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6 3 2隨機變量及其分布 考向一 考向二 離散型隨機變量的分布列 多維探究 題型1相互獨立事件 互斥事件的概率及分布列例1從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口 設各路口信號燈工作相互獨立 且在各路口遇到紅燈的概率分別為 1 記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù) 求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望 2 若有2輛車獨立地從甲地到乙地 求這2輛車共遇到1個紅燈的概率 考向一 考向二 解 1 隨機變量X的所有可能取值為0 1 2 3 所以 隨機變量X的分布列為 考向一 考向二 2 設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù) Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù) 則所求事件的概率為P Y Z 1 P Y 0 Z 1 P Y 1 Z 0 解題心得字母表示事件法 使用簡潔 準確的數(shù)學語言描述解答過程是解答這類問題并得分的根本保證 引進字母表示事件可使得事件的描述簡單而準確 使得問題描述有條理 不會有遺漏 也不會重復 考向一 考向二 對點訓練1 2018北京 理17 電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù) 經(jīng)分類整理得到下表 好評率是指 一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值 假設所有電影是否獲得好評相互獨立 1 從電影公司收集的電影中隨機選取1部 求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率 2 從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部 估計恰有1部獲得好評的概率 考向一 考向二 3 假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等 用 k 1 表示第k類電影得到人們喜歡 k 0 表示第k類電影沒有得到人們喜歡 k 1 2 3 4 5 6 寫出方差D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 的大小關系 解 1 設 從電影公司收集的電影中隨機選取1部 這部電影是獲得好評的第四類電影 為事件A 第四類電影中獲得好評的電影為200 0 25 50 部 2 設 從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部 恰有1部獲得好評 為事件B P B 0 25 0 8 0 75 0 2 0 35 考向一 考向二 3 由題意可知 定義隨機變量如下 則 k顯然服從兩點分布 則六類電影的分布列及方差計算如下 第一類電影 D 1 0 4 0 6 0 24 第二類電影 D 2 0 2 0 8 0 16 考向一 考向二 第三類電影 D 3 0 15 0 85 0 1275 第四類電影 D 4 0 25 0 75 0 1875 第五類電影 D 5 0 2 0 8 0 16 考向一 考向二 第六類電影 D 6 0 1 0 9 0 09 綜上所述 D 1 D 4 D 2 D 5 D 3 D 6 考向一 考向二 題型2古典概型的概率及其分布列例2在心理學研究中 常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響 具體方法如下 將參加試驗的志愿者隨機分成兩組 一組接受甲種心理暗示 另一組接受乙種心理暗示 通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用 現(xiàn)有6名男志愿者A1 A2 A3 A4 A5 A6和4名女志愿者B1 B2 B3 B4 從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示 另5人接受乙種心理暗示 1 求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率 2 用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù) 求X的分布列與數(shù)學期望E X 考向一 考向二 解 1 記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M 2 由題意知X可取的值為0 1 2 3 4 則 考向一 考向二 因此X的分布列為X的數(shù)學期望是 E X 0 P X 0 1 P X 1 2 P X 2 3 P X 3 4 P X 4 考向一 考向二 對點訓練2為了研究一種新藥的療效 選100名患者隨機分成兩組 每組各50名 一組服藥 另一組不服藥 一段時間后 記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù) 并制成下圖 其中 表示服藥者 表示未服藥者 1 從服藥的50名患者中隨機選出一人 求此人指標y的值小于60的概率 2 從圖中A B C D四人中隨機選出兩人 記 為選出的兩人中指標x的值大于1 7的人數(shù) 求 的分布列和數(shù)學期望E 3 試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小 只需寫出結論 考向一 考向二 解 1 由圖知 在服藥的50名患者中 指標y的值小于60的有15人 所以從服藥的50名患者中隨機選出一人 此人指標y的值小于60的概率為 0 3 2 由圖知 A B C D四人中 指標x的值大于1 7的有2人 A和C 所以 的所有可能取值為0 1 2 所以 的分布列為 考向一 考向二 3 在這100名患者中 服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差 考向一 考向二 題型3條件概率與其分布列的綜合例3某險種的基本保費為a 單位 元 繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人 續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下 設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下 1 求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率 2 若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費 求其保費比基本保費高出60 的概率 3 求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值 考向一 考向二 解 1 設A表示事件 一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費 則事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1 故P A 0 2 0 2 0 1 0 05 0 55 2 設B表示事件 一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60 則事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于3 故P B 0 1 0 05 0 15 又P AB P B 考向一 考向二 3 記續(xù)保人本年度的保費為X 則X的分布列為 E X 0 85a 0 30 a 0 15 1 25a 0 20 1 5a 0 20 1 75a 0 10 2a 0 05 1 23a 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1 23 解題心得在P A B 中 事件A B的發(fā)生有時間上的差異 B先A后 在P AB 中 事件A B同時發(fā)生 考向一 考向二 對點訓練3某市環(huán)保知識競賽由甲 乙兩支代表隊進行總決賽 每隊各有3名隊員 首輪比賽每人一道必答題 答對則為本隊得1分 答錯或者不答都得0分 已知甲隊3人答對的概率分別為 乙隊每人答對的概率都是 設每人回答正確與否相互之間沒有影響 用 表示甲隊總得分 1 求隨機變量 的分布列及其數(shù)學期望E 2 求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下 甲隊比乙隊得分高的概率 考向一 考向二 解 1 由題設知 的可能取值為0 1 2 3 所以 的分布列為 考向一 考向二 2 設 甲隊和乙隊得分之和為4 為事件A 甲隊比乙隊得分高 為事件B 則 考向一 考向二 題型4二項分布例4 2018全國 理20 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝 每箱200件 每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗 如檢驗出不合格品 則更換為合格品 檢驗時 先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗 再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗 設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p 0 p 1 且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立 1 記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f p 求f p 的最大值點p0 考向一 考向二 2 現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件 結果恰有2件不合格品 以 1 中確定的p0作為p的值 已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元 若有不合格品進入用戶手中 則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用 若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗 這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X 求E X 以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù) 是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗 考向一 考向二 令f p 0 得p 0 1 當p 0 0 1 時 f p 0 當p 0 1 1 時 f p 0 所以f p 的最大值點為p0 0 1 考向一 考向二 2 由 1 知 p 0 1 令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù) 依題意知Y B 180 0 1 X 20 2 25Y 即X 40 25Y 所以E X E 40 25Y 40 25E Y 490 如果對余下的產(chǎn)品作檢驗 則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元 由于E X 400 故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗 解題心得對于實際問題中的隨機變量X 如果能夠斷定它服從二項分布B n p 那么其概率 期望與方差可直接利用公式P X k pk 1 p n k k 0 1 2 n E X np D X np 1 p 求得 因此 熟記二項分布的相關公式 可以避免煩瑣的運算過程 提高運算速度和準確度 考向一 考向二 對點訓練4某班將要舉行籃球投籃比賽 比賽規(guī)則是 每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次 在A區(qū)每進一球得2分 不進球得0分 在B區(qū)每進一球得3分 不進球得0分 得分高的選手勝出 已知某參賽選手在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進球的概率分別是 1 如果該選手以在A B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標準 問該選手應該選擇哪個區(qū)投籃 請說明理由 2 求該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率 考向一 考向二 所以該選手應該選擇在A區(qū)投籃 考向一 考向二 2 設 該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分 為事件C 該選手在A區(qū)投籃得4分 且在B區(qū)投籃得3分或0分 為事件D 該選手在A區(qū)投籃得2分 且在B區(qū)投籃得0分 為事件E 則事件C D E 且事件D與事件E互斥 考向一 考向二 題型5超幾何分布例5某手機廠商推出一款智能手機 現(xiàn)對500名該手機使用者 200名女性 300名男性 進行調查 對手機進行打分 打分的頻數(shù)分布表如下 1 完成下列頻率分布直方圖 并比較女性用戶和男性用戶評分的方差大小 不計算具體值 給出結論即可 考向一 考向二 2 根據(jù)評分的不同 采用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶 在這20名用戶中 從評分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶 求3名用戶評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望 女性用戶男性用戶 考向一 考向二 解 1 女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如圖所示 女性用戶男性用戶由圖可得女性用戶的波動大 男性用戶的波動小 故女性用戶評分的方差比男性用戶評分的方差大 考向一 考向二 2 運用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶 評分不低于80分有6人 其中評分小于90分的人數(shù)為4 從6人中任取3人 記評分小于90分的人數(shù)為X 則X的所有可能取值為1 2 3 所以X的分布列為 考向一 考向二 解題心得超幾何分布 一般地 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中 m min M n 且n N M N n M N N 考向一 考向二 對點訓練5甲 乙兩人參加普法知識競賽 共設有10個不同的題目 其中選擇題6個 判斷題4個 1 若甲 乙二人依次各抽一題 計算 甲抽到判斷題 乙抽到選擇題的概率是多少 甲 乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少 2 若甲從中隨機抽取5個題目 其中判斷題的個數(shù)為 求 的分布列和期望 考向一 考向二 解 1 甲抽到判斷題 乙抽到選擇題的概率為 所以 的分布列為 考向一 考向二 考向一 考向二 樣本的均值 方差與正態(tài)分布的綜合例6為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程 檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件 并測量其尺寸 單位 cm 根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗 可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N 2 1 假設生產(chǎn)狀態(tài)正常 記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在 3 3 之外的零件數(shù) 求P X 1 及X的數(shù)學期望 2 一天內抽檢零件中 如果出現(xiàn)了尺寸在 3 3 之外的零件 就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況 需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查 考向一 考向二 試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性 下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸 考向一 考向二 附 若隨機變量Z服從正態(tài)分布N 2 則P 3 Z 3 0 9973 考向一 考向二 解 1 抽取的一個零件的尺寸在 3 3 之內的概率為0 9973 從而零件的尺寸在 3 3 之外的概率為0 0027 故X B 16 0 0027 因此P X 1 1 P X 0 1 0 997316 0 0423 X的數(shù)學期望為E X 16 0 0027 0 0432 2 如果生產(chǎn)狀態(tài)正常 一個零件尺寸在 3 3 之外的概率只有0 0027 一天內抽取的16個零件中 出現(xiàn)尺寸在 3 3 之外的零件的概率只有0 0423 發(fā)生的概率很小 因此一旦發(fā)生這種情況 就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況 需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查 可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的 考向一 考向二 考向一 考向二 解題心得解決正態(tài)分布有關的問題 在理解 2意義的情況下 記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關于 對稱的鐘形曲線 很多問題都是利用圖象的對稱性解決的 考向一 考向二 對點訓練6從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件 測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值 由測量結果得如下頻率分布直方圖 考向一 考向二 1 求這500件產(chǎn)品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2 同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表 2 由直方圖可以認為 這種產(chǎn)品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N 2 其中 近似為樣本平均數(shù) 2近似為樣本方差s2 利用該正態(tài)分布 求P 187 8 Z 212 2 某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品 記X表示這100件產(chǎn)品中質量指標值位于區(qū)間 187 8 212 2 的產(chǎn)品件數(shù) 利用 的結果 求E X 考向一 考向二 解 1 抽取產(chǎn)品的質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為 170 0 02 180 0 09 190 0 22 200 0 33 210 0 24 220 0 08 230 0 02 200 s2 30 2 0 02 20 2 0 09 10 2 0 22 0 0 33 102 0 24 202 0 08 302 0 02 150 2 由 1 知 Z N 200 150 從而P 187 8 Z 212 2 P 200 12 2 Z 200 12 2 0 6827 由 知 一件產(chǎn)品的質量指標值位于區(qū)間 187 8 212 2 的概率為0 6827 依題意知X B 100 0 6827 所以E X 100 0 6827 68 27