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考點強化練17　直角三角形與銳角三角函數(shù) 基礎達標 一、選擇題 1.已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,則△ABC的形狀是(　　) 　　　　 　　　　　 　　　　　 A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形 答案C 2.(xx湖北孝感)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AB=10,AC=8,則sin A等于(　　) 　　　　 　　　　　 　　　　　 A.35 B.45 C.34 D.43 答案A 解析在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=8, ∴BC=AB2-AC2=102-82=6, ∴sin A=BCAB=610=35,故選A. 二、填空 3. (xx浙江湖州)如圖,已知菱形ABCD,對角線AC,BD相交于點O.若tan ∠BAC=13,AC=6,則BD的長是　　　　　. 答案2 解析∵四邊形ABCD是菱形,AC=6, ∴AC⊥BD,OA=12AC=3,BD=2OB. 在Rt△OAB中,∵∠AOD=90, ∴tan ∠BAC=OBOA=13, ∴OB=1, ∴BD=2. 4. (xx浙江寧波)如圖,某高速公路建設中需要測量某條江的寬度AB,飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分別為45和30.若飛機離地面的高度CH為1 200米,且點H,A,B在同一水平直線上,則這條江的寬度AB為　　　　　米(結(jié)果保留根號). 答案1 200(3-1) 解析由于CD∥HB, ∴∠CAH=∠ACD=45,∠B=∠BCD=30, 在Rt△ACH中,∵∠CAH=45 ∴AH=CH=1 200米, 在Rt△HCB中,∵tan B=CHHB, ∴HB=CHtanB=1 200tan30 =1 20033=1 2003(米). ∴AB=HB-HA =1 2003-1 200 =1 200(3-1)米. 三、解答題 5. (xx江蘇徐州)如圖,一座堤壩的橫截面是梯形,根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù),求壩高和壩底寬.(精確到0.1 m)(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3≈1.732) 解如圖所示,過點A,D分別作BC的垂線AE,DF交BC于點E,F, 所以△ABE,△CDF均為直角三角形,又因為CD=14 m,∠DCF=30,所以DF=7(m)=AE,且FC=73(m)≈12.1(m) 所以BC=7+6+12.1=25.1(m). 6.(xx四川南充)計算:(1-2)2-1-220+sin 45+12-1. 解原式=2-1-1+22+2=322. 7. 小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC,并測得B,C兩點的俯角分別為45,35.已知大橋BC與地面在同一水平面上,其長度為100 m,請求出熱氣球離地面的高度.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):sin 35≈712,cos 35≈56,tan 35≈710) 解作AD⊥BC交CB的延長線于點D,設AD為x m, 由題意得,∠ABD=45,∠ACD=35, 在Rt△ADB中,∵∠ABD=45,∴DB=x. 在Rt△ADC中,∵∠ACD=35, ∴tan ∠ACD=ADCD. ∴xx+100=710,解得,x≈233. 答:熱氣球離地面的高度約為233 m. 能力提升 一、選擇題 1.已知α為銳角,且2cos (α-10)=1,則α等于(　　) A.50 B.60 C.70 D.80 答案C 2.(xx貴州貴陽)如圖,A,B,C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長為1,則tan ∠BAC的值為 (　　) A.12 B.1 C.33 D.3 答案B 解析連接BC, 由網(wǎng)格可得AB=BC=5,AC=10, 即AB2+BC2=AC2, ∴△ABC為等腰直角三角形, ∴∠BAC=45, 則tan ∠BAC=1. 3.(xx四川綿陽)一艘在南北航線上的測量船,于A點處測得海島B在點A的南偏東30方向,繼續(xù)向南航行30海里到達C點時,測得海島B在C點的北偏東15方向,則海島B離此航線的最近距離是(　　)(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)(參考數(shù)據(jù):3≈1.732,2≈1.414) A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海里 答案B 解析如圖所示, 由題意知,∠BAC=30,∠ACB=15, 作BD⊥AC于點D,以點B為頂點、BC為邊,在△ABC內(nèi)部作∠CBE=∠ACB=15, 則∠BED=30,BE=CE, 設BD=x, 則AB=BE=CE=2x,AD=DE=3x, ∴AC=AD+DE+CE=23x+2x, ∵AC=30, ∴23x+2x=30, 解得:x=15(3-1)2≈5.49, 故選B. 二、填空題 4.(xx山東濱州)在△ABC中,∠C=90,若tan A=12,則sin B=　　　　. 答案255 解析如圖所示, ∵∠C=90,tan A=12, ∴設BC=x,則AC=2x,故AB=5x, 則sin B=ACAB=2x5x=255. 5.(xx山東泰安)如圖,在△ABC中,AC=6,BC=10,tan C=34,點D是AC邊上的動點(不與點C重合),過點D作DE⊥BC,垂足為E,點F是BD的中點,連接EF,設CD=x,△DEF的面積為S,則S與x之間的函數(shù)關系式為　　　　　　　. 答案S=-325x2+32x 解析(1)在Rt△CDE中,tan C=34,CD=x ∴DE=35x,CE=45x, ∴BE=10-45x, ∴S△BED=1210-45x35x =-625x2+3x. ∵DF=BF, ∴S=12S△BED=-325x2+32x. 6.(xx江蘇無錫)已知△ABC中,AB=10,AC=27,∠B=30,則△ABC的面積等于　　　　　. 答案153或103 解析作AD⊥BC交BC(或BC延長線)于點D, ①如圖1,當AB,AC位于AD異側(cè)時, 圖1 在Rt△ABD中,∵∠B=30,AB=10, ∴AD=ABsin B=5,BD=ABcos B=53, 在Rt△ACD中,∵AC=27, ∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3, 則BC=BD+CD=63, ∴S△ABC=12BCAD=12635=153; ②如圖2,當AB,AC在AD的同側(cè)時, 圖2 由①知,BD=53,CD=3, 則BC=BD-CD=43, ∴S△ABC=12BCAD=12435=103. 綜上,△ABC的面積是153或103. 三、解答題 7.(xx山東臨沂)如圖,有一個三角形的鋼架ABC,∠A=30,∠C=45,AC=2(3+1)m.請計算說明,工人師傅搬運此鋼架能否通過一個直徑為2.1 m的圓形門? 解工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1 m的圓形門. 理由是:過點B作BD⊥AC于點D, ∵AB>BD,BC>BD,AC>AB, ∴求出DB長和2.1 m比較即可, 設BD=x m, ∵∠A=30,∠C=45, ∴DC=BD=x m,AD=3BD=3x m, ∵AC=2(3+1)m, ∴x+3x=2(3+1), ∴x=2, 即BD=2 m<2.1 m, ∴工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1 m的圓形門. 8.(xx廣西桂林)如圖所示,在某海域,一般指揮船在C處收到漁船在B處發(fā)出的求救信號,經(jīng)確定,遇險拋錨的漁船所在的B處位于C處的南偏西45方向上,且BC=60海里;指揮船搜索發(fā)現(xiàn),在C處的南偏西60方向上有一艘海監(jiān)船A,恰好位于B處的正西方向.于是命令海監(jiān)船A前往搜救,已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時,則漁船在B處需要等待多長時間才能得到海監(jiān)船A的救援?(參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3=1.73,6≈2.45,結(jié)果精確到0.1小時) 解因為A在B的正西方,延長AB交南北軸于點D,則AB⊥CD于點D ∵∠BCD=45,BD⊥CD, ∴BD=CD, 在Rt△BDC中, ∵cos ∠BCD=CDBC,BC=60海里, 即cos 45=CD60=22,解得CD=302海里, ∴BD=CD=302海里. 在Rt△ADC中,∵tan ∠ACD=ADCD, 即tan 60=AD302=3,解得AD=306海里. ∵AB=AD-BD, ∴AB=306-302=30(6-2)海里. ∵海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時, ∴漁船在B處需要等待的時間為AB30=30(6-2)30=6-2≈2.45-1.41=1.04≈1.0小時. 故漁船在B處需要等待約1.0小時. ?導學號13814055?