信息借助一定的物質(zhì)作為載體才能存在、傳遞或變換，同時(shí)必須伴有一定的能量。信息的變換過程包括信息的接受，存取和處理。,二．光學(xué)信息光學(xué)是研究光的本性、光的產(chǎn)生、傳輸、接收及光與物質(zhì)相互作用規(guī)律和特性的一門科學(xué)。人們主要是從光的能量和信息兩個側(cè)面加以研究。隨著電子技術(shù)、半導(dǎo)體技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、信息論等新興科學(xué)的發(fā)展，與應(yīng)用光學(xué)相互滲透，相互交叉，產(chǎn)生了一系列光學(xué)學(xué)科中新的生長點(diǎn)?，F(xiàn)代應(yīng)用光學(xué)與光學(xué)工程就其范圍來說，分為： ①光能量技術(shù) ②光信息技術(shù) 1.光能量技術(shù)主要包括：照明工程；激光武器；激光加工；太陽能利用等,2.光信息技術(shù)主要包括： A.光學(xué)量測試技術(shù)它以光強(qiáng)、位相、波長、頻率、旋光度等光信息的空間分布和隨時(shí)間的變化作為測試對象，或者將非光量信息轉(zhuǎn)換為光信息加以測量，如光譜分析、光度測量干涉計(jì)量、莫爾條紋測量等等 B.光信息處理它以信息光學(xué)為基礎(chǔ)，用付里葉分析的方法研究光學(xué)成像和光學(xué)變換的理論和技術(shù)；實(shí)現(xiàn)圖像的改善和增強(qiáng)，圖像識別，圖像的幾何畸變與光度的規(guī)整和糾正，光信息的編碼、存儲和成圖技術(shù)，三維圖象顯示和記錄，仿生視覺系統(tǒng)，以及電、聲等非光信號的光信息處理等等。 C.光纖通信用纖維光纜代替金屬電纜，實(shí)現(xiàn)傳輸量大、防干擾性好、保密性強(qiáng)，耗電少的新型通信線路，將是近年迅猛發(fā)展的一個新領(lǐng)域。,三．光學(xué)既古老又年輕由于信息光學(xué)、統(tǒng)計(jì)光學(xué)、波導(dǎo)光學(xué)、集成光學(xué)、空間光學(xué)、海洋光學(xué)、仿生光學(xué)等新光學(xué)的產(chǎn)生，又因激光的出現(xiàn)，付里葉光學(xué)促進(jìn)了圖像科學(xué)與工程（Image Science and Engineering）的發(fā)展。新型的電光、光電材料的不斷發(fā)明，形成了嶄新的光電子學(xué)(Optoelectronics)，所以應(yīng)用光學(xué)與光學(xué)工程(Applied Optics and Optics Engineering)與電子學(xué)的關(guān)系更加密切。總之“信息光學(xué)”作為光信息處理的理論基礎(chǔ)，它是物理光學(xué)、信息科學(xué)和光電子學(xué)相交叉的一個學(xué)科分支。,本課程將經(jīng)典物理光學(xué)的基礎(chǔ)上，闡明傅立葉光學(xué)的分析方法，對光學(xué)成像過程、光信息處理系統(tǒng)、全息照相以及光信息處理用元器件的有關(guān)光學(xué)知識作一系統(tǒng)敘述，從技術(shù)科學(xué)的角度為工程應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。此外，既然把光作為信息的載體，還應(yīng)該研究光信息傳輸和變換的有效性、可靠性以及系統(tǒng)抗干擾的能力。這就是說，有必要對光編碼、光噪聲、光存儲以及信息傳輸過程中光量子效應(yīng)等問題做全面的探討。但由于學(xué)時(shí)有限，有待進(jìn)一步總結(jié)。,四．光信息處理的優(yōu)勢 1. 電子學(xué)的缺點(diǎn)由于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展提高計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度和通信容量。從這個意義來說，電子計(jì)算機(jī)正面臨光計(jì)算機(jī)的挑戰(zhàn)，換句話說，光信息處理與光通信急速發(fā)展的原因是由于光波本身物理本質(zhì)的優(yōu)越性。電子計(jì)算機(jī)高速化有以下三個方面限制 1)量子力學(xué)限制 2)熱力學(xué)限制 3)電子線路技術(shù)的限制 4)電子通信容量的限制,2.光信息處理具有以下特點(diǎn)1)易于實(shí)現(xiàn)二維和三維光信息的并列處理，特別有利于快速圖像處理。2)運(yùn)算速度快，基本上按光速進(jìn)行。 目前，全息片的存儲速度已達(dá) 畢/秒。3)光信息容易模擬其他物理量信息，如微波天線電磁場的模擬和超聲波的模擬等。由于光波波長短，模擬裝置的幾何尺寸大小縮小。4)由于光學(xué)裝置受到光學(xué)材料及記錄介質(zhì)質(zhì)量等的限制，產(chǎn)生光噪音的因素較多，運(yùn)算精度還不高，一般只能達(dá)到百分之幾。5)目前光信息處理還處于模擬運(yùn)算階段，線性變換中以付里葉最易實(shí)現(xiàn)。非線性變換及空間變換處理系統(tǒng)正在深入研究。所以與數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)相比，運(yùn)算的靈活性較弱。,,五．光信息處理發(fā)現(xiàn)的歷史原始的光信息處理處理方法可以追溯到著名的佛科刀口檢驗(yàn)與輝紋法，他都是以弱衍射效應(yīng)為基礎(chǔ)，從可見的光場中提取必要的信息。 1）1873年E.Abbe對顯微鏡成像的探討，闡明了光學(xué)系統(tǒng)分辨率與物面空間頻譜的聯(lián)系。 2）1906年P(guān)orter實(shí)現(xiàn)了空間濾波的實(shí)驗(yàn)。 1）-2）公認(rèn)為相干光處理系統(tǒng)的先驅(qū)3）1927年Michelson說明了再現(xiàn)記錄的衍射圖樣疊加重要的位相信息后成像的過程。,4)最早最有效的光學(xué)處理系統(tǒng)是1935年F.Zernike的相襯顯微鏡，成功運(yùn)用了濾波。 5）1948年蓋伯（D.Gabor）在研究電子顯微鏡分辨率的同時(shí)，提出了以菲涅耳衍射成像構(gòu)成的全息術(shù)（更大突破，激光出現(xiàn)驗(yàn)證成功）。 1970年獲得諾貝爾獎 1）-5）光信息處理的萌芽時(shí)期。 衍射成像理論是以付里葉變換為數(shù)學(xué)工具的。 6）1946年P(guān).Duffieux開始應(yīng)用光學(xué)系統(tǒng)成像理論，對像質(zhì)評價(jià)方法，光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和性能測試有了很大的促進(jìn)。20世紀(jì)50年代，美國成功實(shí)現(xiàn)模擬雷達(dá)信號處理及相控陣列雷達(dá)信號處理系統(tǒng)。 7）1963年迂內(nèi)順平采用真空鍍膜制作逆濾波器來處理模糊圖象。,8）A.marechel用空間濾波的方法來消除圖片的網(wǎng)點(diǎn)，抽出輪廓，改變圖象的對比。 60年代激光問世 9)1962年利思（E.Leith）和烏帕特尼克斯（J.Upatniks）利用空間載波的概念，拍攝和重現(xiàn)了高質(zhì)量的全息圖。 10）1964年范德拉格特（A.Vandor-Lugt）用復(fù)數(shù)空間濾波的概念，全息空間濾波器作了字符識別實(shí)驗(yàn)，使光學(xué)信息處理進(jìn)入一個廣泛的應(yīng)用階段。,光波傳播規(guī)律的科學(xué) （天文，顯微，視光學(xué)，自然奇觀）光波與物質(zhì)的相互作用（光合，照片膠卷，輻射與生物，光電子）,中國 墨子 小孔成像古希臘 歐幾里德 《反射光學(xué)》,1608， 望遠(yuǎn)鏡， 荷蘭，李普塞 1612， 顯微鏡， 荷蘭，姜森 1860，光譜分析儀， 德國，基爾霍夫,光學(xué)儀器,哈勃望遠(yuǎn)鏡,相對論 量子力學(xué) 麥克斯韋方程組 門捷列夫的元素周期表,19世紀(jì)末期世界科學(xué)幾大發(fā)現(xiàn),1948，全息術(shù)誕生 （英，蓋伯） 1955，光學(xué)傳遞函數(shù) （評價(jià)鏡頭） 1960，激光的誕生 （紅寶石激光） 1961，中國的第一臺激光器（長春光機(jī)所）,現(xiàn)代光學(xué)的發(fā)展,1961年，我國第一臺激光器,I （振幅，光強(qiáng)），1792， 黑白照相 λ（波長，頻率），1908， 彩色照片 Φ（位相），1935，相襯顯微鏡 I，λ，Φ， 全息照相 CT 計(jì)算機(jī)技術(shù)，1979諾貝爾醫(yī)學(xué)獎,光學(xué)照相的發(fā)展,90%的信息通過視覺 古代 烽火臺 光波，承載，傳播，記錄，萃取，顯示信息 光纖通信技術(shù) 光驅(qū)外設(shè)，光盤存儲技術(shù) 空間光學(xué)與航空技術(shù),近代光學(xué)與信息科學(xué),傅里葉光學(xué)（傅里葉級數(shù)） 線性系統(tǒng)理論引入現(xiàn)代光學(xué) 光的傳播，衍射，成像 從空域到頻域 光學(xué)信息處理 應(yīng)用，高密度存儲 光學(xué)測量技術(shù),信息光學(xué)的研究,光盤存儲,人民日報(bào)全文數(shù)據(jù)庫（1993）,激光體全息高密度存儲實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),激光全息防偽人民幣（建國50周年紀(jì)念幣）,,奧迪轎車車身在線三維測量系統(tǒng),激光測距與激光雷達(dá)（1）,激光測距與激光雷達(dá)（2）,長度測量,空間濾波的應(yīng)用,相干光學(xué)信息處理實(shí)驗(yàn),圖像相減的實(shí)驗(yàn)結(jié)果微分濾波（邊緣增強(qiáng)）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,? 調(diào)制實(shí)驗(yàn)的彩照,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在以下各個方面得到了初步應(yīng)用和發(fā)展 1.合成孔徑雷達(dá)信息處理 2.聲納信號處理 3.地震法物理勘探波形分析 4.圖象加強(qiáng)和復(fù)原 5.圖樣識別 6.航空攝影測量圖光學(xué)處理 7.非破壞檢查 8.晶體結(jié)構(gòu)分析 9.光學(xué)計(jì)量 10.生物醫(yī)學(xué)等,六．光信息處理作為一個新的技術(shù)科學(xué)分支還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到成熟和廣泛實(shí)用階段。具體體現(xiàn)： 1.在基礎(chǔ)理論和系統(tǒng)方面：光學(xué)一般變換，非線性變換系統(tǒng)，空間變相干光處理系統(tǒng)部分相干性理論，相干與非相干光的轉(zhuǎn)換機(jī)制等等尚待深入研究。由于相干系統(tǒng)的光噪聲問題不易克服，近年來對非相干光和白光處理系統(tǒng)的研究又有加強(qiáng)趨勢。 2.在材料器件方面實(shí)時(shí)調(diào)制器，可逆光學(xué)存貯器，光電子電光轉(zhuǎn)換陳列器件還是十分薄弱環(huán)節(jié)，嚴(yán)重阻滯光信息處理的發(fā)展和應(yīng)用。目前認(rèn)為，發(fā)揮光學(xué)與電子光學(xué)的優(yōu)勢，彌補(bǔ)兩者的不是從長遠(yuǎn)的意義來說，發(fā)展光-電子式混合式計(jì)算機(jī)是值得研究的重要方向。,對光學(xué)信息處理的理解性定義：從光衍射的惠更斯-菲涅耳原理可知，光學(xué)系統(tǒng)的成像過程就是二次付里葉變換的過程，它是光電信息處理的基本著眼點(diǎn)。用付里葉分折的觀點(diǎn)，可以把任何二維圖象看成各種空間頻率的正弦光柵迭加的結(jié)果。同時(shí)，又可把光學(xué)系統(tǒng)成像特性歸結(jié)為對不同空間頻率正弦光柵的成像特性，即光學(xué)系統(tǒng)的空間頻率響應(yīng)。因?yàn)閳D象和他的付里葉變換頻譜有著對應(yīng)的關(guān)系，我們研究一下圖象既可以在像面上進(jìn)行，也可以在它的譜面上進(jìn)行，只要搞清楚其中的一個，就等于搞清楚了另一個。所以處理與分析一個圖象，可以在像面進(jìn)行，也可以在譜面進(jìn)行。,七．課程學(xué)習(xí)要求達(dá)到目的 1. 學(xué)習(xí)要求，掌握物理光學(xué)，應(yīng)用光學(xué)，光學(xué)測量知識，同時(shí)要掌握一定的數(shù)學(xué)知識。 2. 理解透鏡的位相調(diào)制作用和付里葉變換性質(zhì)。 ① 掌握付里葉分析和線性系統(tǒng)的基本理論，常用函數(shù)，δ函數(shù)及其付里葉變換，卷積和相關(guān)的基本概念。 ② 理解透鏡的位相調(diào)制作用和付里葉變換性質(zhì)。 ③ 掌握相干傳遞函數(shù)和光學(xué)傳遞函數(shù)的基本概念，用其對光學(xué)成像系統(tǒng)進(jìn)行頻譜分析。 ④ 掌握光學(xué)信息處理和空間濾波的概念及其基本原理，能對相干光、非相干光及白光的信息處理進(jìn)行分析和應(yīng)用。,采用脈沖響應(yīng)與線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析，主要有以下兩個主要理由： 1.它簡化了分析方法，使得能夠?qū)嶋H計(jì)算問題的解； 2.電氣工程師對脈沖響應(yīng)與線性系統(tǒng)理論較為熟悉。,,,,Phone:13504428642 Email: xcx272479@sina.comxuechangxi@cust.edu.cn,第一章 基本數(shù)學(xué)知識,主要內(nèi)容 1.幾個常用函數(shù) 2. δ函數(shù) 3.傅立葉變換 4.卷積和相關(guān),1.1幾個常用函數(shù) 1.矩形函數(shù)（Rectangle function）光學(xué)上常常用矩形函數(shù)表示狹縫、矩孔的透過率。它與某函數(shù)相乘時(shí)，可限制函數(shù)自變量的范圍，起到截取的作用，故又常稱為“門函數(shù)”。,,函數(shù) 定義 Sinc函數(shù)常用來描述狹縫或矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。,,3.三角函數(shù)（triangle function）三角函數(shù)可用來表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。,,,4.階躍函數(shù) 定義： 常用它表示直邊（或刀口）的透過率。 5.符號函數(shù)（sign function）它與階躍函數(shù)的聯(lián)系則表示間斷點(diǎn)移到的符號函數(shù)。當(dāng)它與某函數(shù)相乘，可使部分函數(shù)的極性（正負(fù)號）改變。例如某孔徑的一半嵌有的位相板，可利用符號函數(shù)來描述它的復(fù)振幅透過率。,,,6.圓柱函數(shù)（circle function） 在直角坐標(biāo)系中圓柱函數(shù)定義為極坐標(biāo)內(nèi)定義為常用來表示圓孔的透過率。,,,7.高斯函數(shù) 定義式： 性質(zhì)：常用作描述激光器發(fā)出的高斯光束。,,,,,8.梳狀函數(shù)通?？傇谥苯亲鴺?biāo)系內(nèi)考察二維梳狀函數(shù)，并記為comb(x,y)定義為,,,1.2 δ函數(shù)在物理學(xué)和工程技術(shù)中，人們常?？疾熨|(zhì)量或能量在空間或時(shí)間上高度集中的各種現(xiàn)象，為此，人們設(shè)想了諸如質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)電荷，點(diǎn)光源，以及瞬時(shí)脈沖等物理模型。δ函數(shù)就是用來描述這類物理模型的數(shù)學(xué)工具。δ函數(shù)不是普通函數(shù)，它不像普通函數(shù)那樣完全由數(shù)值對應(yīng)關(guān)系確定。它是廣義函數(shù)，其屬性完全由它在積分中的作用表現(xiàn)出來。,1.定義光學(xué)成像系統(tǒng)中常把“光點(diǎn)”作為成像的物單元。數(shù)學(xué)上的點(diǎn)是沒有大小的，它僅僅代表一個空間位置，但光學(xué)中往往一個點(diǎn)又包含了一定的物理量。為了表示這種關(guān)系，引入一個δ函數(shù)的概念。δ函數(shù)又稱脈沖函數(shù)。若有一點(diǎn)光源在空間占了某一位置，它發(fā)出一定的光能量，除了這一點(diǎn)的位置以外空間其它位置都不發(fā)光。顯然，這一點(diǎn)的面積趨向于零的，因此這點(diǎn)的面發(fā)光強(qiáng)度成了無窮大。但是這個無窮大又不能是任意的，它對于任意無限小區(qū)間（-ε，ε）的積分值，也就是點(diǎn)光源發(fā)出的總光能量，又必須是一個定值。,（1）脈沖函數(shù)的定義以上是在一維情況下，在光學(xué)中這相當(dāng)于一個線光源，即一個無限長的狹縫。這樣的一個線光源的數(shù)學(xué)模型就是一維δ函數(shù)：,,,,（2）矩形函數(shù)極限因?yàn)樯弦环N方法定義，運(yùn)算時(shí)比較困難，因此常用矩形函數(shù)極限定義：設(shè)有一個矩形函數(shù)，它的底寬為 ，高度為N，面積等于1，假定這個矩形函數(shù)的底寬逐漸變窄，也就是N逐漸變大，那么高度就全隨之增高，但矩形的面積始終等于1，則 ，而面積=1，則函數(shù)旋Nrect（Nx）的極限就是δ函數(shù)的定義,,,,,,也可以這樣,,（3）函數(shù)序列的極限,,,,（4）廣義函數(shù)定義下的δ函數(shù)因此δ函數(shù)可以用不同的矩形函數(shù)的極限來定義，所以δ是一個廣義函數(shù)。為了判別不同的函數(shù)族所定義的是不是，同一個廣義函數(shù)，就需要用一個檢驗(yàn)函數(shù) 檢驗(yàn)函數(shù) 需滿足兩個條件： 1）函數(shù)連續(xù)可微任意次 2）當(dāng) 時(shí)， 及其各階段導(dǎo)數(shù)值都趨于零 3）當(dāng) 時(shí)， 下降很快，比 收斂很快，N為整數(shù) 利用檢驗(yàn)函數(shù) ，可得 得一個定義任意函數(shù)族的極限，只要滿足上式，都可以用來定義δ函數(shù)，上式是 函數(shù)的嚴(yán)格定義。由于 地函數(shù)值不一定有直接的定義，因此在討論δ函數(shù)時(shí)通常是指它的積分值。,,,,,,,,,2.δ函數(shù)的性質(zhì) （1）篩選性光學(xué)δ函數(shù)能 從中取出（2） 偶函數(shù)（3） 卷積（4）,,,,,,（5） 與普通函數(shù)的乘積（6） （7） 的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)a） b）c）,,,,,,,,（8）這個式相當(dāng)于常數(shù)1的付利葉變換。,,1.3 付里葉變換 一．付里葉級數(shù) 1．周期函數(shù)檢驗(yàn)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量用的鑒別率板，當(dāng)只考慮一維情況時(shí)，它的圖形和光強(qiáng)度分布如圖光強(qiáng)度寫成 ，則在 方向伸展的光強(qiáng)度變化（1） （1）式稱為周期，周期為X，周期的倒數(shù)即單位自變量內(nèi)周期函數(shù)重復(fù)的次數(shù)稱為頻率,,,2.付里葉級數(shù)的系數(shù)3 付里葉級數(shù)的收斂定理（狄里赫利條件）,,,,,,4 付里葉級數(shù)的物理變量周期函數(shù)可以展開為付里葉級數(shù)，這為處理某些物理過程提供了一個極為有用的數(shù)學(xué)方法。函數(shù)中以 為周期的函數(shù) 可以展開為付里葉級數(shù)，而級數(shù)的每一項(xiàng)是以 為周期的三角函數(shù)，式中的變量x所表示的是角變量，常取弧度為單位。物理過程中的周期現(xiàn)象常是由一些有物理意義的變量來描述的，周期也不一定是 。所以在用付里葉級數(shù)來討論某一物理問題時(shí)，需要賦予付里葉級數(shù)一些相應(yīng)的物理變量。為了使周期現(xiàn)象能化成以三角函數(shù)式來表示的付里葉級數(shù)，我們用 作為變量。 即： 引入圓頻率 的概念： 意義：單位時(shí)間內(nèi)變化的角度，單位取,,,,,,,,,,,,,,,則積分域由,變?yōu)?,對于光學(xué)成象中的周期現(xiàn)象，我們常用空間周期函數(shù) 來表示。變量x所代表的是以mm為單位的空間位置。不是函數(shù)式中角度變量x。函數(shù) 的空間周期為P，空間頻率為 ，它的物理意義是單位長度內(nèi)光的周期變化次數(shù)，單位為 。把這些關(guān)系式代入以上函數(shù)式，便可得到空間頻率展開的付里葉級數(shù)表達(dá)式積分域?yàn)?f: 基頻 基波 2f……nf 諧波,,,,,,,,,,,上面已經(jīng)提到過，函數(shù)式中的傅里葉級數(shù)的各項(xiàng)是以為周期 的三角函數(shù)。對于頻率為f（周期為P）的空間周期函數(shù)，展開成傅里葉技術(shù)后，它的各項(xiàng)也是各種頻率的三角函數(shù)。這些不同頻率的三角函數(shù)可以理解為各種頻率的波，而第n項(xiàng)波相應(yīng)的頻率是原來函數(shù)f的n倍。如n=1，則第一項(xiàng)頻率f；n=2，頻率為2f；………。我們稱原來周期函數(shù)的頻率f為基頻，具有頻率為f的波為基波，而其它各項(xiàng)的頻率是基頻f的整數(shù)倍。這些倍頻的波統(tǒng)稱為諧波。這樣，一個頻率為f的空間周期函數(shù)，可以用傅里葉級數(shù)的運(yùn)算法則，把它分解為具有基波和各次諧波的三角函數(shù)之和（常數(shù)項(xiàng)可以理解為n=0）。類似的討論同樣適用于其它物理過程的周期現(xiàn)象。在光學(xué)傳遞函數(shù)的討論中，我們所關(guān)心的空間周期函數(shù)，涉及的頻率也是指空間頻率。例：它的光強(qiáng)度空間分布是一個一定空間頻率的矩形波。利用傅里葉級數(shù)的展開法則，可以把它分解為一些列不同空間頻率的正弦（或余弦）波。這個矩形物的象就是各個正弦物的象的總和，而討論各個不同空間頻率的正弦物的成像就可以直接運(yùn)用光學(xué)傳遞函數(shù)的概念。,,5.周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù) 一維鑒別率板的矩形波函數(shù) ，它的周期為P，頻率 ，振幅為例1,,,,,利用前面公式式，解得因?yàn)? 奇函數(shù)，所以則根據(jù)傅立葉級數(shù)收斂定理，在間斷點(diǎn)上下圖表示了這個矩形波的展開以及基波與各次諧波相加的情形?？梢钥闯?，高次諧波的項(xiàng)數(shù)取得越多，則相加后的結(jié)果越接近與原來的波形，為了不使這個矩形波函數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，可把坐標(biāo)做適當(dāng)推移。,,,,,,,,,,,6 付里葉級數(shù)的指數(shù)形式令所以式中,,,,,因?yàn)楫?dāng)n=0時(shí)，,三個式子合并起來寫為：,綜合以上兩式，就得,表示了空間頻率為nf的各次諧波,表示了各次諧波的振幅大小和相位關(guān)系,,代數(shù)式的項(xiàng)數(shù)（n數(shù)）為,指數(shù)式的項(xiàng)數(shù)為,代數(shù)形式：,,指數(shù)形式,6 付里葉級數(shù)的指數(shù)形式 7.頻譜分析與頻譜圖 8.非周期函數(shù)的付里葉展開 9.付里葉展開和付里葉變換的定義和物理意義,四．付里葉變換的性質(zhì),卷積和相關(guān) 一 卷積和相關(guān)的定義符號表示相關(guān)，*符號表示卷積，我們用圖解析卷積和相關(guān)的運(yùn)算過程，并說明相關(guān)不可變換及可變換性。,,,,展寬 平滑化：被積函數(shù)經(jīng)過卷積運(yùn)算，其微細(xì)結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏變得平緩圓滑。,卷積過程的兩個效應(yīng),卷積運(yùn)算定理 1、交換律2、分配律3、結(jié)合律這幾個定律不難證明。,包含δ函數(shù)的卷積----函數(shù)的移位 任意函數(shù)和脈沖函數(shù)的卷積：原點(diǎn)處的篩選性質(zhì)有任意函數(shù)和位于 處的脈沖函數(shù)的卷積得到這個性質(zhì)有助于對于重復(fù)的物理結(jié)構(gòu)的描述，如光柵、雙縫等,,卷積的物理意義----透鏡的非相干成象理想的物象關(guān)系是點(diǎn)點(diǎn)對應(yīng)，物象共軛。實(shí)際成象時(shí)產(chǎn)生一個彌散斑。由物點(diǎn)和附近的無數(shù)個點(diǎn)共同產(chǎn)生如果每個點(diǎn)的貢獻(xiàn)只與該點(diǎn)與物點(diǎn)的距離有關(guān)，與具體象（高斯物點(diǎn)所成的）的位置無關(guān)像點(diǎn)的總光能表示為,,相關(guān)運(yùn)算 兩個函數(shù)的互相關(guān)定義為：與卷積的差別在于相關(guān)運(yùn)算中后一個函數(shù)取復(fù)共軛，且不需要折疊，不滿足交換律?；ハ嚓P(guān)運(yùn)算是兩個函數(shù)間相似性的度量。函數(shù)本身的自相關(guān)定義為自相關(guān)有一個重要性質(zhì)：它的模在原點(diǎn)處最大，即這個性質(zhì)常常用來作為圖象（信號）識別的判據(jù),互相關(guān)在兩函數(shù)有相似性時(shí)出現(xiàn)峰值，自相關(guān)則會在位移到重疊時(shí)出現(xiàn)極大值,互相關(guān)與自相關(guān)比較,二．卷積和相關(guān)的性質(zhì) （一）線性 (二) 付里葉變換性質(zhì) 若1 卷積性質(zhì),,,,,5巴塞伐定理若則有如下性質(zhì)：,,線性系統(tǒng)與線性空不變系統(tǒng),常用函數(shù)及其傅里葉變換（1）常數(shù)c（2） 函數(shù)（3）余弦函數(shù)（4）正弦函數(shù),,,,,,,（5）階躍函數(shù) 用于表示開關(guān)（6）符號函數(shù) 用于改變極性（正負(fù)號）,（7）矩形函數(shù) 表示狹縫（8）三角形函數(shù) 表示矩形光瞳OTF,,,（9）梳狀函數(shù) 用來表示光柵，抽樣（10）高斯函數(shù) 用于表示激光光束光強(qiáng)分布,線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì),一個二維脈沖函數(shù)在輸入平面上位移時(shí)，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式始終與在原點(diǎn)處輸入的二維脈沖函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)形式相同，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即這樣的系統(tǒng)稱為二維不變線性系統(tǒng)。其脈沖響應(yīng)函數(shù)可表示為脈沖響應(yīng)函數(shù)僅僅依賴于觀察點(diǎn)與脈沖輸入點(diǎn)坐標(biāo)的相對間距二維線性不變系統(tǒng)還常常叫做空間不變（線性）系統(tǒng),,,,,二維不變線性系統(tǒng)的定義,空間不變線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系示意圖,,不變線性系統(tǒng)的“卷積積分”,物理的空間不變線性系統(tǒng)，輸入平面和輸出平面常常是不同的兩個平面，需要建立兩個坐標(biāo) 從研究輸入和輸出之間關(guān)系的角度來看，輸入和輸出兩種信號放在同一坐標(biāo)系中是方便的，因此對輸入平面和輸出平面的坐標(biāo)做歸一化（不管兩者是否表示同一種物理量），使得從數(shù)值上有 和 脈沖響應(yīng)函數(shù)變?yōu)?疊加積分變?yōu)椤熬矸e積分” 光學(xué)成象系統(tǒng)可以把物平面劃分為若干個等暈區(qū)，把每個等暈區(qū)當(dāng)作空間不變線性系統(tǒng)處理,,,,,,,,,二維不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),如果不變線性系統(tǒng)的輸入是空域函數(shù)，其傅里葉變換為同時(shí)輸出函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換分別為根據(jù)卷積定理有 即稱做不變線性系統(tǒng)的的傳遞函數(shù),,,,,,,,,,,,,傳遞函數(shù)的意義,空間頻譜是基元函數(shù)的線性組合中對應(yīng)的權(quán)重因子輸入和輸出空間頻譜之比表達(dá)了系統(tǒng)對于輸入函數(shù)中不同頻率的基元函數(shù)的作用，也就是系統(tǒng)在把輸入“傳遞”為輸出過程中的作用，因而稱為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)，其模的作用是改變輸入函數(shù)各種頻率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改變這些基元成分的初位相傳遞函數(shù)的模稱作振幅傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)的幅角稱作位相傳遞函數(shù),,,,,,,,空間頻率的兩種意義,空間頻率類似于時(shí)域函數(shù)的時(shí)間頻率，時(shí)間倒數(shù)稱作頻率，長度倒數(shù)稱作空間頻率，即在單位長度內(nèi)周期函數(shù)變化的周數(shù)（單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等 ）信息光學(xué)中有兩種空間頻率，一種是對二維圖象進(jìn)行頻譜分析得到的圖象頻譜對應(yīng)的空間頻率，這是一種空間強(qiáng)度分布，單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等，其大小是沒有限制的，可以是無窮大另一種是對電磁波場進(jìn)行頻譜分析得到的平面波對應(yīng)的空間頻率，因?yàn)殡姶挪ㄔ诰鶆蚪橘|(zhì)中波長是常數(shù)，在其傳播方向上空間頻率是不變的。因而其對應(yīng)在三維空間坐標(biāo)上的每個方向的空間頻率（單位為：光波數(shù)/mm ）表示出的意義實(shí)際上是電磁波的傳播方向，或其傳播方向與坐標(biāo)軸的夾角，而且大小受到光波長的限制，最大是波長的倒數(shù)。下章再詳細(xì)講這兩者區(qū)別,,,,,,,,,不變線性系統(tǒng)的本征函數(shù),如果函數(shù) 滿足以下條件（式中 為一復(fù)常數(shù)）則稱為算符所表征的系統(tǒng)的本征函數(shù)。這就是說，系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個特定的輸入函數(shù)，它相應(yīng)的輸出函數(shù)與它之間的差別僅僅是一個復(fù)常系數(shù)。 前面講的基元函數(shù)——復(fù)指數(shù)函數(shù)就是不變線性系統(tǒng)的本征函數(shù) 即 《工程光學(xué)》中已經(jīng)說明光波可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示，光學(xué)系統(tǒng)傳播光波的數(shù)學(xué)模型，就是這樣一個用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸入變?yōu)閺?fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸出的不變線性系統(tǒng),,,,,,,,,,,非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)（1）,下面再討論其脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)的一類特殊的空間不變線性系統(tǒng)， 它把一個實(shí)值輸入變換為一個實(shí)值輸出。 這種系統(tǒng)也是一種常見的線性系統(tǒng)，如一般的非相干成像系統(tǒng)。 實(shí)函數(shù)的傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即其傳遞函數(shù)有由于 因而 由此可見，這種系統(tǒng)振幅傳遞函數(shù)是偶函數(shù)，位相傳遞函數(shù)是奇函數(shù),,,,,,,,,,,,,,非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)（2）,余弦函數(shù)或正弦函數(shù)是這類系統(tǒng)的本征函數(shù) ，輸入函數(shù)為余弦函數(shù) 對應(yīng)的頻譜為該不變線性系統(tǒng)輸出函數(shù)頻譜則為 系統(tǒng)輸出函數(shù)相應(yīng)為,,,,,,,,,,,,,非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)（3）,因而有： 這表明，對于脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)的空間不變線性系統(tǒng)，余弦輸入將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出。同時(shí)產(chǎn)生與頻率有關(guān)的振幅衰減和相位移動，其大小決定于傳遞函數(shù)的模和幅角。非相干光學(xué)成象系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，對這一類空間不變線性系統(tǒng)的分析是建立光學(xué)傳遞函數(shù)理論的基礎(chǔ)。,,,,,,,,,不變線性系統(tǒng)圖解法（1）,給定一個不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)是有限延伸的三角波對下列傳遞函數(shù)用圖解法確定系統(tǒng)的輸出。 （1）（2）計(jì)算計(jì)算方法，首先求出輸入函數(shù)的頻譜，再用圖解找出輸出函數(shù)的頻譜，最后用反變換計(jì)算出系統(tǒng)的輸出。,,,,,,,,不變線性系統(tǒng)圖解法（2）,輸入函數(shù)的頻譜為,,,,,,,,不變線性系統(tǒng)圖解法（3）,輸入函數(shù) 的頻譜分以下幾個步驟來完成： 1、畫出 、 和2、畫出卷積3、得到乘積 畫出傳遞函數(shù) 畫出輸出函數(shù)版的頻譜（近似）通過簡單計(jì)算把剩下來的幾個SINC函數(shù)的反變換化簡，最后畫出輸出函數(shù)圖象,,,,,,,,級聯(lián)系統(tǒng),下圖表示的是兩個級聯(lián)在一起的空間不變線性系統(tǒng)，前一系統(tǒng)的輸出恰是后一系統(tǒng)的輸入,,,,,,,,兩個系統(tǒng)級聯(lián)的傳遞函數(shù),對于總的系統(tǒng) 和 分別是其輸入和輸出，因?yàn)?前式代入后式，并利用卷積的結(jié)合律，有總的脈沖響應(yīng)為總的傳遞函數(shù)為,,,,,,,,,,,,,n個空間不變線性系統(tǒng)的級聯(lián),n個空間不變線性系統(tǒng)級聯(lián)的情況，總的等效系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和傳遞函數(shù)分別為 用模和幅角表示傳遞函數(shù)時(shí)還可以進(jìn)一步得到振幅傳遞函數(shù)和位相傳遞函數(shù)的如下關(guān)系級聯(lián)系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)滿足相乘律，簡單地是各子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的乘積，這為我們分析復(fù)雜系統(tǒng)提供了很大的方便。復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)或者說光學(xué)鏈就是這種情況。,,,,,,,,,,,,抽樣定理,抽樣定理的由來和意義,實(shí)際的宏觀物理過程都是連續(xù)變化的，物理量的空間分布也是連續(xù)變化的。 在今天的數(shù)字時(shí)代，連續(xù)變化的物理量要用它的一些離散分布的采樣值來表示，而且這些采樣值的表達(dá)方式也是離散的 這些離散的數(shù)字表示的物理量的含義或者說包含的信息量與原先的連續(xù)變化的物理量是否相同？ 是否可以由這些抽樣值準(zhǔn)確恢復(fù)一個連續(xù)的原函數(shù)？ 本書用的是惠特克—香農(nóng)（Whittaker-Shannon）抽樣定理的二維形式,,,,,,函數(shù)的抽樣,最簡單的抽樣方法是用二維梳狀函數(shù)與被抽樣的函數(shù)相乘 如果被抽樣的函數(shù)為 ，抽樣函數(shù)可表示為梳狀函數(shù)是 函數(shù)的集合，它與任何函數(shù)的乘積就是無數(shù)分布在平面 上在 ， 兩方向上間距為 和 的 函數(shù) 與該函數(shù)的乘積任何函數(shù)與 函數(shù)相乘的結(jié)果仍然是 函數(shù)，只是 函數(shù)的“大小”要被該函數(shù)在 函數(shù)位置上的函數(shù)值所調(diào)制。換句話說，每個 函數(shù)下的體積正比于該點(diǎn)函數(shù)的數(shù)值,,,,,,,,,,,,抽樣函數(shù),抽樣函數(shù)的頻譜,利用卷積定理和梳狀函數(shù)的傅里葉變換，可計(jì)算抽樣函數(shù)的頻譜,,抽樣函數(shù)的原函數(shù)的復(fù)原圖,,,奈奎斯特（Nyquist）抽樣間隔,假如函數(shù) 是限帶函數(shù)，即它的頻譜僅在頻率平面上一個有限區(qū)域內(nèi)不為零 若包圍該區(qū)域的最小矩形在 和 方向上的寬度分別為 和 欲使圖中周期性復(fù)現(xiàn)的函數(shù)頻譜不會相互混疊，必須使 或者說抽樣間隔必須滿足 式中表示的兩方向上的最大抽樣間距和通常稱作奈奎斯特（Nyquist）抽樣間隔,,,,,,,,,,,,,,,,原函數(shù)頻譜的復(fù)原,要原函數(shù)的復(fù)原首先要恢復(fù)其頻譜 在滿足奈奎斯特抽樣間隔的情況下，只要用寬度 和 ,位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)去乘抽樣函數(shù)的頻譜就可得到原來函數(shù)的頻譜。在頻率域進(jìn)行的這種操作去掉了部分頻譜成份，常常稱作“濾波” 用頻域中寬度 和 的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)為 濾波過程可寫作,,,,,,,,,,原函數(shù)的復(fù)原(1),做反變換就可直接得到原函數(shù) 根據(jù)卷積定理，在空間域得到對上式左邊兩個因子分別進(jìn)行化簡有結(jié)果得到無數(shù) 函數(shù)與SINC函數(shù)的卷積和,,,,,,,最后卷積的結(jié)果,愿函數(shù)為若取最大允許的抽樣間隔，即 ，并且 ，則可見用SINC函數(shù)做為插值函數(shù)可以準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)(當(dāng)然要滿足必要的條件),,,,,,,,,抽樣定理的意義,抽樣定理公式就是由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算在抽樣點(diǎn)之間所不知道的非抽樣點(diǎn)函數(shù)值，在數(shù)學(xué)上就是插值公式抽樣定理的重要意義在于它表明，準(zhǔn)確的插值是存在的。也就是說，由插值準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)可以在一定條件下實(shí)現(xiàn)一個連續(xù)的限帶函數(shù)可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟失任何信息——因此抽樣定理是數(shù)字化社會的基礎(chǔ)，其重要意義怎么講也不過分,抽樣定理證明圖解（1）,,,,,,,抽樣定理證明圖解（2）,,,,,,,,,,空間帶寬積,若限帶函數(shù) 在頻域中 , 以外恒為零，根據(jù)抽樣定理，函數(shù)在空域中的范圍內(nèi)抽樣數(shù)至少為式中 表示函數(shù)在空域覆蓋的面積, 表示函數(shù)在頻域中覆蓋的面積。在該區(qū)域的函數(shù)可由數(shù)目為 的抽樣值來近似表示。問題：為什么是近似？抽樣定理不是準(zhǔn)確的嗎？空間帶寬積 就定義為函數(shù)在空域和頻域中所占有的面積之積：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,空間帶寬積的意義,空間帶寬積描述空間信號（如圖象，場分布）的信息量，也可用來描述成象系統(tǒng)、光信息處理系統(tǒng)的信息容量，即傳遞與處理信息的能力。 空間帶寬積決定了圖象最低必須分辨的象素?cái)?shù)，如數(shù)碼相機(jī)的技術(shù)指標(biāo) 空間帶寬積表達(dá)圖象的自由度或自由參數(shù)數(shù) 圖象是實(shí)函數(shù)，每一個抽樣值為一個實(shí)數(shù)，自由度為當(dāng)圖象是復(fù)函數(shù)，每一個抽樣值為一個復(fù)數(shù)，要由兩個實(shí)數(shù)表示。自由度增大一倍，,,,,,,,,,,抽樣定理例題（1）,若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是“線脈沖” ，系統(tǒng)對線脈沖的輸出響應(yīng)稱為線響應(yīng) 。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ，求證：線響應(yīng)的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿 軸的截面分布 。,,,,,,,,,抽樣定理例題（1）解,證明： 線脈沖實(shí)質(zhì)上也是二維的函數(shù)，只是沿 方向函數(shù)值不變，是常數(shù)1。系統(tǒng)對線脈沖的輸出響應(yīng)，即線響應(yīng)也是二維的函數(shù)，可表示為線響應(yīng)的一維傅里葉變換則為這就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿 軸的截面分布 證畢。,,,,,抽樣定理例題（1）解續(xù),這里要注意的一點(diǎn)是這是二維傅里葉變換的特點(diǎn)，另一個變量是隱含著的。從這一題中我們還要引伸出一個重要的概念，即二維傳遞函數(shù)測量可以通過一維線響應(yīng)，即線擴(kuò)散函數(shù)來測量和計(jì)算。因?yàn)閮删S的測量在過去沒有圖像傳感器時(shí)是相當(dāng)困難的，而轉(zhuǎn)換成一維信號就可以用全部光能積分隨時(shí)間變化的線響應(yīng)來實(shí)現(xiàn)了。,,,,,線響應(yīng)函數(shù)和傳遞函數(shù)的關(guān)系,,習(xí)題11. 已知線性不變系統(tǒng)的輸入為 ,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ,若b取下列數(shù)值，求系統(tǒng)的輸出。并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。(1)b=1 (2)b=3,,,解：當(dāng)b=1時(shí)，當(dāng)b=3時(shí),,,2.一個二維的物函數(shù)f(x,y)，在空域中尺寸為10*10mm2，最高空間頻率為5線/mm，若要制作一張傅里葉變換計(jì)算全息圖，物面上最少的抽樣點(diǎn)數(shù)為多少？,,解：由于物函數(shù)的最高空間頻率為5線/mm，即其最大帶寬。根據(jù)抽樣定理，若限帶函數(shù)在頻域中 以外恒為0，函數(shù)在空域中 范圍內(nèi)抽樣數(shù)至少為由題意可知，X＝Y(jié)＝5mm， 線/mm,