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單元測試(五) [范圍:四邊形　限時:45分鐘　滿分:100分] 一、選擇題(每題4分,共28分) 1.依次連結菱形的各邊中點,得到的四邊形是 (　　) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 2.如圖D5-1所示,在菱形ABCD中,兩條對角線AC=6,BD=8,則此菱形的邊長為 (　　) 圖D5-1 A.5 B.6 C.8 D.10 3.如圖D5-2所示,把一矩形紙片沿MN折疊后,點D,C分別落在D,C的位置,若∠AMD=36,則∠NFD= (　　) 圖D5-2 A.144 B.126 C.108 D.72 4.下列說法正確的是 (　　) A.有兩條邊和一個角對應相等的兩個三角形全等 B.正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 C.矩形的對角線互相垂直平分 D.六邊形的內角和是540 5.如圖D5-3,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BE∥DF且BE與DF之間的距離為3,則AE的長度是 (　　) 圖D5-3 A.7 B.38 C.78 D.58 6.如圖D5-4,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點,P為對角線BD上的一個動點,則下列線段的長等于AP+EP最小值的是 (　　) 圖D5-4 A.AB B.DE C.BD D.AF 7.圖D5-5中正六邊形ABCDEF與正三角形FCG的面積比為 (　　) 圖D5-5 A.2∶1 B.4∶3 C.3∶1 D.3∶2 二、填空題(每題4分,共20分) 8.若一個正多邊形的每個外角都是36,則這個正多邊形的邊數(shù)是　　　　. 9.如圖D5-6,若菱形ABCD的頂點A,B的坐標分別為(3,0),(-2,0),點D在y軸上,則點C的坐標是　　　　. 圖D5-6 10.如圖D5-7,?ABCD的對角線相交于點O,且AD≠CD,過點O作OM⊥AC,交AD于點M.如果△CDM的周長為8,那么?ABCD的周長是　　　　. 圖D5-7 11.如圖D5-8,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉得到矩形GBEF,點G落在矩形ABCD的邊CD上,連結CE,則CE的長是　　　　. 圖D5-8 12.如圖D5-9,M,N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點,滿足AM=BN,連結AC交BN于點E,連結DE交AM于點F,連結CF,若正方形的邊長為6,則線段CF的最小值是　　　　. 圖D5-9 三、解答題(共52分) 13.(12分)如圖D5-10,在66的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1,點A在格點(小正方形的頂點)上.試在各網(wǎng)格中畫出頂點在格點上,面積為6,且符合相應條件的圖形. 圖D5-10 14.(12分)如圖D5-11,已知E,F分別是?ABCD的邊BC,AD上的點,且BE=DF. (1)求證:四邊形AECF是平行四邊形; (2)若BC=10,∠BAC=90,且四邊形AECF是菱形,求BE的長. 圖D5-11 15.(14分)已知矩形ABCD中,E是AD邊上一個動點,點F,G,H分別是BC,BE,CE的中點. (1)求證:△BGF≌△FHC; (2)設AD=a,當四邊形EGFH是正方形時,求矩形ABCD的面積. 圖D5-12 16.(14分)【問題解決】 一節(jié)數(shù)學課上,老師提出了這樣一個問題:如圖D5-13①,點P是正方形ABCD內一點,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度數(shù)嗎? 小明通過觀察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:將△PBC繞點B逆時針旋轉90,得到△BPA,連結PP,求出∠APB的度數(shù); 思路二:將△APB繞點B順時針旋轉90,得到△CPB,連結PP,求出∠APB的度數(shù). 請參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過程. 【類比探究】 如圖②,若點P是正方形ABCD外一點,PA=3,PB=1,PC=11,求∠APB的度數(shù). 圖D5-13 參考答案 1.A 2.A　[解析] 由菱形的性質可知對角線互相垂直平分,利用勾股定理得AB=5. 3.B　[解析] 由折疊的性質可求得∠DMD=144,∠NMD=∠NMD=∠MNF=72,而∠D=90,所以∠NFD=126.故選B. 4.B　[解析] A選項,三角形的其中兩條邊對應相等,且兩條邊的夾角也對應相等的兩個三角形全等,故錯誤; B選項,正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,故正確; C選項,矩形的對角線互相平分且相等,不垂直,故錯誤; D選項,六邊形的內角和為720,故錯誤.故選B. 5.C　[解析] 作EG⊥DF于G, 因為BE∥DF,所以∠BEG=90, 所以∠AEB+∠DEG=90. 又∠AEB+∠ABE=90, 所以∠DEG=∠ABE. 因為AB=EG=3,所以△ABE≌△GED,所以ED=BE. 在Rt△ABE中,AE2+AB2=BE2=(4-AE)2, 解得AE=78,故選C. 6.D　[解析] 取CD中點E,連結AE,PE, 由正方形的軸對稱的性質可知EP=EP,AF=AE, ∴AP+EP=AP+EP, ∴AP+EP的最小值是AE, 即AP+EP的最小值是AF. 故選D. 7.D　[解析] 連結AD,BE,設△EDG的面積為a,則正六邊形ABCDEF的面積為6a,正三角形FCG的面積為4a,故所求面積比為3∶2. 8.10　[解析] 任意多邊形的外角和均為360,而正多邊形的每個外角都相等,故36036=10. 9.(-5,4)　[解析] 由A(3,0),B(-2,0),得AO=3,AB=5. 在菱形ABCD中,CD=AD=AB=5. 在Rt△AOD中,由勾股定理得,OD=AD2-AO2=4, 所以C(-5,4). 10.16　[解析] 在?ABCD中,AD=BC,AB=CD, ∵點O為AC的中點,OM⊥AC, ∴MO為AC的垂直平分線,∴MC=MA, ∴△CDM的周長=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8, ∴平行四邊形ABCD的周長=2(AD+CD)=16. 11.3105　[解析] 根據(jù)“圖形旋轉的性質,相似三角形性質”,連結AG,在Rt△BCG中,根據(jù)勾股定理求出CG=4,所以DG=1.在Rt△ADG中,根據(jù)勾股定理求出AG=10,再利用△ABG∽△CBE,得對應邊成比例,可得CE=3105. 12.35-3　[解析] 連結BD交AC于O,取AD中點P,由于AM=BN,∠ADM=∠BCN=90,AD=BC,所以△ADM≌△BCN,所以DM=CN,當點M與點D重合時CF=CD=6,當點M與點C重合時CF=CO=32,觀察圖形可以確定點F在以AD為直徑的圓弧上運動,CF的最小值為CP與圓弧的交點.由勾股定理得CP=35,CF的最小值為35-3. 13.解:如圖所示.(答案不唯一) 14.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥BC,且AD=BC,∴AF∥EC. ∵BE=DF,∴AF=EC, ∴四邊形AECF是平行四邊形. (2)∵四邊形AECF是菱形, ∴AE=CE,∴∠BCA=∠EAC. ∵∠BAC=90,∴∠EAB=90-∠EAC,∠B=90-∠BCA,∴∠EAB=∠B, ∴AE=BE,∴BE=AE=CE=12BC=5. 15.解:(1)證明:∵點F是BC邊上的中點,∴BF=FC. ∵點F,G,H分別是BC,BE,CE的中點, ∴GF,FH是△BEC的中位線,∴GF=HC,FH=BG. 在△BGF和△FHC中,BF=FC,BG=FH,FG=CH, ∴△BGF≌△FHC(SSS). (2)當四邊形EGFH是正方形時, ∠BEC=90,FG=GE=EH=FH. ∵FG,FH是△BEC的中位線, ∴BE=CE,∴△BEC是等腰直角三角形,連結EF, ∴EF⊥BC,EF=12BC=12AD=12a, ∴S矩形ABCD=ADEF=a12a=12a2. ∴矩形ABCD的面積為12a2. 16.[解析] 將△PBC繞點B逆時針旋轉90得到△PBA,連結PP,得到等腰直角三角形BPP,從而得到PP=22,∠BPP=45,又AP=CP=3,AP=1,∴AP2+PP2=1+8=9=PA2,∴根據(jù)勾股定理的逆定理得∠APP=90,從而求出∠APB=45+90=135. 將△PBC繞點B逆時針旋轉90,得到△PBA,連結PP,方法和上述類似,求出∠APB=45. 解:【問題解決】如圖①,將△PBC繞點B逆時針旋轉90,得到△PBA,連結PP. ① ∵PB=PB=2,∠PBP=90, ∴PP=22,∠BPP=45. 又AP=CP=3,AP=1, ∴AP2+PP2=1+8=9=PA2, ∴∠APP=90,∴∠APB=45+90=135. 【類比探究】如圖②,將△PBC繞點B逆時針旋轉90,得到△PBA,連結PP. ② ∵PB=PB=1, ∠PBP=90, ∴PP=2,∠BPP=45. 又AP=CP=11,AP=3, ∴AP2+PP2=9+2=11=PA2, ∴∠APP=90, ∴∠APB=90-45=45.