《2019屆高三數(shù)學（理）第二次質(zhì)檢試題（帶答案）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019屆高三數(shù)學（理）第二次質(zhì)檢試題（帶答案）（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019 屆高三數(shù)學（理）第二次質(zhì)檢試題（帶答案）一、選擇題（本大題共 12 小題，共 60.0 分）已知 i 為虛數(shù)單位，在復平面內(nèi)，復數(shù) 2i/(2+i)的共軛復數(shù)對應的點位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限設全集為實數(shù)集 R，集合 A={x|x2＜4}，B={x|3x＞1}，則A∩（?RB）=（ ）A. {x|-2≤x≤0} B. {x|-2ba B. bca C. abc D. cab函數(shù) f(x)=√3 cos2x-sin2x 的圖象向右平移 π/4 個單位，若所得圖象對應的函數(shù)在[-a，a]是遞增的，則 a 的最大值是（ ）A. π/6 B. π/4 C. π/3 D. π古希臘雅典學派算學家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出已知線段的黃金分割點，具體方法如下：取線段 AB=2QUOTEAB=2，過點 B 作 AB 的垂線，并用圓規(guī)在垂線上截取 BC=1/2 AB=1，連接 AC；以 C 為圓心，BC 為半徑畫弧，交 AC 于點 D；以 A 為圓心，以 AD 為半徑畫弧，交 AB 于點，則點 E 即為線段 AB 的黃金分割點．如圖所示，在 Rt△ABC 中，扇形區(qū)域 ?ADE 記為Ⅰ，扇形區(qū)域 ?CBD 記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為 P1，P2，P3，（參考數(shù)據(jù)：√5≈2.236）則（ ）A. P_1P_2 B. P_12 B. m≥2C. m1/2+√2 D. m1/2+√2已知正四面體的中心與球心 O 重合，正四面體的棱長為2√6，球的半徑為√5，則正四面體表面與球面的交線的總長度為（ ）A. 4π B. 8√2 π C. 12√2 π D. 12π二、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0 分）已知向量|?a|=3，|?b|=4，?a-?b=(√2，√7)，則|?a+?b|=______．在(√x-2/x )^n 的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為 256，則 x 項的系數(shù)等于______．在△ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 滿足 2(tanB+tanC)=tanB/cosC+tanC/cosB，則 cosA 的最小值為______．如圖，拋物線 E：y2=4x 的焦點為 F，點 M 與 F 關于坐標原點 O 對稱，過 F 的直線與拋物線交于 A，B 兩點，使得AB⊥BM，又 A 點在 x 軸上的投影為 C，則 |AF|+|AC|-|BF|-|BC|=______．三、解答題（本大題共 7 小題，共 82.0 分）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前 n 項和為Sn，a1=1，anan+1=2Sn+1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的項 a2n-1；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前 2n 項和 S2n．如圖，邊長為 2 的菱形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是 AB，BC 的中點，將△DAE，△DCF 分別沿 DE，DF 折起，使 A，C 重合于點P．（Ⅰ）已知 G 為線段 PD 上的一點，滿足 3?PG=?GD，求證：PB∥平面 EFG．（Ⅱ）若平面 PEF⊥平面 DEF，求直線 PD 與平面 PBF 所成角的正弦值．在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次），通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的 100 人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：組別 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]頻數(shù) 4 13 21 25 24 11 4（Ⅰ）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分ξ～N（μ，198），μ 近似為這 100 人得分的平均值．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），利用該正態(tài)分布，求 P（37.5＜ξ≤79.5）；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于 μ 的可以獲贈 2 次隨機話費，得分低于 μ 的可以獲贈 1 次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額（元） 20 50概率 2/3 1/3現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求 X 的分布列與數(shù)學期望．附：參考數(shù)據(jù)：①35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4=6550；②√198≈14；③若 X～N（μ，σ2），則 P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，已知橢圓 C：x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a＞b＞0)，右焦點 F的坐標為（2，0），且點(2，√2)在橢圓 C 上．（Ⅰ）求橢圓 C 的方程及離心率；（Ⅱ）過點 F 的直線交橢圓于 A，B 兩點（直線不與 x 軸垂直），已知點 A 與點 P 關于 x 軸對稱，證明：直線 PB 恒過定點，并求出此定點坐標．已知函數(shù) f（x）=ln2x+a（x-1）2+b，其中0＜a≤1，b∈R，函數(shù) g(x)=x/e^(x-1) ，其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）判斷函數(shù) f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設 x1，x2 是函數(shù) f（x）的兩個零點，求證：x1+x2＞2；（Ⅲ）當 a=1/2，b=1 時，試比較 f（x）與 g（x）的大小并證明你的結(jié)論．在直角坐標系 xOy 中，直線 l 的參數(shù)方程為{■(x=t@y=1+√3 t)┤（t 為參數(shù)），以坐標原點為極點，以 x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C 的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ，直線 l 與曲線 C 相交于 A，B 兩點，與 y 軸相交于點 P，（Ⅰ）求直線 l 的普通方程和曲線 C 的直角坐標方程；（Ⅱ）求 1/(|PA|)+1/(|PB|)的值．已知函數(shù) f(x)=|x+9/x-a|+a（Ⅰ）若 f（3）=10，求實數(shù) a 的值；（Ⅱ）若函數(shù) f（x）在區(qū)間[1，9]上的最大值是 10，求實數(shù) a的取值范圍．?答案和解析1.【答案】D【解析】解：設 z= = = ，其共軛復數(shù)為 = ，對應的點位于第四象限．故選：D．求出復數(shù) 的代數(shù)形式，得到其共軛復數(shù)的代數(shù)形式，再根據(jù)其實部和虛部的情況作出判斷．本題考查了復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的幾何意義，看清題目是解對本題的關鍵．不同屬基礎題．2.【答案】B【解析】解：A={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，B={x|3x＞1}={x|x＞0}，則?RB={x|x≤0}，則 A∩（?RB）={x|-2＜x≤0}，故選：B．化簡集合 A、B，根據(jù)補集與交集的定義計算即可．本題考查了集合的化簡與集合的運算，屬于基礎題．3.【答案】C【解析】解：因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，當 a1＜a2＜a3 得： ，所以 或 ，所以 an+1-an=a1qn-1（q-1）＞0，即數(shù)列{an}單調(diào)遞增，當數(shù)列{an}單調(diào)遞增時，易得 a1＜a2＜a3，即“a1＜a2＜a3”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”的充要條件，故選：C．由等比數(shù)列的單調(diào)性及充分必要條件得：當 a1＜a2＜a3 得： ，所以 或 ，所以 an+1-an=a1qn-1（q-1）＞0，即數(shù)列{an}單調(diào)遞增，當數(shù)列{an}單調(diào)遞增時，易得 a1＜a2＜a3，即“a1＜a2＜a3”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”的充要條件，得解．本題考查了等比數(shù)列的單調(diào)性及充分必要條件，屬中檔題．4.【答案】D【解析】解：通過圖象上的數(shù)據(jù)即可知，選項 A，B，C 的說法都正確；通過圖象知，2018 年 11 月份居民消費價格同比上漲 2.2%；∴D 錯誤．故選：D．根據(jù)題意并觀察圖象上的數(shù)據(jù)即可判斷出 A，B，C 都正確，只能選 D．考查對同比增長率和環(huán)比增長率的概念的理解，以及讀圖的能力．5.【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，雙曲線 （a＞0，b＞0）的焦點到漸近線的距離為 ，則 b= ，又由雙曲線的離心率 3，即 e= =3，即 c=3a，則有 b= =2 a，解可得 a=1，則雙曲線的實軸 2a=2；故選：C．根據(jù)題意，由雙曲線的幾何性質(zhì)分析可得 b 的值，又由雙曲線的離心率分析可得 c=2a，聯(lián)立兩式分析可得 a 的值，由雙曲線的長軸長 2a 計算可得答案．本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意雙曲線的焦點到漸近線的距離就是 b 的值．6.【答案】C【解析】解：實數(shù) x，y 滿足 x+2≤y≤3x 表示的平面區(qū)域如圖所示，∴A（1，3），∵直線 z=x+y 過可行域內(nèi) A（1，3）的時候 z 最小，最小值為4，故選：C．先根據(jù)約束條件畫出可行域，利用幾何意義求最值，只需求出直線 z=x+y 過點 A 時，z 取最小值即可本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優(yōu)解．7.【答案】A【解析】解：根據(jù)幾何體得三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：根據(jù)幾何體的特征，得到該幾何體的外接球的球心為垂直于平面 ACD 和垂直于平面 ABC 的斜邊 CD 和 AB 的交點 O，故：r= ，所以：V= ．故選：A故選：A．直接利用三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換求出外接球的半徑，進一步利用球的體積公式的應用求出結(jié)果．本題考查的知識要點：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式的應用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型．8.【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，f（x）=x?2|x|= ，當 x＜0 時，f（x）=x?（ ）x＜0，又由 log3 =-log32＜0，則b＜0，當 x≥0 時，f（x）=x?2x，其導數(shù) f′（x）=2x+x?2xln2＞0，則 f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，其 f（0）=0，則當 x＞0 時，f（x）＞0；又由 0＜log3 ＜1＜ln3，則 0＜a＜c，綜合可得：c＞a＞b；故選：D．根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得當 x＜0，f（x）=x?（ ）x＜0，據(jù)此可得 b＜0，當 x≥0 時，f（x）=x?2x，求出其導數(shù)，分析可得 f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，由此分析可得0＜a＜c，綜合可得答案．本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及應用，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎題．9.【答案】A【解析】解： ，= ，把函數(shù)的圖象向右平移 個單位，得到：g（x）= ，令： （k∈Z），解得： （k∈Z），所得圖象對應的函數(shù)在[-a，a]是遞增的，所以：a＞0，整理得： ≤ ，當 k=0 時， ．故選：A．首先把函數(shù)的關系式便形成余弦形函數(shù)，進一步利用函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換的應用再利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結(jié)果．本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換的應用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型．10.【答案】B【解析】解：根據(jù)幾何概型可知，P1，P2，P3 的大小關系就是區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面積的大小關系，∵AB=2，BC=1，∴AC= ，CD=1，AD= -1，設∠A=α，則∠C= -α，∵tanα= ＜ ，∴α ＜ S1= ×AD2?α= ×（ -1）2α，S2= ×BC2×（ -α）= ×（ -α），S1-S2≈ ×1.2362α- + α＜ ×1.2362× - + × ＜0，∴S1＜S2， ∴P1 ＜P2故選：B．根據(jù)幾何概型可知，P1，P2，P3 的大小關系就是區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面積的大小關系．本題考查了幾何概型，屬中檔題．11.【答案】A【解析】解：當 x＞0 時，f′（x）= ，由 f′（x）＞0 得 1-lnx＞0 得 lnx＜1，得 0＜x＜e，由 f′（x）＜＞0 得 1-lnx＜0 得 lnx＞1，得 x＞e，即當 x=e 時，函數(shù) f（x）取得極大值，同時也是最大值，f（e）=1，當 x→+∞，f（x）→0，當 x→0，f（x）→-∞，作出函數(shù) f（x）的圖象如圖，設 t=f（x），由圖象知當 t＞1 或 t＜0，方程 t=f（x）有一個根，當 t=0 或 t=1 時，方程 t=f（x）有 2 個根，當 0＜t＜1 時，方程 t=f（x）有 3 個根，則 g（x）=f2（x）-（2m-1）f（x）+2，等價為 h（t）=t2-（2m-1）t+2，當 t=0 時，h（0）=2≠0，∴若函數(shù) g（x）恰有 4 個零點，則等價為函數(shù) h（t）=t2-（2m-1）t+2 有兩個零點，滿足 t＞1或 0＜t＜1，則 即 h（1）=1-2m+1+2=4-2m＜0 得 m＞2，即實數(shù) m 的取值范圍是 m＞2，故選：A．求函數(shù) f′（x），研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù) f（x）的圖象，設 t=f（x），若函數(shù) g（x）恰有 4 個零點，則等價為函數(shù) h（t）=t2-（2m-1）t+2 有兩個零點，滿足 t＞1 或0＜t＜1，利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可．本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法進行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及．求的導數(shù)，研究函數(shù)的 f（x）的單調(diào)性和極值是解決本題的關鍵．12.【答案】A【解析】解：∵正四面體 A-BCD 的中心與球心 O 重合，正四面體的棱長為 ，取 CD 中點 E，連結(jié) BE，AE，過 A 作 AF⊥底面 BCD，交 BE 于F，則 BE=AE= =3 ，BF= =2 ，DF= = ，AF= =4，設正四面體內(nèi)切球半徑為 r，則（4-r）2=（2 ）2+r2，解得正四面體內(nèi)切球半徑為 r=1，∵球的半徑為 ，∴由球的半徑知球被平面截得小圓半徑為 r1= =2，故球被正四面體一個平面截曲線為三段圓弧，且每段弧所對中心角為 30°，∴正四面體表面與球面的交線的總長度為：4×（3× ×2π×2）=4π．故選：A．求出正四面體內(nèi)切球半徑為 1，由球的半徑知球被平面截得小圓半徑為 2，故球被正四面體一個平面截曲線為三段圓弧，且每段弧所對中心角為 30°，由此能求出正四面體表面與球面的交線的總長度．本題考查正四面體表面與球面的交線的總長度的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．13.【答案】√41【解析】解：∵ ；∴ ；∴ ；∴ ；∴ ．故答案為： ．根據(jù)條件即可求出 ，從而得出 ，進而可求出 ，從而得出 ．考查向量的數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的坐標運算，向量長度的求法．14.【答案】112【解析】解：由于所有項的二項式系數(shù)之和為 2n=256，n=8，故 的二項展開式的通項公式為 Tr+1= ?（-2）r? ，令 4- =1，求得 r=2，可得含 x 項的系數(shù)等于 4 =112，故答案為：112．由題意利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得 n=8，可得 的二項展開式的通項公式，再令 x 的冪指數(shù)等于 1，求得 r 的值，可得含 x項的系數(shù)．本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．15.【答案】1/2【解析】解：由于： ，整理得： ，即：2sinAcosBcosC=sinBcosBcosC+sinCcosBcosC故：2sinA=sinB+sinC，利用正弦定理得：2a=b+c，所以：cosA= ，= ，= ，故最小值為 ．故答案為： 直接利用三角函數(shù)關系式的變換，進一步利用正弦定理和基本不等式的應用求出結(jié)果本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應用，基本不等式的應用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型．16.【答案】4【解析】解：拋物線 E：y2=4x 的焦點為 F（1，0），點 M 與 F 關于坐標原點 O 對稱，過 F 的直線 y=k（x-1）與拋物線交于 A，B 兩點，可得 k2x2-（k2+4）x+k2=0，設 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 過焦點得 x1x2=1，又AB⊥BM得 B 在以 MF 為直徑的圓上，故 ，而 ，得 ，又 又∠ABM=∠ACM ，所以 AMBC 四點共圓，進而得 AC=BC故|AF|+|AC|-|BF|-|BC|=4故答案為：4．求出拋物線的焦點坐標，直線方程，設 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 過焦點得 x1x2=1，結(jié)合 AB⊥BM，轉(zhuǎn)化求解|AF|-|BF|，通過四點共圓，轉(zhuǎn)化求解即可．本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用，四點共圓等知識的應用，本題也可由 B 點垂直關系及 B 在拋物線上解得 ，并可計算求得結(jié)果為 4．17.【答案】解：（1）由 anan+1=2Sn+1 得，an+1an+2=2Sn+1+1，兩式相減得 an+1（an+2-an）=2an+1，因為數(shù)列{an}為正項數(shù)列，所以 an+2-an=2，又 a1=1，故數(shù)列{a2n-1}是以 a1=1 為首項，公差為 2 的等差數(shù)列，所以 a2n-1=1+（n-1）×2=2n-1．（2）由（1）知，an+2-an=2，由 a1=1 及 anan+1=2Sn+1 得 a2=3故數(shù)列{a2n}是以 a2=3 為首項，公差為 2 的等差數(shù)列，所以 a2n=3+（n-1）×2=2n+1．所以 S2n=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n=((1+2n-1)×n)/2+((3+2n+1)×n)/2=2n^2+2n．【解析】（Ⅰ）直接利用數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列的通項公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，進一步利用分組法的應用求出結(jié)果．本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，分組法在數(shù)列求和中的應用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型．18.【答案】（1）證明：在菱形 ABCD 中，連接 AC，BD，EF，記 AC∩BD=M，EF∩BD=O，則 BO=OM=1/3 OD，對折后，連接 OG，在△PBD 中，PG/GD=BO/OD=1/3，………2′∴PB∥GO，………………3′又 PB?平面 EFG，OG?平面 EFG，………………4′∴PB∥平面 EFG．………………5′（2）解：連接 PO，由 PE=PF，得 PO⊥EF，∵PEF⊥平面 DEF，平面 PEF∩平面 DEF=EF，PO?平面 PEF，∴PO⊥平面 DEF．又 BD⊥EF，∴OF ，OD，OP 兩兩垂直，以 OF，OD，OP 所在直線分別為 x，y，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系．…………………………6′則 PE=EB=BF=PF=1，△BEF≌△PEF，所以 BO=PO，設BO=PO=a，則在 Rt△POD 中，由 PO2+OD2=PD2 得，a=√10/5，………………………………………………8′在 Rt△BOF 中，由勾股定理得，OF=√15/5，………………………………………………9′則 B(0，-√10/5，0)，F(xiàn)(√15/5，0，0)，D(0，(3√10)/5，0)，P(0，0，√10/5)，?PB=(0，-√10/5，-√10/5)，?BF=(√15/5，√10/5，0)，設平面 PBF 的一個法向量為?n=(x，y，z)，則{■(?PB??n=0@?BF??n=0)┤，{■(-√10/5 y-√10/5 z=0@√15/5 x+√10/5 y=0)┤，取?n=(-√6/3，1，-1)，………………………………………………11′記直線 PD 與平面 PBF 所成的角為 θ．則 sinθ=|cos＜?(PD，) ?(n＞)|=(|?PD??n|)/(|?PD|?|?n|)=√15/5．…………12′【解析】（1）證明連接 AC，BD，EF，記 AC∩BD=M，EF∩BD=O，連接OG，證明 PB∥GO，然后證明 PB∥平面 EFG．（2）連接 PO，說明 OF，OD，OP 兩兩垂直，以 OF，OD，OP 所在直線分別為 x，y，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面 PBF 的一個法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線 PD 與平面 PBF 所成的角的正弦函數(shù)值．本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面平行的判斷定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．19.【答案】解：（Ⅰ）由題意得，μ=(35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4)/100=65.5…2′σ=√198≈14∴P（37.5 ＜ξ≤79.5 ）=P（μ-2σ＜ξ≤μ+σ ）═0.9544- (0.9544-0.6826)/2=0.8185…5′（Ⅱ）由題意知，P(ξ＜μ)=P(ξ≥μ)=1/2，獲贈話費 X 的可能取值為 20，40，50，70，100，P(X=20)=1/2?2/3=1/3，P(X=40)=1/2?2/3?2/3=2/9，P(X=50)=1/2?1/3=1/6，P(X=70)=1/2?2/3?1/3+1/2?1/3?2/3=2/9，P=(X=100)=1/2?1/3?1/3=1/18則 X 的分布列為：X 20 40 50 70 100P 1/3 2/9 1/6 2/9 1/18…10′EX=20×1/3+40×2/9+50×1/6+70×2/9+100×1/18=45…12′【解析】（Ⅰ）利用頻率分布表求解平均數(shù)即可．利用正態(tài)分布的性質(zhì)通過 P（37.5＜ξ≤79.5）=P（μ-2σ＜ξ≤μ+σ）求解即可．（Ⅱ）由題意知， ，獲贈話費 X 的可能取值為20，40，50，70，100，求出概率得到 X 的分布列，然后求解期望即可．本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，正態(tài)分布的性質(zhì)的應用，考查計算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知得{■(4/a^2 +2/b^2 =1@a^2=b^2+c^2@c=2)┤，……………………………2解得{■(〖b^2=4〗┴(a^2=8) )┤，……………………………3∴橢圓 C 的標準方程x^2/8+y^2/4=1，……………………………4∴橢圓 C 的離心率 e=c/a=2/(2√2)=√2/2．……………………………5（Ⅱ）設 P（x1，y1），B（x2，y2），則 A（x1，-y1），可設 PB 的直線方程為 y=kx+m聯(lián)立方程{■(y=kx+m@x^2/8+y^2/4=1)┤，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，∴x_1+x_2=(-4km)/(2k^2+1)，x_1 x_2=(2m^2-8)/(2k^2+1)……………………………7，∵kAF=kFB，∴y_1/(2-x_1 )=y_2/(x_2-2)……………………………8整理得，2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-4m=0，……………………………9∴2k?(2m^2-8)/(2k^2+1)+(m-k)?(-4km)/(2k^2+1)-4m=0，解得 m=-4k……………………………11∴PB 的直線方程為：y=kx-4k=k（x-4），直線 PB 恒過定點（4，0）．……………………………12【解析】（Ⅰ）利用已知條件列出方程組求出 a，b 即可得到橢圓方程．（Ⅱ）設 P（x1，y1），B（x2，y2），則 A（x1，-y1），設PB 的直線方程為 y=kx+m，聯(lián)立方程 ，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，利用韋達定理通過 kAF=kFB 推出 m=-4k，利用直線系求解直線 PB 恒過定點（4，0）．本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓是簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．21.【答案】解：（I）f'（x）=(2lnx+2a(x-1)x)/x，x＞0，0＜a≤1．①當 x∈（0，1）時，2a（x-1）x＜0，2lnx＜0，∴f'（x）＜0，∴f（ x）在（0，1）上遞減；②當 x∈（1，+∞）時，2a（x-1）x＞0，2lnx＞0，∴f'（x）＞0，∴f（ x）在（1，+∞）上遞增．綜上可知，函數(shù) f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．（II）證明：不妨設 x1＜x2，由題意及（I）可知，x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）．且 f（x）min=f（1）=b＜0．令 F（x）=f（x）-f（2-x），x∈（0，1）．則 F（x））=f（x）-f（2-x）=ln2x+a（x-1）2+b-[ln2（2-x）+a（2-x-1）2+b]=ln2x-ln2（2-x）．=[lnx+ln（2-x）][lnx-ln（2-x）]=ln（-x2+2x）lnx/(2-x)=ln[-（x-1）2+1]ln1/(2/x-1)＞0．即 f（x）＞f（2-x），x∈（0，1）．∴f （ x2） =f（x1）＞f（2-x1），∵0＜x1＜1，∴2-x1＞1，∵x2＞1．由（I）知 f（x）在（1，+∞）上遞增，∴x2＞2-x1，∴x1+x2＞2．（III）當 a=1/2，b=1 時，f（x）=ln2x+1/2（x-1）2+1，f（x）在（0，1）上遞減，f（x）在（1，+∞）上遞增．∴f （ x）min=f （1）=1．函數(shù) g(x)=x/e^(x-1) ，g′（x）=(1-x)/e^(x-1) ．令 g′（x）=0，得 x=1，∴函數(shù) g（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞減．g（x）max=g（1）=1．綜上所述，f（x）≥g（x），當且僅當 x=1 時等號成立．【解析】（I）f'（x）= ，x＞0，0＜a≤1．利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．（II）不妨設 x1＜x2，由題意及（I）可知，x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）．f（x）min=f（1）=b＜0．令 F（x）=f（x）-f（2-x），x∈（0，1）．利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．（III）當 ，b=1 時，f（x）=ln2x+ （x-1）2+1，f（x）在（0，1）上遞減，f（x）在（1，+∞）上遞增．根據(jù)單調(diào)性可得 f（x）min=f（1）=1．函數(shù) ，g′（x）= ．利用導數(shù)研究其單調(diào)性可得 g（x）max=g（1）=1．即可得出結(jié)論．本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法、構(gòu)造法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．22.【答案】解：（Ⅰ）直線 l 的參數(shù)方程為{■(x=t@y=1+√3 t)┤（t 為參數(shù)），∴消去參數(shù) t 后，直線 l 的普通方程為：√3x-y+1=0．曲線 C 的極坐標方程為 ρ=2cosθ+2sinθ，轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：x2+y2=2x+2y．整理得，曲線 C 的普通方程為（x-1）2+（y-1）2=2．（Ⅱ）設 A，B 兩點對應的參數(shù)分別為 t1 和 t2，將直線 l 方程{■(x=t@y=1+√3 t)┤代入曲線 C 的（x-1）2+（y-1）2=2．得到：4t2-2t-1=0，∴t1+t2=1/2 ，t1?t2=-1/4 ．∴1/(|PA|)+1/(|PB|)=1/(|2t_1 |)+1/(|2t_2 |)，=(|t_1-t_2 |)/(2|t_1?t_2 |)=√((t_1+t_2 )^2-4t_1 t_2 )/(2|t_1 t_2 |)=√5/2．【解析】（Ⅰ）直接利用轉(zhuǎn)換關系，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用求出結(jié)果．本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型．23.【答案】解：（Ⅰ）∵f（3）=|6-a|+a=10，∴|6-a|=10-a ，∴{■( 〖(6-a)^2=(10-a)^2〗┴(a≤10) )┤解得 a=8，（2）當 x∈[1，9]，x+9/x∈[6 ，10]，①當 a≥10 時，f（x）=2a-x-4/x，f（x）max=2a-6=10，∴a=8 ，舍去②當 a≤1 時，f（x）=x+9/x≤10，此時命題成立；③當 1＜a＜10 時，f（x）max=max{|6-a|+a，|10-a|+a}，則{■(〖|6-a|+a=10〗┴(|6-a|+a≥|10-a|+a) )┤或{■(〖|10-a|+a=10〗┴(|6-a|+a|10-a|+a) )┤，解得 a=8 或 a＜8，綜上可得，實數(shù) a 的取值范圍是（-∞，8]．【解析】（Ⅰ）代值計算即可；（Ⅱ）先求出 x+ ∈[6，10]，再分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可求出 a 的范圍．本題考查函數(shù)最值的求法，注意運用絕對值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．