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第十六章曲線與方程 16 1曲線與方程 高考數(shù)學(xué) 1 曲線的方程 與 方程的曲線 在直角坐標(biāo)系中 如果某曲線C 看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 上的點(diǎn)與一個二元方程f x y 0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系 1 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解 2 以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) 那么 這個方程叫做曲線的方程 這條曲線叫做方程的曲線 2 求動點(diǎn)的軌跡方程的步驟 1 建系 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 知識清單 2 設(shè)點(diǎn) 設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P x y 3 列式 列出動點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式 4 化簡 依關(guān)系式的特點(diǎn) 選用距離公式 斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x y的方程 并化簡 5 證明 證明所得方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程 3 求動點(diǎn)軌跡方程常用的方法直接法 定義法 幾何法 相關(guān)點(diǎn)法 代入法 參數(shù)法 交軌法 后三種統(tǒng)稱為間接法 體現(xiàn)了一種轉(zhuǎn)化思想 若解題過程中引入了n個參數(shù) 則只需建立 n 1 個方程 在探求軌跡方程的過程中 需要注意的是軌跡方程的 完備性 和 純粹性 因此 在求得軌跡方程之后 要深入地思考一下 是否還遺漏了一些點(diǎn) 是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在 在所求得的軌跡方程中 x y的取值范圍是否有限制 拓展延伸1 求軌跡方程時 要注意檢驗(yàn)曲線上的點(diǎn)與方程的解是否為一一對應(yīng)的關(guān)系 若不是 則應(yīng)對方程加上一定的限制條件 檢驗(yàn)可以從以下兩個方面進(jìn)行 一是方程的化簡是否為同解變形 二是是否符合題目的實(shí)際意義 2 求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求 求軌跡時 應(yīng)先求軌跡方程 然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀 位置 大小等 利用參數(shù)法求軌跡方程常用的方法與技巧利用參數(shù)法求軌跡方程 一是選擇合適的參數(shù) 可以是單參數(shù) 也可以是雙參數(shù) 二是建立參數(shù)方程后消掉參數(shù) 消參數(shù)的方法有代入消參法 加減消參法 平方消參法等 例1在平面直角坐標(biāo)系中 O為坐標(biāo)原點(diǎn) 點(diǎn)F T M P滿足 1 0 1 t 1 當(dāng)t變化時 求點(diǎn)P的軌跡C的方程 2 若過點(diǎn)F的直線交曲線C于A B兩點(diǎn) 求證 直線TA TF TB的斜率成等差數(shù)列 方法技巧 解析 1 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 x y 由 得點(diǎn)M是線段FT的中點(diǎn) 則M 2 t 1 x t y 由 得2x t 0 由 得t y 0 所以t y 由 聯(lián)立消去t 得y2 4x 即點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2 4x 2 證明 設(shè)直線TA TF TB的斜率分別為k1 k k2 并記A x1 y1 B x2 y2 則有k 設(shè)直線AB的方程為x my 1 由得y2 4my 4 0 故y1 y2 4m y1y2 4 所以 y1 y2 2 2y1y2 16m2 8 所以k1 k2 t 2k 所以直線TA TF TB的斜率成等差數(shù)列 軌跡方程及應(yīng)用例2 2016江蘇贛榆高級中學(xué)月考 如圖 已知圓E x 2 y2 16 點(diǎn)F 0 P是圓E上任意一點(diǎn) 線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q 1 求動點(diǎn)Q的軌跡 的方程 2 已知A B C是軌跡 上的三個動點(diǎn) A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱 且 CA CB 問 ABC的面積是否存在最小值 若存在 求出此時點(diǎn)C的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 解析 1 連結(jié)QF Q在線段PF的垂直平分線上 所以 QP QF 所以 QE QF QE QP PE 4 又 EF 2 4 所以動點(diǎn)Q的軌跡是以E F為焦點(diǎn) 長軸長為4的橢圓 所以 y2 1 2 由題意得 OC AB 當(dāng)AB的斜率為零時 AB 4 OC 1 S 2 當(dāng)直線AB的斜率不存在時 AB 2 OC 2 S 2 當(dāng)AB的斜率存在且不為零時 B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱 設(shè)AB y kx A x1 y1 CA CB C在線段AB的垂直平分線上 直線OC的方程為 y x 1 4k2 4 AB 2 OA 2 4 同理可得 OC 2 S AB CO 4 因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)k 1時取等號 所以S 2 ABC的面積S的最小值為 此時C或