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1.2　整式 [過關演練]　(20分鐘　　55分) 1.(xx湖北荊州)下列代數式中,整式為 (A) A.x+1 B.1x+1 C.x2+1 D.x+1x 【解析】x+1是整式,故A正確;1x+1是分式,故B錯誤;x2+1是二次根式,故C錯誤;x+1x是分式,故D錯誤. 2.(xx廣西貴港)下列運算正確的是 (D) A.2a-a=1 B.2a+b=2ab C.(a4)3=a7 D.(-a)2(-a)3=-a5 【解析】2a-a=a,故A錯誤;2a與b不是同類項,不能合并,故B錯誤;(a4)3=a12,故C錯誤;(-a)2(-a)3=-a5,故D正確. 3.(xx武漢)計算(a-2)(a+3)的結果是 (B) A.a2-6 B.a2+a-6 C.a2+6 D.a2-a+6 【解析】(a-2)(a+3)=a2+a-6. 4.(xx山東淄博)若單項式am-1b2與12a2bn的和仍是單項式,則nm的值是 (C) A.3 B.6 C.8 D.9 【解析】∵單項式am-1b2與12a2bn的和仍是單項式,∴單項式am-1b2與12a2bn是同類項,∴m-1=2,n=2,∴m=3,n=2,∴nm=8. 5.如圖,邊長為a的正方形中陰影部分的面積為 (A) A.a2-πa22 B.a2-πa2 C.a2-πa D.a2-2πa 【解析】由圖可得陰影部分的面積為a2-πa22. 6.(xx四川綿陽)將全體正奇數排成一個三角形數陣: 1 3　 5 7　 9　 11 13　15　17　19 21　23　25　27　29 … 按照以上排列的規(guī)律,第25行第20個數是 (A) A.639 B.637 C.635 D.633 【解析】根據三角形數陣可知,第n行奇數的個數為n,則前n-1行奇數的總個數為1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)2,則第n(n≥3)行從左向右的第m個數為第n(n-1)2+m個奇數,即1+2n(n-1)2+m-1=n2-n+2m-1,當n=25,m=20時,這個數為639. 7.如圖,將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形,第1幅圖形中“●”的個數為a1,第2幅圖形中“●”的個數為a2,第3幅圖形中“●”的個數為a3,…,以此類推,則1a1+1a2+1a3+…+1a19的值為 (C) A.2021 B.6184 C.589840 D.431760 【解析】a1=3=13,a2=8=24,a3=15=35,a4=24=46,…,an=n(n+2).∴1a1+1a2+1a3+…+1a19=113+124+135+…+11921=121-13+12-14+13-15+…+119-121=121+12-120-121=589840. 8.(xx湖北黃岡)若a-1a=6,則a2+1a2值為　8　. 【解析】∵a-1a=6,∴a-1a2=6,∴a2-2+1a2=6,∴a2+1a2=8. 9.(xx黑龍江大慶)若2x=5,2y=3,則22x+y=　75　. 【解析】∵2x=5,2y=3,∴22x+y=(2x)22y=523=75. 10.(xx山東臨沂)已知m+n=mn,則(m-1)(n-1)=　1　. 【解析】(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1,∵m+n=mn,∴(m-1)(n-1)=mn-mn+1=1. 11.(12分)張老師在黑板上寫了三個算式,希望同學們認真觀察,發(fā)現規(guī)律.請你結合這些算式,解答下列問題: (1)驗證規(guī)律:設兩個連續(xù)奇數為2n+1,2n-1(其中n為正整數),則它們的平方差是8的倍數. (2)拓展延伸:“兩個連續(xù)偶數的平方差是8的倍數”,這個結論正確嗎?若正確,請證明;不正確,請舉反例. 請觀察以下算試: ①32-12=81 ②52-32=82 ③72-52=83 解:(1)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)(2n+1+2n-1)=24n=8n, 故兩個連續(xù)奇數的平方差是8的倍數. (2)不正確. 反例:42-22=12, 因為12不是8的倍數,故這個結論不正確. [名師預測] 1.下列運算正確的是 (A) A.(a2)m=a2m B.(2a)3=2a3 C.a3a-5=a-15 D.a3a-5=a-2 【解析】(a2)m=a2m,A正確;(2a)3=23a3=8a3,B錯誤;a3a-5=a3+(-5)=a-2,C錯誤;a3a-5=a3-(-5)=a8,D錯誤. 2.下列多項式在實數范圍內不能因式分解的是 (B) A.x3+2x B.a2+b2 C.y2+y+14 D.m2-4n2 【解析】x3+2x=x(x2+2),A能因式分解;a2+b2無法分解因式,故B正確;y2+y+14=y+122,C能因式分解;m2-4n2=(m+2n)(m-2n),D能因式分解. 3.一列自然數0,1,2,3,…,100.依次將該列數中的每一個數平方后除以100,得到一列新數.則下列結論正確的是 (D) A.原數與對應新數的差不可能等于零 B.原數與對應新數的差,隨著原數的增大而增大 C.當原數與對應新數的差等于21時,原數等于30 D.當原數取50時,原數與對應新數的差最大 【解析】設原數為a,則新數為1100a2,設新數與原數的差為y,則y=a-1100a2=-1100a2+a,當a=0時,y=0,A錯誤;∵-1100<0,∴當a=-b2a=-12-1100=50時,y有最大值,B錯誤,D正確;當y=21時,-1100a2+a=21,解得a1=30,a2=70,C錯誤. 4.下列圖形都是由完全相同的小梯形按一定規(guī)律組成的.如果第1個圖形的周長為5,那么第2個圖形的周長為　8　,第xx個圖形的周長為　6056　. 【解析】∵第1個圖形的周長為2+3=5,第2個圖形的周長為2+32=8,第3個圖形的周長為2+33=11,…,∴第xx個圖形的周長為2+3xx=6056. 5.先化簡,再求值:2x2-3-13x2+23xy-2y2-2(x2-xy+2y2),其中x=12,y=-1. 解:2x2-3-13x2+23xy-2y2-2(x2-xy+2y2) =2x2-(-x2+2xy-2y2)-(2x2-2xy+4y2) =2x2+x2-2xy+2y2-2x2+2xy-4y2 =x2-2y2, 當x=12,y=-1時,原式=-74. 6.用四塊完全相同的小長方形拼成的一個“回形”正方形. (1)用不同代數式表示圖中的陰影部分的面積,你能得到怎樣的等式?試用乘法公式說明這個等式成立; (2)利用(1)中的結論計算:已知a+b=2,ab=34,求a2b-ab2; (3)根據(1)中的結論:若x2-3x+1=0,分別求出x-1x和x4+1x4的值. 解:(1)陰影部分的面積:4ab或(a+b)2-(a-b)2, 得到等式:4ab=(a+b)2-(a-b)2, 說明:(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab. (2)當a+b=2,ab=34時,(a-b)2=(a+b)2-4ab=22-434=4-3=1, ∴a-b=1. ∴a2b-ab2=ab(a-b)=34(1)=34. (3)∵當x=0時,x2-3x+1=1≠0, ∴x2-3x+1=0中x≠0, 則兩邊都除以x,得x-3+1x=0,即x+1x=3, ∴x-1x2=x+1x2-4=9-4=5, 則x-1x=5, x4+1x4=x2+1x22-2=x+1x2-22-2=(32-2)2-2=49-2=47. 7.在現今“互聯網+”的時代,密碼與我們的生活已經緊密相連,密不可分.而諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解,因此利用簡單方法產生一組容易記憶的密碼就很有必要了.有一種用“因式分解”法產生的密碼,方便記憶,其原理是將一個多項式分解因式,如多項式x3+2x2-x-2因式分解的結果為(x-1)(x+1)(x+2),當x=18時,x-1=17,x+1=19,x+2=20,此時可以得到數字密碼171920. (1)根據上述方法,當x=21,y=7時,對于多項式x3-xy2分解因式后可以形成哪些數字密碼?(寫出三個) (2)若一個直角三角形的周長是24,斜邊長為10,其中兩條直角邊分別為x,y,求出一個由多項式x3y+xy3分解因式后得到的密碼.(只需一個即可) (3)若多項式x3+(m-3n)x2-nx-21因式分解后,利用本題的方法,當x=27時可以得到其中一個密碼為242834,求m,n的值. 解:(1)x3-xy2=x(x-y)(x+y), 當x=21,y=7時,x-y=14,x+y=28, 可得數字密碼211428,212814,142128.(答案不唯一) (2)由題意得x+y=14,x2+y2=100, 解得xy=48, 而x3y+xy3=xy(x2+y2), 所以可得數字密碼為48100. (2)由題意得x3+(m-3n)x2-nx-21=(x-3)(x+1)(x+7), ∵(x-3)(x+1)(x+7)=x3+5x2-17x-21, ∴x3+(m-3n)x2-nx-21=x3+5x2-17x-21, ∴m-3n=5,n=17,解得m=56,n=17. 故m,n的值分別是56,17.