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考點強化練23　尺規(guī)作圖 基礎達標 一、選擇題 1.如圖,直線l1,l2,l3是三條彼此相交的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站P,使得P到三條公路的距離相等,則滿足條件的點P有(　　) A.1處 B.2處 C.3處 D.4處 答案D 2.(xx湖北宜昌)尺規(guī)作圖:經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線,下列作圖中正確的是(　　) 答案B 3.下列各條件中,不能作出唯一三角形的條件是(　　) A.已知兩邊和夾角 B.已知兩邊和其中一條邊所對的角 C.已知兩角和夾邊 D.已知兩角和其中一角的對邊 答案B 4. 如圖,在△ABC中,∠C=90,∠B=30,以點A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和N,再分別以點M,N為圓心,大于12MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D,則下列說法:①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60;③點D在AB的中垂線上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正確的個數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案D 5.(xx浙江湖州)尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無數(shù)人沉湎其中.傳說拿破侖通過下列尺規(guī)作圖考他的大臣: ①將半徑為r的☉O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六個等分點; ②分別以點A,D為圓心,AC長為半徑畫弧,G是兩弧的一個交點; ③連接OG. 問:OG的長是多少? 大臣給出的正確答案應是(　　) A.3r B.1+22r C.1+32r D.2r 答案D 解析如圖連接CD,AC,DG,AG. ∵AD是☉O直徑, ∴∠ACD=90, 在Rt△ACD中,AD=2r,∠DAC=30, ∴AC=3r. ∵DG=AG=CA,OD=OA,∴OG⊥AD, ∴∠GOA=90, ∴OG=AG2-OA2=(3r)2-r2=2r,故選D. 6.(xx河南)如圖,已知?AOBC的頂點O(0,0),A(-1,2),點B在x軸正半軸上.按以下步驟作圖:①以點O為圓心,適當長度為半徑作弧,分別交邊OA,OB于點D,E;②分別以點D,E為圓心,大于12DE的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點F;③作射線OF,交邊AC于點G,則點G的坐標為 (　　) A.(5-1,2) B.(5,2) C.(3-5,2) D.(5-2,2) 答案A 解析∵?AOBC的頂點O(0,0),A(-1,2), ∴AH=1,HO=2, ∴Rt△AOH中,AO=5, 由題可得,OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG, ∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=5, ∴HG=5-1,∴G(5-1,2),故選A. 7.(xx江蘇南通)如圖,AB∥CD,以點A為圓心,小于AC長為半徑作圓弧,分別交AB,AC于點E,F,再分別以E,F為圓心,大于12EF的長為半徑作圓弧,兩弧交于點P,作射線AP,交CD于點M,若∠ACD=110,則∠CMA的度數(shù)為(　　) A.30 B.35 C.70 D.45 答案B 解析∵AB∥CD,∠ACD=110,∴∠CAB=70, 由題意得AP平分∠CAB,∴∠CAM=∠BAM=35, ∵AB∥CD,∴∠CMA=∠MAB=35.故選B. 二、填空題 8.(xx江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=5,分別以點A,B為圓心,大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧交點分別為點P,Q,過P,Q兩點作直線交BC于點D,則CD的長是　　　　　. 答案85 解析連接AD. ∵PQ垂直平分線段AB, ∴DA=DB,設DA=DB=x, 在Rt△ACD中,∠C=90,AD2=AC2+CD2, ∴x2=32+(5-x)2,解得x=175, ∴CD=BC-DB=5-175=85.故答案為85. 三、解答題 9.如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,8),點B(6,8). (1)只用直尺(沒有刻度)和圓規(guī),求作一個點P,使點P同時滿足下列兩個條件(要求保留作圖痕跡,不必寫出作法): ①點P到A,B兩點的距離相等; ②點P到∠xOy的兩邊的距離相等. (2)在(1)作出點P后,寫出點P的坐標. 解(1)作圖如下,點P即為所求作的點. (2)設AB的中垂線交AB于點E,交x軸于點F, 由作圖可得,EF⊥AB,EF⊥x軸,且OF=3, ∵OP是∠xOy的平分線, ∴點P的坐標為(3,3). 10.(xx浙江金華)如圖,在66的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1,點A在格點(小正方形的頂點)上.試在各網(wǎng)格中畫出頂點在格點上,面積為6,且符合相應條件的圖形. 解符合條件的圖形如圖所示: 11.(xx廣東)如圖,BD是菱形ABCD的對角線,∠CBD=75, (1)請用尺規(guī)作圖法,作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F;(不要求寫作法,保留作圖痕跡) (2)在(1)條件下,連接BF,求∠DBF的度數(shù). 解(1)如圖所示,直線EF即為所求; (2)∵四邊形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=75,DC∥AB,∠A=∠C. ∴∠ABC=150,∠ABC+∠C=180, ∴∠C=∠A=30, ∵EF垂直平分線段AB,∴AF=FB, ∴∠A=∠FBA=30, ∴∠DBF=∠ABD-∠FBE=45. 12.(xx江蘇無錫)如圖,平面直角坐標系中,已知點B的坐標為(6,4). (1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線AC,它與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和點C,且使∠ABC=90,△ABC與△AOC的面積相等.(作圖不必寫作法,但要保留作圖痕跡) (2)問:(1)中這樣的直線AC是否唯一?若唯一,請說明理由;若不唯一,請在圖中畫出所有這樣的直線AC,并寫出與之對應的函數(shù)表達式. 解(1)如圖△ABC即為所求; (2)這樣的直線不唯一. ①作線段OB的垂直平分線AC,滿足條件,此時直線的解析式為y=-32x+132. ②作矩形OABC,直線AC,滿足條件,此時直線AC的解析式為y=-23x+4. 能力提升 一、選擇題 1.(xx山東濰坊)如圖,木工師傅在板材邊角處作直角時,往往使用“三弧法”,其作法是: (1)作線段AB,分別以A,B為圓心,以AB長為半徑作弧,兩弧的交點為C; (2)以C為圓心,仍以AB長為半徑作弧交AC的延長線于點D; (3)連接BD,BC. 下列說法不正確的是(　　) A.∠CBD=30 B.S△BDC=34AB2 C.點C是△ABD的外心 D.sin2A+cos2D=1 答案D 解析由作圖可知:AC=AB=BC, ∴△ABC是等邊三角形, 由作圖可知:CB=CA=CD, ∴點C是△ABD的外心,∠ABD=90,BD=3AB,∴S△ABD=32AB2,∵AC=CD, ∴S△BDC=32AB2,故A,B,C正確,故選D. 二、填空題 2.(xx山西)如圖,直線MN∥PQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點A,B.小宇同學利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點A為圓心,以任意長為半徑作弧交AN于點C,交AB于點D;②分別以C,D為圓心,以大于12CD長為半徑作弧,兩弧在∠NAB內(nèi)交于點E;③作射線AE交PQ于點F.若AB=2,∠ABP=60,則線段AF的長為　　　　　. 答案23 解析作BG⊥AF,∵MN∥PQ, ∴∠NAB=∠ABP=60, 由題意得,AF平分∠NAB, ∴∠1=∠2=30, ∵∠ABP=∠1+∠3,∴∠3=30, ∴∠1=∠3=30,∴AB=BF,AG=GF, ∵AB=2,∴BG=12AB=1, ∴AG=3,∴AF=2AG=23. 三、解答題 3.(xx福建莆田)如圖是等邊三角形ABC. (1)求作一點D,連接AD,CD,使得四邊形ABCD為菱形;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法) (2)連接BD交AC于點O,若OA=1,求菱形ABCD的面積. 解(1)如圖所示,點D就是所求作的點. (2)在菱形ABCD中,∠BAC=60,OB⊥OA, ∴在Rt△OAB中,tan∠OAB=tan 60=OBOA. ∵OA=1,∴BO=3,BD=23. 又∵AC=2OA=2, ∴菱形ABCD的面積S=12BDAC=23. 4.(xx湖北孝感)如圖,△ABC中,AB=AC,小聰同學利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作: ①作∠BAC的平分線AM交BC于點D; ②作邊AB的垂直平分線EF,EF與AM相交于點P; ③連接PB,PC. 請你觀察圖形解答下列問題: (1)線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關系是　; (2)若∠ABC=70,求∠BPC的度數(shù). 解(1)如圖,PA=PB=PC,理由是: ∵AB=AC,AM平分∠BAC, ∴AD是BC的垂直平分線,∴PB=PC, ∵EP是AB的垂直平分線, ∴PA=PB,∴PA=PB=PC. 故答案為PA=PB=PC. (2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70, ∴∠BAC=180-270=40, ∵AM平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=20, ∵PA=PB=PC, ∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20, ∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20+40+20=80. ?導學號13814066? 5.(xx四川自貢)如圖,在△ABC中,∠ACB=90. (1)作出經(jīng)過點B,圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點E的☉O(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明) (2)設(1)中所作的☉O與邊AB交于異于點B的另外一點D,若☉O的直徑為5,BC=4;求DE的長.(如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形,那么可畫出草圖完成第(2)問) 解(1)☉O如圖所示; (2)作OH⊥BC于點H. ∵AC是☉O的切線,∴OE⊥AC, ∴∠C=∠CEO=∠OHC=90, ∴四邊形ECHO是矩形, ∴OE=CH=52,BH=BC-CH=32, 在Rt△OBH中,OH=522-322=2, ∴EC=OH=2,BE=EC2+BC2=25, ∵∠EBC=∠EBD,∠BED=∠C=90, ∴△BCE∽△BED,∴DEEC=BDBE, ∴DE2=525,∴DE=5.