《高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 3.2 導數(shù)的應用 課時3 導數(shù)與函數(shù)的綜合問題課件 文.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 3.2 導數(shù)的應用 課時3 導數(shù)與函數(shù)的綜合問題課件 文.ppt（71頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

3 2導數(shù)的應用 課時3導數(shù)與函數(shù)的綜合問題 內(nèi)容索引 題型一用導數(shù)解決與不等式有關的問題 題型二利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題 題型三利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 審題路線圖系列 練出高分 思想方法感悟提高 題型一用導數(shù)解決與不等式有關的問題 題型一用導數(shù)解決與不等式有關的問題 命題點1解不等式 又 2 0 當且僅當00 此時x2f x 0 又f x 為奇函數(shù) h x x2f x 也為奇函數(shù) 故x2f x 0的解集為 2 0 2 2 0 2 解析答案 命題點2證明不等式 解析答案 又F 0 0 F 1 0 所以當x 0 1 時 F x 0 解析答案 記H x sinx x 則當x 0 1 時 H x cosx 1 0 所以H x 在 0 1 上是減函數(shù) 則H x H 0 0 即sinx x 命題點3不等式恒成立問題 解析答案 思維升華 又x 0 a xlnx x3 令g x xlnx x3 則h x g x 1 lnx 3x2 當x 1 時 h x 0 h x 在 1 上是減函數(shù) h x h 1 2 0 即g x 0 g x 在 1 上也是減函數(shù) g x g 1 1 當a 1時 f x x2在 1 上恒成立 思維升華 思維升華 1 利用導數(shù)解不等式 一般可構造函數(shù) 利用已知條件確定函數(shù)單調(diào)性解不等式 2 證明不等式f x g x 可構造函數(shù)F x f x g x 利用導數(shù)求F x 的值域 得到F x 0即可 3 利用導數(shù)研究不等式恒成立問題 首先要構造函數(shù) 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 求出最值 進而得出相應的含參不等式 從而求出參數(shù)的取值范圍 也可分離變量 構造函數(shù) 直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題 設a R 已知函數(shù)f x ax3 3x2 1 當a 1時 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 跟蹤訓練1 解析答案 解當a 1時 f x x3 3x2 則f x 3x2 6x 由f x 0 得x2 由f x 0 得0 x 2 所以f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 2 單調(diào)遞減區(qū)間為 0 2 2 若對任意的x 1 3 有f x f x 0恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 解析答案 返回 返回 解依題意 對 x 1 3 ax3 3x2 3ax2 6x 0恒成立 所以h x 在區(qū)間 1 3 上是減函數(shù) 題型二利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題 題型二利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題 例4 2014 課標全國 已知函數(shù)f x x3 3x2 ax 2 曲線y f x 在點 0 2 處的切線與x軸交點的橫坐標為 2 1 求a 解f x 3x2 6x a f 0 a 曲線y f x 在點 0 2 處的切線方程為y ax 2 解析答案 2 證明 當k 1時 曲線y f x 與直線y kx 2只有一個交點 解析答案 思維升華 證明由 1 知 f x x3 3x2 x 2 設g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由題設知1 k 0 當x 0時 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 單調(diào)遞增 g 1 k 10時 令h x x3 3x2 4 則g x h x 1 k x h x 解析答案 思維升華 h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 單調(diào)遞減 在 2 單調(diào)遞增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 沒有實根 綜上 g x 0在R有唯一實根 即曲線y f x 與直線y kx 2只有一個交點 思維升華 思維升華 研究方程根的情況 可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 最大值 最小值 變化趨勢等 根據(jù)題目要求 畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律 標明函數(shù)極 最 值的位置 通過數(shù)形結合的思想去分析問題 可以使問題的求解有一個清晰 直觀的整體展現(xiàn) 已知函數(shù)f x x2 xsinx cosx的圖象與直線y b有兩個不同交點 求b的取值范圍 解f x x 2 cosx 令f x 0 得x 0 當x 0時 f x 0 f x 在 0 上遞增 當x1時 曲線y f x 與直線y b有且僅有兩個不同交點 綜上可知 b的取值范圍是 1 跟蹤訓練2 解析答案 返回 題型三利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 題型三利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 1 求a的值 解因為x 5時 y 11 解析答案 2 若該商品的成本為3元 千克 試確定銷售價格x的值 使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 解析答案 思維升華 解由 1 可知 該商品每日的銷售量為 從而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 解析答案 思維升華 由上表可得 x 4時 函數(shù)f x 取得極大值 也是最大值 所以 當x 4時 函數(shù)f x 取得最大值 且最大值等于42 答當銷售價格為4元 千克時 商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 思維升華 思維升華 在求實際問題中的最大值或最小值時 一般先設自變量 因變量 建立函數(shù)關系式 并確定其定義域 利用求函數(shù)最值的方法求解 注意結果應與實際情況相符合 用導數(shù)求實際問題中的最大 小 值 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點 那么根據(jù)實際意義可知該極值點就是最值點 解析由y x2 39x 40 0 得x 1或x 40 由于040時 y 0 所以當x 40時 y有最小值 40 跟蹤訓練3 解析答案 返回 審題路線圖系列 1 如果存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 M成立 求滿足上述條件的最大整數(shù)M 審題路線圖系列 一審條件挖隱含 審題路線圖 解析答案 返回 溫馨提醒 審題路線圖 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 M 正確理解 存在 的含義 g x1 g x2 max M 挖掘 g x1 g x2 max的隱含實質(zhì)g x max g x min M 求得M的最大整數(shù)值 審題路線圖 解析答案 溫馨提醒 2 對任意s t 2 都有f s g t 理解 任意 的含義 f x min g x max 求得g x max 1 xlnx 1恒成立 分離參數(shù)aa x x2lnx恒成立 求h x x x2lnx的最大值a h x max h 1 1 a 1 解析答案 溫馨提醒 規(guī)范解答解 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 M成立 等價于 g x1 g x2 max M 2分 g x max g 2 1 又x 0 2 解析答案 溫馨提醒 則滿足條件的最大整數(shù)M 4 6分 解析答案 溫馨提醒 所以h x max h 1 1 13分 所以a 1 即實數(shù)a的取值范圍是 1 14分 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 1 恒成立 存在性 問題一定要正確理解問題實質(zhì) 深刻挖掘條件內(nèi)含 進行等價轉(zhuǎn)化 2 構造函數(shù)是求范圍問題中的一種常用方法 解題過程中盡量采用分離參數(shù)的方法 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題 思想方法感悟提高 1 用導數(shù)方法證明不等式f x g x 時 找到函數(shù)h x f x g x 的零點是解題的突破口 2 在討論方程的根的個數(shù) 研究函數(shù)圖象與x軸 或某直線 的交點個數(shù) 不等式恒成立等問題時 常常需要求出其中參數(shù)的取值范圍 這類問題的實質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極 最 值的應用 3 在實際問題中 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點 那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可 不必再與端點的函數(shù)值比較 方法與技巧 1 利用導數(shù)解決恒成立問題時 若分離參數(shù)后得到 a f x 恒成立 要根據(jù)f x 的值確定a的范圍中端點能否取到 2 利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題 要注意問題的實際意義 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 1 得x x 2 ax在區(qū)間 0 上恒成立 當x 0時 a R 當x 0時 有x 2 a恒成立 所以a 2 故a 2 由 2 得ln x 1 ax 0在區(qū)間 0 上恒成立 設h x ln x 1 ax x 0 解析答案 當a 0時 h x 0 故h x 為增函數(shù) 所以h x h 0 0恒成立 故h x 為減函數(shù) 所以h x h 0 0恒成立 顯然不符合題意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 當00 滿足h x0 ln x0 1 ax0 0成立 則h x0 ln5 2 0成立 可知0 a 1時 不符合題意 故a 0 由 可知a的取值范圍是 2 0 答案 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析構造函數(shù)h x xf x 則h x f x x f x y f x 是定義在R上的奇函數(shù) h x 是定義在R上的偶函數(shù) 當x 0時 h x f x x f x 0 此時函數(shù)h x 單調(diào)遞增 3 若商品的年利潤y 萬元 與年產(chǎn)量x 百萬件 的函數(shù)關系式 y x3 27x 123 x 0 則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為 百萬件 解析y 3x2 27 3 x 3 x 3 當00 當x 3時 y 0 故當x 3時 該商品的年利潤最大 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若a 0 b 0 且函數(shù)f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1處有極值 則ab的最大值為 解析由題意得f x 12x2 2ax 2b f x 在x 1處有極值 f 1 12 2a 2b 0 a b 6 a 0 b 0 9 當且僅當a b 3時取等號 易知此時f x 在x 1處有極小值 滿足題意 ab的最大值為9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以2x 2b 0 于x2 2a 0在x a b 上恒成立 x2 2a 0的解集為 解析由題意知f x x2 2a g x 2x 2b 函數(shù)f x 與g x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)性相反 則有 x2 2a 2x 2b 0在x a b 上恒成立 又0 a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 f x 2ax b f 0 b 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 設函數(shù)f x 是定義在 0 上的可導函數(shù) 其導函數(shù)為f x 且有2f x xf x x2 則不等式 x 2014 2f x 2014 4f 2 0的解集為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由2f x xf x x2 x0 即為F x 2014 F 2 0 即F x 2014 F 2 又因為F x 在 0 上是減函數(shù) 所以x 2014 2 所以x 2016 答案 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 若對于任意實數(shù)x 0 函數(shù)f x ex ax恒大于零 則實數(shù)a的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 當x 0時 f x ex ax 0恒成立 若x 0 a為任意實數(shù) f x ex ax 0恒成立 若x 0 f x ex ax 0恒成立 當x 0 1 時 Q x 0 則Q x 在 0 1 上單調(diào)遞增 當x 1 時 Q x 0恒成立 a的取值范圍為 e 答案 e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 設a為實數(shù) 函數(shù)f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解由f x ex 2x 2a x R 知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 故f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ln2 單調(diào)遞增區(qū)間是 ln2 f x 在x ln2處取得極小值 極小值為f ln2 eln2 2ln2 2a 2 2ln2 2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求證 當a ln2 1且x 0時 ex x2 2ax 1 證明設g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知當a ln2 1時 g x 取最小值為g ln2 2 1 ln2 a 0 于是對任意x R 都有g x 0 所以g x 在R內(nèi)單調(diào)遞增 于是當a ln2 1時 對任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 從而對任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故當a ln2 1且x 0時 ex x2 2ax 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池 不計厚度 設該蓄水池的底面半徑為r米 高為h米 體積為V立方米 假設建造成本僅與表面積有關 側(cè)面的建造成本為100元 平方米 底面的建造成本為160元 平方米 該蓄水池的總建造成本為12000 元 為圓周率 1 將V表示成r的函數(shù)V r 并求該函數(shù)的定義域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解因為蓄水池側(cè)面的總成本為100 2 rh 200 rh元 底面的總成本為160 r2元 所以蓄水池的總成本為 200 rh 160 r2 元 又根據(jù)題意200 rh 160 r2 12000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 討論函數(shù)V r 的單調(diào)性 并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大 令V r 0 解得r 5或 5 因為r 5不在定義域內(nèi) 舍去 當r 0 5 時 V r 0 故V r 在 0 5 上為增函數(shù) 由此可知 V r 在r 5處取得最大值 此時h 8 即當r 5 h 8時 該蓄水池的體積最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 設函數(shù)f x ax2 bx c a b c R 若x 1為函數(shù)g x f x ex的一個極值點 則下列圖象不可能為y f x 的圖象的是 填序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 c a 0 c a f x ax2 bx a 若方程ax2 bx a 0有兩根x1 x2 答案 解析設h x f x ex 則h x 2ax b ex ax2 bx c ex ax2 2ax bx b c ex 由x 1為函數(shù)f x ex的一個極值點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 已知函數(shù)f x ax3 3x 1對x 0 1 總有f x 0成立 則實數(shù)a的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 g x 與g x 隨x的變化情況如下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 因此g x 的最大值為4 則實數(shù)a的取值范圍是 4 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 已知函數(shù)f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零點x0 且x0 0 則a的取值范圍是 解析a 0時 不符合題意 a 0時 f x 3ax2 6x 若a 0 則由圖象知f x 有負數(shù)零點 不符合題意 則a0知 化簡得a2 4 又a 0 所以a 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 設函數(shù)f x a2lnx x2 ax a 0 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 解因為f x a2lnx x2 ax 其中x 0 由于a 0 所以f x 的增區(qū)間為 0 a 減區(qū)間為 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 求所有的實數(shù)a 使e 1 f x e2對x 1 e 恒成立 解由題意得f 1 a 1 e 1 即a e 由 1 知f x 在 1 e 內(nèi)單調(diào)遞增 要使e 1 f x e2對x 1 e 恒成立 解得a e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 令f x 0 得x 1 因此函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 令f x 0 得0 x 1 因此函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 0 1 綜上 f x 的單調(diào)增區(qū)間為 1 單調(diào)減區(qū)間為 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 2 設m R 對任意的a 1 1 總存在x0 1 e 使得不等式ma f x0 0成立 求實數(shù)m的取值范圍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解依題意 ma f x max 由 1 知 f x 在x 1 e 上是增函數(shù) 返回