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第3講圓錐曲線的熱點問題 高考定位本部分主要以解答題形式考查 往往是試卷的壓軸題之一 一般以橢圓為背景 考查弦長 定點 定值 最值 范圍問題或探索性問題 試題難度較大 1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1 直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消去一個未知數(shù) 得到一個一元二次方程 若 0 則直線與橢圓相交 若 0 則直線與橢圓相切 若 0 則直線與橢圓相離 2 直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法 將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立 消去y 或x 得到一個一元方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 若a 0 當 0時 直線與雙曲線相交 當 0時 直線與雙曲線相切 當 0時 直線與雙曲線相離 若a 0時 直線與漸近線平行 與雙曲線有一個交點 3 直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立 消去y 或x 得到一個一元方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 當a 0時 用 判定 方法同上 當a 0時 直線與拋物線的對稱軸平行 只有一個交點 4 定點 定值問題定點 定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量 那么就可以用變化的量表示問題的直線方程 數(shù)量積 比例關(guān)系等 這些直線方程 數(shù)量積 比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點 一個值 就是要求的定點 定值 化解這類問題的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程 數(shù)量積 比例關(guān)系等 根據(jù)等式的恒成立 數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量 5 解決最值 范圍問題的方法解決圓錐曲線中最值 范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)或建立不等關(guān)系 根據(jù)目標函數(shù)或不等式求最值 范圍 因此這類問題的難點 就是如何建立目標函數(shù)和不等關(guān)系 建立目標函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適的變量 其原則是這個變量能夠表達要解決的問題 這個變量可以是直線的斜率 直線的截距 點的坐標等 要根據(jù)問題的實際情況靈活處理 規(guī)律方法在解析幾何問題中 轉(zhuǎn)化題目條件或者設(shè)參數(shù)解決問題時 根據(jù)題目條件 選擇適當?shù)淖兞渴墙忸}的一個關(guān)鍵 能夠起到簡化運算的作用 規(guī)律方法 1 定點和定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題 基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題 證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān) 在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的 2 解圓錐曲線中的定點 定值問題也可以先研究一下特殊情況 找出定點或定值 再視具體情況進行研究 規(guī)律方法求最值或求范圍問題常見的解法有兩種 1 幾何法 若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義 則考慮利用圖形性質(zhì)來解決 這就是幾何法 2 代數(shù)法 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系 則可首先建立目標函數(shù) 再求這個函數(shù)的最值 這就是代數(shù)法 1 圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法 1 幾何法 若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義 則考慮利用圖形性質(zhì)來解決 2 代數(shù)法 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系 則可首先建立起目標函數(shù) 再求這個函數(shù)的最值 在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮 利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系 從而確定參數(shù)的取值范圍 利用已知參數(shù)的范圍 求新參數(shù)的范圍 解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系 利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式 從而求出參數(shù)的取值范圍 利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍 利用函數(shù)的值域的求法 確定參數(shù)的取值范圍 2 定點 定值問題的處理方法定值包括幾何量的定值或曲線過定點等問題 處理時可以直接推理求出定值 也可以先通過特定位置猜測結(jié)論后進行一般性證明 對于客觀題 通過特殊值法探求定點 定值能達到事半功倍的效果 3 探索性問題的解法探索是否存在的問題 一般是先假設(shè)存在 然后尋找理由去確定結(jié)論 如果真的存在 則可以得出相應存在的結(jié)論 若不存在 則會由條件得出矛盾 再下結(jié)論不存在即可