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考點強化練17　全等三角形 夯實基礎 1. (xx南京)如圖,AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上兩點,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為 (　　) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 答案D 解析∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD, ∴∠AFB=∠CED=90,∠A+∠D=90,∠C+∠D=90,∴∠A=∠C. ∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE, ∴AF=CE=a,BF=DE=b, ∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c. 故選D. 2. (xx貴州安順)如圖,點D,E分別在線段AB,AC上,CD與BE相交于O點,已知AB=AC,現添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD(　　) A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD 答案D 解析利用判斷三角形全等的方法判斷即可得出結論. 3. (xx安徽名校聯考)如圖,已知CD=CA,∠1=∠2,要使△ECD≌△BCA,需添加的條件是　　　　　(只寫出一個條件). 答案CE=CB(或∠D=∠A或∠E=∠B) 解析∵∠1=∠2,可得∠DCE=∠ACB.∵CD=CA,若添加CE=CB,可根據“SAS”判斷兩三角形全等;若添加∠D=∠A,可根據“ASA”判斷兩三角形全等;若添加“∠E=∠B”,可根據“AAS”判定兩三角形全等,故答案為CE=CB(或∠D=∠A或∠E=∠B). 4. (xx山東臨沂)如圖,∠ACB=90,AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分別是點D、E,AD=3,BE=1,則DE的長是　　　　　. 答案2 解析根據條件可以得出∠E=∠ADC=90,進而得出△CEB≌△ADC,∴BE=DC=1,CE=AD=3. ∴DE=EC-CD=3-1=2. 5. (xx浙江嘉興)已知:在△ABC中,AB=AC,D為AC的中點,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別為點E,F,且DE=DF.求證:△ABC是等邊三角形. 證明∵DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別為點E,F, ∴∠AED=∠CFD=90, ∵D為AC的中點,∴AD=DC, 在Rt△ADE和Rt△CDF中,AD=DC,DE=DF, ∴Rt△ADE≌Rt△CDF,∴∠A=∠C. ∴BA=BC,∵AB=AC,∴AB=BC=AC. ∴△ABC是等邊三角形. 6.(xx江蘇鎮(zhèn)江)如圖,△ABC中,AB=AC,點E、F在邊BC上,BE=CF,點D在AF的延長線上,AD=AC. (1)求證:△ABE≌△ACF; (2)若∠BAE=30,則∠ADC=　　　　　. (1)證明∵AB=AC,∴∠B=∠ACF, 在△ABE和△ACF中,AB=AC,∠B=∠ACF,BE=CF, ∴△ABE≌△ACF(SAS). (2)∵△ABE≌△ACF,∠BAE=30, ∴∠BAE=∠CAF=30. ∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD, ∴∠ADC=180-302=75. 故答案為75. 7. (xx內蒙古通遼)如圖,△ABC中,D是BC邊上一點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于F,且AF=CD,連接CF. (1)求證:△AEF≌△DEB; (2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論. 證明(1)∵E是AD的中點,∴AE=DE, ∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB. ∴△AEF≌△DEB(AAS). (2)四邊形ADCF是平行四邊形. 證明如下:連接DF, ∵AF∥CD,AF=CD, ∴四邊形ADCF是平行四邊形. ∵△AEF≌△DEB,∴FE=BE. ∵AE=DE, ∴四邊形ABDF是平行四邊形,∴DF=AB, ∵AB=AC,∴DF=AC, ∴四邊形ADCF是矩形. 8. (xx湖北恩施)如圖,△ABC,△CDE均為等邊三角形,連接BD、AE交于點O,BC與AE交于點P.求證:∠AOB=60. 證明在△ACE和△BCD中, AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD. ∴△ACE≌△BCD,∴∠CAE=∠CBD, ∴∠AOB=180-∠BAO-∠ABO=180-∠BAO-∠ABC-∠CBD=180-∠ABC-∠BAO-∠CAE=180-60-60=60. 9.(xx重慶)在△ABM中,∠ABM=45,AM⊥BM,垂足為M.點C是BM延長線上一點,連接AC. (1)如圖1,若AB=32,BC=5,求AC的長; (2)如圖2,點D是線段AM上一點,MD=MC,點E是△ABC外一點,EC=AC,連接ED并延長交BC于點F,且點F是線段BC的中點,求證:∠BDF=∠CEF. (1)解∵AM⊥BM,∴∠AMB=∠AMC=90. ∵∠ABM=45,∴∠ABM=∠BAM=45, ∴AM=BM. ∵AB=32,∴AM=BM=3. ∵BC=5,∴MC=2. ∴AC=22+32=13. (2)證明延長EF到點G,使得FG=EF,連接BG. ∵DM=MC,∠BMD=∠AMC=90,BM=AM, ∴△BMD≌△AMC, ∴AC=BD. 又CE=AC,∴BD=CE, ∵點F是線段BC的中點, ∴BF=FC. ∵BF=FC,∠BFG=∠EFC,FG=FE, ∴△BFG≌△CFE,∴BG=CE,∠G=∠E. ∴BD=CE=BG,∴∠BDG=∠G, ∴∠BDF=∠E. 提升能力 10. (xx山東東營)如圖,點E在△DBC的邊DB上,點A在△DBC內部,∠DAE=∠BAC=90,AD=AE,AB=AC.給出下列結論: ①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正確的是(　　) A.①②③④ B.②④ C.①②③ D.①③④ 答案A 解析∵∠DAE=∠BAC=90, ∴∠DAB=∠EAC, ∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC, ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,故①正確; ∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45,故②正確; ∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45+45=90,∴∠CEB=90,即CE⊥BD,故③正確; ∵BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2,故④正確. 故選A. 11. (xx廣東深圳)如圖,四邊形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且點E,A,B三點共線,AB=4,則陰影部分的面積是　　　　　. 答案8 解析∵四邊形ACDF是正方形, ∴AC=AF,∠CAF=90, ∴∠EAC+∠FAB=90, ∵∠ABF=90,∴∠AFB+∠FAB=90. ∴∠EAC=∠AFB, 在△CAE和△AFB中,∠CAE=∠AFB,∠AEC=∠FBA,AC=AF, ∴△CAE≌△AFB,∴EC=AB=4, ∴陰影部分的面積=12ABCE=8. 12.(xx安徽名校聯考)如圖,在△ABC中,D為AC邊中點,過點D作AC邊垂線,與BC邊交于點E,以點A為圓心,EC長為半徑畫圓,交直線ED于點F,有下列結論:①△AFD≌△CED; ②∠BAC=∠C;③ED=FD;④AB∥EF,其中正確的結論是　　　　　(請將正確結論的序號都填上). ?導學號16734120? 答案①③ 解析①③正確,可以根據HL證明△ADF≌△CDE.②④錯誤,連接AE,可得AE=EC,∠C=∠EAC,推出∠BAC>∠C,無法判斷∠BAC=90,即無法判斷AB∥EF,故④錯誤. 13. (xx江蘇泰州)如圖,正方形ABCD中,G為BC邊上一點,BE⊥AG于E,DF⊥AG于F,連接DE. (1)求證:△ABE≌△DAF; (2)若AF=1,四邊形ABED的面積為6,求EF的長. (1)證明在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90,即∠DAF+∠BAE=90. ∵BE⊥AG,DF⊥AG, ∴∠AEB=∠DFA=90. ∴∠ABE+∠BAE=90, ∴∠ABE=∠DAF, ∴△ABE≌△DAF. (2)解設EF=x,則AE=1+x. 由(1)可知△ABE≌△DAF, 故BE=AF=1,DF=AE=1+x. S四邊形ABED=S△ABE+S△AED=12BEAE+12AEDE=12(1+x)+12(1+x)2, 又S四邊形ABED=6, ∴12(1+x)+12(1+x)2=6, 解得x1=-5(不合題意,舍去),x2=2. 故EF的長為2.