《高考數(shù)學一輪復習 第六章 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前n項和課件 理.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學一輪復習 第六章 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前n項和課件 理.ppt（76頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第六章數(shù)列 6 2等差數(shù)列及其前n項和 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 高頻小考點 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 等差數(shù)列的定義一般地 如果一個數(shù)列 那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 通常用字母表示 2 等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列 an 的首項為a1 公差為d 那么它的通項公式是 從第二項起 每一項減去它的前一項所得的差 an a1 都等于同一個常數(shù) 公差 d n 1 d 知識梳理 1 答案 3 等差中項 4 等差數(shù)列的常用性質 1 通項公式的推廣 an am n m N 2 若 an 為等差數(shù)列 且k l m n k l m n N 則 3 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則 a2n 也是等差數(shù)列 公差為 4 若 an bn 是等差數(shù)列 則 pan qbn 也是等差數(shù)列 5 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則ak ak m ak 2m k m N 是公差為的等差數(shù)列 n m d ak al am an 2d md 答案 5 等差數(shù)列的前n項和公式 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 Sn An2 Bn A B為常數(shù) 答案 7 等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列 an 中 a1 0 d0 則Sn存在最 值 大 小 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù) 則這個數(shù)列是等差數(shù)列 2 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是對任意n N 都有2an 1 an an 2 3 等差數(shù)列 an 的單調性是由公差d決定的 4 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù) 5 數(shù)列 an 滿足an 1 an n 則數(shù)列 an 是等差數(shù)列 6 已知數(shù)列 an 的通項公式是an pn q 其中p q為常數(shù) 則數(shù)列 an 一定是等差數(shù)列 思考辨析 答案 1 設等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若a1 11 a4 a6 6 則當Sn取最小值時 n 解析設等差數(shù)列 an 的公差為d a1 a9 a4 a6 6 且a1 11 a9 5 從而d 2 Sn 11n n n 1 n2 12n 當n 6時 Sn取最小值 6 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析由已知得a1 2a1 14d 3a1 9d 解析答案 1 2 3 4 5 3 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 a8 16 則該數(shù)列前11項和S11 88 解析答案 1 2 3 4 5 4 設數(shù)列 an 是等差數(shù)列 若a3 a4 a5 12 則a1 a2 a7 解析 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 7a4 28 28 解析答案 1 2 3 4 5 5 2014 北京 若等差數(shù)列 an 滿足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 則當n 時 an 的前n項和最大 解析因為數(shù)列 an 是等差數(shù)列 且a7 a8 a9 3a8 0 所以a8 0 又a7 a10 a8 a9 0 所以a9 0 故當n 8時 其前n項和最大 8 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1 1 在數(shù)列 an 中 若a1 2 且對任意的n N 有2an 1 1 2an 則數(shù)列 an 前10項的和為 題型一等差數(shù)列基本量的運算 解析答案 2 已知在等差數(shù)列 an 中 a2 7 a4 15 則前10項和S10 解析因為a2 7 a4 15 所以d 4 a1 3 210 解析答案 思維升華 思維升華 1 等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d 然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程 組 求解 2 等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式 共涉及五個量a1 an d n Sn 知其中三個就能求另外兩個 體現(xiàn)了方程的思想 1 2015 課標全國 改編 設Sn是等差數(shù)列 an 的前n項和 若a1 a3 a5 3 則S5 解析 an 為等差數(shù)列 a1 a5 2a3 a1 a3 a5 3a3 3 得a3 1 5 跟蹤訓練1 解析答案 數(shù)列 an 的公差為2 2 解析答案 題型二等差數(shù)列的判定與證明 1 求證 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 解析答案 2 求數(shù)列 an 中的最大項和最小項 并說明理由 所以當n 3時 an取得最小值 1 當n 4時 an取得最大值3 解析答案 解析答案 思維升華 引申探究 思維升華 等差數(shù)列的四個判定方法 1 定義法 證明對任意正整數(shù)n都有an 1 an等于同一個常數(shù) 2 等差中項法 證明對任意正整數(shù)n都有2an 1 an an 2后 可遞推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根據(jù)定義得出數(shù)列 an 為等差數(shù)列 3 通項公式法 得出an pn q后 得an 1 an p對任意正整數(shù)n恒成立 根據(jù)定義判定數(shù)列 an 為等差數(shù)列 4 前n項和公式法 得出Sn An2 Bn后 根據(jù)Sn an的關系 得出an 再使用定義法證明數(shù)列 an 為等差數(shù)列 1 若 an 是公差為1的等差數(shù)列 則 a2n 1 2a2n 是 公差為3的等差數(shù)列 公差為4的等差數(shù)列 公差為6的等差數(shù)列 公差為9的等差數(shù)列 解析 a2n 1 2a2n a2n 3 2a2n 2 a2n 1 a2n 3 2 a2n a2n 2 2 2 2 6 a2n 1 2a2n 是公差為6的等差數(shù)列 跟蹤訓練2 解析答案 解析答案 命題點1等差數(shù)列的性質 例3 1 2015 廣東 在等差數(shù)列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 則a2 a8 解析因為 an 是等差數(shù)列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即a5 5 a2 a8 2a5 10 10 題型三等差數(shù)列的性質及應用 解析答案 2 已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且S10 10 S20 30 則S30 解析 S10 S20 S10 S30 S20成等差數(shù)列 且S10 10 S20 30 S20 S10 20 S30 30 10 2 10 30 S30 60 60 解析答案 命題點2等差數(shù)列前n項和的最值 例4在等差數(shù)列 an 中 已知a1 20 前n項和為Sn 且S10 S15 求當n取何值時 Sn取得最大值 并求出它的最大值 解析答案 解 a1 20 S10 S15 解析答案 得a13 0 即當n 12時 an 0 當n 14時 an 0 當n 12或13時 Sn取得最大值 解析答案 n N 當n 12或13時 Sn有最大值 且最大值為S12 S13 130 方法三由S10 S15得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 當n 12或13時 Sn有最大值 且最大值為S12 S13 130 例4中 若條件 a1 20 改為a1 20 其他條件不變 求當n取何值時 Sn取得最小值 并求出最小值 解由S10 S15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 a13 0 又a1 20 a120 當n 12或13時 Sn取得最小值 解析答案 思維升華 引申探究 思維升華 1 等差數(shù)列的性質 項的性質 在等差數(shù)列 an 中 am an m n d d m n 其幾何意義是點 n an m am 所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差 和的性質 在等差數(shù)列 an 中 Sn為其前n項和 則a S2n n a1 a2n n an an 1 b S2n 1 2n 1 an 2 求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 函數(shù)法 利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn an2 bn 通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解 1 等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 則當Sn取最大值時 n的值是 解析依題意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又數(shù)列 an 是等差數(shù)列 因此在該數(shù)列中 前6項均為正數(shù) 自第7項起以后各項均為負數(shù) 于是當Sn取最大值時 n 6 6 跟蹤訓練3 解析答案 2 設數(shù)列 an 是公差d 0的等差數(shù)列 Sn為前n項和 若S6 5a1 10d 則Sn取最大值時 n的值為 解析由題意得S6 6a1 15d 5a1 10d 所以a6 0 故當n 5或6時 Sn最大 5或6 解析答案 3 已知等差數(shù)列 an 的首項a1 20 公差d 2 則前n項和Sn的最大值為 解析因為等差數(shù)列 an 的首項a1 20 公差d 2 代入求和公式得 又因為n N 所以n 10或n 11時 Sn取得最大值 最大值為110 110 解析答案 返回 高頻小考點 典例 1 在等差數(shù)列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 則此數(shù)列前10項的和S10 2 在等差數(shù)列 an 中 S10 100 S100 10 則S110 3 等差數(shù)列 an 中 已知a5 0 a4 a7 0 則 an 的前n項和Sn的最大值為 高頻小考點 6 等差數(shù)列的前n項和及其最值 溫馨提醒 解析答案 返回 思維點撥 思維點撥 1 求等差數(shù)列前n項和 可以通過求解基本量a1 d 代入前n項和公式計算 也可以利用等差數(shù)列的性質 a1 an a2 an 1 2 求等差數(shù)列前n項和的最值 可以將Sn化為關于n的二次函數(shù) 求二次函數(shù)的最值 也可以觀察等差數(shù)列的符號變化趨勢 找最后的非負項或非正項 溫馨提醒 解析答案 解析 1 由題意得a3 a8 9 2 方法一設數(shù)列 an 的公差為d 首項為a1 溫馨提醒 解析答案 所以a11 a100 2 所以Sn的最大值為S5 答案 1 45 2 110 3 S5 溫馨提醒 溫馨提醒 1 利用函數(shù)思想求等差數(shù)列前n項和Sn的最值時 要注意到n N 2 利用等差數(shù)列的性質求Sn 突出了整體思想 減少了運算量 返回 思想方法感悟提高 1 在解有關等差數(shù)列的基本量問題時 可通過列關于a1 d的方程組進行求解 2 證明等差數(shù)列要用定義 另外還可以用等差中項法 通項公式法 前n項和公式法判定一個數(shù)列是否為等差數(shù)列 3 等差數(shù)列性質靈活使用 可以大大減少運算量 4 在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時 可設三個數(shù)為 1 a a d a 2d 2 a d a a d 3 a d a d a 3d等 可視具體情況而定 方法與技巧 1 當公差d 0時 等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù) 當公差d 0時 an為常數(shù) 2 公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù) 且常數(shù)項為0 若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù) 則該數(shù)列不是等差數(shù)列 它從第二項起成等差數(shù)列 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 設等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若2a8 6 a11 則S9的值等于 解析根據(jù)題意及等差數(shù)列的性質 知2a8 a11 a5 6 根據(jù)等差數(shù)列的求和公式 54 解析答案 2 2015 北京改編 設 an 是等差數(shù)列 下列結論中正確的是 若a1 a2 0 則a2 a3 0 若a1 a3 0 則a1 a2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若a1 0 則 a2 a1 a2 a3 d d d2 0 故 錯 答案 解析設等差數(shù)列 an 的公差為d 若a1 a2 0 a2 a3 a1 d a2 d a1 a2 2d 由于d正負不確定 因而a2 a3符號不確定 故 錯 若a1 a3 0 a1 a2 a1 a3 d a1 a3 d 由于d正負不確定 因而a1 a2符號不確定 故 錯 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 設等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 則m 解析 數(shù)列 an 為等差數(shù)列 且前n項和為Sn 解得m 5 經檢驗為原方程的解 5 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 數(shù)列 an 的首項為3 bn 為等差數(shù)列 且bn an 1 an n N 若b3 2 b10 12 則a8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 6 21 2 0 又b1 b2 b7 a2 a1 a3 a2 a8 a7 a8 a1 a8 3 0 a8 3 答案3 解析設 bn 的公差為d b10 b3 7d 12 2 14 d 2 b3 2 b1 b3 2d 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知數(shù)列 an 滿足an 1 an 且a1 5 設 an 的前n項和為Sn 則使得Sn取得最大值的序號n的值為 該數(shù)列前7項是正數(shù)項 第8項是0 從第9項開始是負數(shù)項 所以Sn取得最大值時 n 7或8 7或8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2d 1 d 2 4 解得d2 4 即d 2 由于該數(shù)列為遞增數(shù)列 故d 2 an 1 n 1 2 2n 1 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 設數(shù)列 an 的通項公式為an 2n 10 n N 則 a1 a2 a15 解析由an 2n 10 n N 知 an 是以 8為首項 2為公差的等差數(shù)列 又由an 2n 10 0得n 5 n 5時 an 0 當n 5時 an 0 a1 a2 a15 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a15 20 110 130 130 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 證明當n 2時 由an 2SnSn 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求數(shù)列 an 的通項公式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 等差數(shù)列 an 中 設Sn為其前n項和 且a1 0 S3 S11 則當n為多少時 Sn最大 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二由于Sn an2 bn是關于n的二次函數(shù) 由S3 S11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得6 5 n 7 5 故當n 7時 Sn最大 方法四由S3 S11 可得2a1 13d 0 即 a1 6d a1 7d 0 故a7 a8 0 又由a1 0 S3 S11可知d 0 所以a7 0 a8 0 所以當n 7時 Sn最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Sn的最大值是S8 Sn的最小值是S8 Sn的最大值是S7 Sn的最小值是S7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以a8 0 a7 0 即數(shù)列 an 前7項均小于0 第8項大于零 所以Sn的最小值為S7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 an bn 為等差數(shù)列 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由此解得 8 a 7 即實數(shù)a的取值范圍是 8 7 答案 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知公差大于零的等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且滿足a3 a4 117 a2 a5 22 1 求通項an 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以通項an 4n 3 又公差d 0 所以a3 a4 所以a3 9 a4 13 解因為數(shù)列 an 為等差數(shù)列 所以a3 a4 a2 a5 22 又a3 a4 117 所以a3 a4是方程x2 22x 117 0的兩實根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求Sn的最小值 解由 1 知a1 1 d 4 所以當n 1時 Sn最小 最小值為S1 a1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由 2 知Sn 2n2 n 因為數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 所以2b2 b1 b3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以2c2 c 0 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15