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第2講隨機變量及其分布 高考定位概率模型多考查獨立重復試驗 相互獨立事件 互斥事件及對立事件等 對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的 熱點 多在解答題的前三題的位置呈現(xiàn) ?？疾楠毩⑹录母怕?超幾何分布和二項分布的期望等 真題感悟 2015 山東卷 若n是一個三位正整數(shù) 且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字 十位數(shù)字大于百位數(shù)字 則稱n為 三位遞增數(shù) 如137 359 567等 在某次數(shù)學趣味活動中 每位參加者需從所有的 三位遞增數(shù) 中隨機抽取1個數(shù) 且只能抽取一次 得分規(guī)則如下 若抽取的 三位遞增數(shù) 的三個數(shù)字之積不能被5整除 參加者得0分 若能被5整除 但不能被10整除 得 1分 若能被10整除 得1分 探究提高對于復雜事件的概率 要先辨析事件的構成 理清各事件之間的關系 并依據(jù)互斥事件概率的和 或者相互獨立事件概率的積的公式列出關系式 含 至多 至少 類詞語的事件可轉化為對立事件的概率求解 并注意正難則反思想的應用 即題目較難的也可從對立事件的角度考慮 探究提高在解題時注意辨別獨立重復試驗的基本特征 1 在每次試驗中 試驗結果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況 2 在每次試驗中 事件發(fā)生的概率相同 訓練1 甲 乙 丙三個同學一起參加某高校組織的自主招生考試 考試分筆試和面試兩部分 筆試和面試均合格者將成為該高校的預錄取生 可在高考中加分錄取 兩次考試過程相互獨立 根據(jù)甲 乙 丙三個同學的平時成績分析 甲 乙 丙三個同學能通過筆試的概率分別是0 6 0 5 0 4 能通過面試的概率分別是0 6 0 6 0 75 1 求甲 乙 丙三個同學中恰有一人通過筆試的概率 2 求經(jīng)過兩次考試后 至少有一人被該高校預錄取的概率 可得隨機變量X的分布列為 探究提高解答這類問題使用簡潔 準確的數(shù)學語言描述解答過程是解答得分的根本保證 引進字母表示事件可使得事件的描述簡單而準確 或者用表格描述 使得問題描述有條理 不會有遺漏 也不會重復 若用語言文字描述 就顯得啰嗦 解題時間也會增多 存在潛在丟分 即占用其他題目解答時間 所以高考考場上要使用簡潔 準確的數(shù)學語言描述解題過程 不僅解答準確 而且節(jié)省解答時間 微題型2 二項分布 例2 2 2015 湖南卷改編 某商場舉行有獎促銷活動 顧客購買一定金額的商品后即可抽獎 每次抽獎都是從裝有4個紅球 6個白球的甲箱和裝有5個紅球 5個白球的乙箱中 各隨機摸出1個球 在摸出的2個球中 若都是紅球 則獲一等獎 若只有1個紅球 則獲二等獎 若沒有紅球 則不獲獎 1 求顧客抽獎1次能獲獎的概率 2 若某顧客有3次抽獎機會 記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X 求X的分布列 數(shù)學期望和方差 故X的分布列為 微題型3 超幾何分布 例2 3 2015 天津卷 為推動乒乓球運動的發(fā)展 某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加 現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名 其中種子選手2名 乙協(xié)會的運動員5名 其中種子選手3名 從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽 1 設A為事件 選出的4人中恰有2名種子選手 且這2名種子選手來自同一個協(xié)會 求事件A發(fā)生的概率 2 設X為選出的4人中種子選手的人數(shù) 求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望 1 概率P A B 與P AB 的區(qū)別 1 發(fā)生時間不同 在P A B 中 事件A B的發(fā)生有時間上的差異 B先A后 在P AB 中 事件A B同時發(fā)生 2 樣本空間不同 在P A B 中 事件B成為樣本空間 在P AB 中 樣本空間仍為總的樣本空間 因而有P A B P AB 2 求含有相互獨立事件概率的基本思路 1 把隨機事件拆分為若干個互斥事件之和 2 將拆分后的每個事件又分解為若干個相互獨立事件之積 3 根據(jù)相關的概型進行計算 例如相互獨立且符合獨立重復試驗的事件 則利用獨立重復試驗概型的概率計算公式進行計算 3 求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為 第一步是 判斷取值 即判斷隨機變量的所有可能取值 以及取每個值所表示的意義 第二步是 探求概率 即利用排列組合 枚舉法 概率公式 常見的有古典概型公式 幾何概型公式 互斥事件的概率和公式 獨立事件的概率積公式 以及對立事件的概率公式等 求出隨機變量取每個值時的概率 第三步是 寫分布列 即按規(guī)范形式寫出分布列 并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確 第四步是 求期望值 一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值 對于有些實際問題中的隨機變量 如果能夠斷定它服從某常見的典型分布 如二項分布X B n p 則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式 E X np 求得 因此 應熟記常見的典型分布的期望公式 可加快解題速度