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第7講 雙曲線 1 了解雙曲線的定義 幾何圖形和標準方程 知道它的簡 單幾何性質(zhì) 2 理解數(shù)形結(jié)合的思想 1 雙曲線的概念平面內(nèi)與兩個定點F1 F2 F1F2 2c 0 的距離之差的絕對值為常數(shù) 小于 F1F2 且不等于零 的點的軌跡叫做雙曲線 這兩個定點叫做雙曲線的焦點 兩焦點間的距離叫做焦距 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c為常數(shù)且a 0 c 0 a c 1 當 時 點M的軌跡是雙曲線 2 當a c時 點M的軌跡是兩條射線 3 當a c時 點M不存在 2 雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì) 續(xù)表 a a 續(xù)表 a2 b2 9 C 考點1 求雙曲線的標準方程 答案 A 互動探究 B 考點2 雙曲線的幾何性質(zhì) 答案 D 答案 C 互動探究 C 考點3 直線與雙曲線的位置關(guān)系 例3 直線l y kx 1與雙曲線C 2x2 y2 1的右支交于不同的兩點A B 1 求實數(shù)k的取值范圍 2 是否存在實數(shù)k 使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F 若存在 求出k的值 若不存在 說明理由 規(guī)律方法 當直線與雙曲線的漸近線平行時 此時二次項的系數(shù)為零 直線與雙曲線只有一個交點 因此利用根的判別式判斷直線與雙曲線的交點的個數(shù)時 要特別注意二次項的系數(shù) 直線與雙曲線的右支交于不同的兩點即方程有兩正根 直線與雙曲線的左支交于不同的兩點即方程有兩負根 直線與雙曲線的左 右支交于不同的兩點即方程有一正一負根 易錯 易混 易漏 忽視直線與雙曲線相交的判斷致誤 解 方法一 設(shè)符合題意的直線l存在 并設(shè)P x1 y1 失誤與防范 1 本題是以雙曲線為背景 探究是否存在符合條件的直線 題目難度不大 思路也很清晰 但結(jié)論卻不一定正確 錯誤原因是考生忽視對直線與雙曲線是否相交的判斷 從而導致錯誤 因為所求的直線是基于假設(shè)存在的情況下所得的 2 思考兩個問題 如將本題中點P的坐標改為 1 2 看看結(jié)論怎樣 中點弦問題的存在性 在橢圓內(nèi)中點弦 過橢圓內(nèi)一點作直線 與橢圓交于兩點 使這點為弦的中點 一定存在 但在雙曲線中則不能確定 這是因為過橢圓內(nèi)一點的任一直線與橢圓肯定相交 而點在雙曲線內(nèi)外在中學階段很難界定 因此直線與雙曲線的位置關(guān)系必須利用根的判別式檢驗