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第十二章推理與證明 高考文數(shù) 考點一合情推理與演繹推理1 推理的定義根據(jù)幾個或一個已知的事實 或假設(shè) 得出一個判斷的思維方式叫做推理 它由兩部分組成 一部分是已知的事實 或假設(shè) 叫做前提 一部分是由已知判斷推出的新判斷 叫做結(jié)論 推理可以寫成 如果 那么 因為 所以 根據(jù) 可知 等形式 2 歸納推理 1 定義 根據(jù)某類事物的部分對象具有的某些特征 推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理 或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理 稱為歸納推理 簡而言之 歸納推理是由部分到整體 由個別到一般的推理 知識清單 2 一般步驟 i 通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì) ii 從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題 或猜想 一般地 如果歸納的個別情況越多 越具有代表性 那么推廣的一般性命題就越可靠 3 類比推理 1 定義 由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征 推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理 簡而言之 類比推理是由特殊到特殊的推理 2 一般步驟 i 找出兩類事物之間的相似性或者一致性 ii 用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì) 得出一個明確的命題 或猜想 一般情況下 如果類比的相似性越多 相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān) 那么類比得出的命題就越可靠 類比推理的結(jié)論具有或然性 既可能真 也 可能假 它是一種由特殊到特殊的認識過程 具有十分重要的實用價值 是一種合情推理 4 演繹推理的主要形式是三段論 其一般模式為 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情況 3 結(jié)論 根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷 形式可以表示為 大前提 M是P 小前提 S是M 結(jié)論 S是P 考點二直接證明與間接證明1 綜合法是從原因推導到結(jié)果的思維方法 它是從已知條件出發(fā) 經(jīng)過逐步推理 最后得到待證的結(jié)論 2 分析法是從待證結(jié)論出發(fā) 一步一步地尋求結(jié)論成立的充分條件 最后歸結(jié)為題設(shè)的已知條件或已被證明的事實 3 數(shù)學中的命題 都有題設(shè) 條件 和結(jié)論兩部分 當我們證明一個命題時 不直接從題設(shè)出發(fā)去推證結(jié)論成立 而是從否定這個命題的結(jié)論出發(fā) 通過正確 嚴密的邏輯推理 由此引出一個新的結(jié)論 而這個新結(jié)論與題設(shè)矛盾 或與已知的定義 公理或定理相矛盾 或自相矛盾 得出原結(jié)論的反面不正確 從而肯定原結(jié)論是正確的 這種間接證明的方法叫做反證法 合情推理與演繹推理1 歸納推理是由部分到整體 由個別到一般的推理 在進行歸納時 要先根據(jù)已知的部分個體 把它們適當變形 找出它們之間的聯(lián)系 從而歸納出一般結(jié)論 2 類比推理是由特殊到特殊的推理 是兩類類似對象之間的推理 其中一個對象具有某個性質(zhì) 則另一個對象也具有類似的性質(zhì) 在進行類比時 要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程 然后類比推導類比對象的性質(zhì) 3 演繹推理是由一般到特殊的推理 數(shù)學的證明過程主要是通過演繹推理進行的 只要采用的演繹推理的大前提 小前提和推理形式是正確的 其結(jié)論一定是正確的 一定要注意推理過程的正確性與完備性 方法技巧 例1 2017河南鄭州二模 6 平面內(nèi)凸四邊形有2條對角線 凸五邊形有5條對角線 以此類推 凸13邊形對角線的條數(shù)為 B A 42B 65C 143D 169 解題導引由歸納法找到邊數(shù)與對角線條數(shù)的關(guān)系邊數(shù)為13時 對角線條數(shù)為2 3 4 11結(jié)論 解析可以通過列表歸納分析得到 凸13邊形有2 3 4 11 65條對角線 故選B 直接證明的方法1 綜合法 它的基本思路是 由因?qū)Ч?即從已知看可知 再逐步推向未知 用P表示已知條件或已有的定義 定理 公理等 Q表示所要證明的結(jié)論 則綜合法可以用以下的框圖表示 P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q綜合法又叫順推證法 或者由因?qū)Ч?是數(shù)學中最常用的證明方法 2 分析法 在證明過程中 從結(jié)論出發(fā)的每一步所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件 最后一步歸結(jié)到已知或已被證明了的事實 這個倒推的證明方法就是分析法 例2 2016浙江 20 15分 設(shè)函數(shù)f x x3 x 0 1 證明 1 f x 1 x x2 2 f x