《2018-2019學年高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.2 演繹推理講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.2 演繹推理講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2．1.2　演繹推理 看下面兩個問題： (1)?是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以?是集合A的真子集； (2)循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，0.33是循環(huán)小數(shù)，所以0.33是有理數(shù)． 問題1：這兩個問題中的第一句都說明什么？ 提示：都說的一般原理． 問題2：第二句又說什么？ 提示：都說的特殊示例． 問題3：第三句呢？ 提示：由一般原理對特殊示例作出判斷． 1．演繹推理 含義 由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法． 特點 (1)演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結論是蘊涵于前提之中的個別、特殊事實，結論完全蘊涵于前提之中． (2)在演繹推理中，前提與結論之間存在必然的聯(lián)系． (3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它缺少創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學的理論化和系統(tǒng)化. 2．三段論 一般模式 常用格式 大前提 提供了一個一般性的原理 M是P 小前提 指出了一個特殊對象 S是M 結論 揭示了一般原理與特殊對象的內(nèi)在聯(lián)系 S是P 1．演繹推理是由一般到特殊的推理，一種必然性的推理，這決定了演繹推理的結論不會超出前提所界定的范圍，所以其前提與結論之間的聯(lián)系是必然的． 2．三段論中大前提是一個一般性結論，是共性，小前提是指其中的一個，結論為這一個也具有大前提中的結論．要得到一個正確的結論，大前提和小前提都必須正確，二者中有一個錯誤，結論就不正確． 把演繹推理寫成三段論 [例1]　將下面的演繹推理寫成三段論的形式： (1)所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)，曲線C：＋y2＝1是橢圓，所以曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1)． (2)等比數(shù)列的公比都不為零，數(shù)列{2n}(n∈N*)是等比數(shù)列，所以數(shù)列{2n}的公比不為零． [思路點撥]　這種類型的題目只要明確各推理案例中的大前提、小前提與結論即可． [精解詳析]　(1)大前提：所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)． 小前提：曲線C：＋y2＝1是橢圓． 結論：曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1)． (2)大前提：等比數(shù)列的公比都不為零． 小前提：數(shù)列{2n}(n∈N*)是等比數(shù)列． 結論：數(shù)列{2n}的公比不為零． [一點通]　演繹推理的重要形式是三段論，分清大前提、小前提和結論是解題的關鍵．大前提是給出一般性的原理，小前提是指出特殊對象，結論是體現(xiàn)一般性原理與特殊對象的內(nèi)在聯(lián)系的必然結果． 1．用三段論的形式寫出下列演繹推理． (1)菱形的對角線相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的對角線相互垂直． (2)若兩角是對頂角，則此兩角相等，所以若兩角不是對頂角，則此兩角不相等． (3)0.332是有理數(shù)． (4)y＝sin x(x∈R)是周期函數(shù)． 解：(1)因為菱形的對角線相互垂直，(大前提) 正方形是菱形，(小前提) 所以正方形的對角線相互垂直．(結論) (2)如果兩個角是對頂角，則這兩個角相等，(大前提) ∠1和∠2不是對頂角，(小前提) 所以∠1和∠2不相等．(結論) (3)因為所有的有限小數(shù)是有理數(shù)，(大前提) 0．332是有限小數(shù)，(小前提) 所以0.332是有理數(shù)．(結論) (4)因為三角函數(shù)是周期函數(shù)，(大前提) y＝sin x(x∈R)是三角函數(shù)，(小前提) 所以y＝sin x是周期函數(shù)．(結論) 2．指出下列各演繹推理中的大前提、小前提，并判斷結論是否正確． (1)a∥b一定有a＝λb(λ∈R)，向量c與向量d平行，所以c＝λd. (2)指數(shù)函數(shù)y＝ax(01)是增函數(shù)，y＝xα(α>1)是指函數(shù)，所以y＝xα(α>1)是增函數(shù)”，在以上演繹推理中，下列說法正確的命題序號是________． ①推理完全正確　②大前提不正確?、坌∏疤岵徽_　④推理形式不正確 解析：∵y＝xα(α>1)是冪函數(shù)，而不是指數(shù)函數(shù)，∴小前提錯誤． 答案：③ 3．“公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為關于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)，{bn}的前n項和為Sn＝n2＋3n.所以{bn}為等差數(shù)列”．上述推理中，下列說法正確的序號是________． ①大前提錯誤?、谛∏疤徨e誤　③結論錯誤?、苷_ 解析：該推理過程中，大前提、小前提、結論都正確． 答案：④ 4．三段論“①只有船準時起航，才能準時到達目的港，②這艘船是準時到達目的港的，③這艘船是準時起航的．”中的小前提是序號________． 解析：該推理的大前提是①，小前提是③，結論是②. 答案：③ 5．α<0，冪函數(shù)y＝xα的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，y＝x－2是冪函數(shù)，由“三段論”可得結論________． 解析：“三段論”的結論是蘊涵于前提之中的特殊事實，結合大前提，小前提可得答案． 答案：y＝x－2的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù) 二、解答題 6．將下面的演繹推理寫成三段論的形式： (1)在一個標準大氣壓下，水的沸點是100℃，所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100℃時，水會沸騰． (2)兩直線平行，同位角相等，如果∠A與∠B是兩平行直線被第三條直線所截而成的同位角，則∠A＝∠B. 解：(1)大前提：在一個標準大氣壓下，水的沸點是100℃， 小前提：在一個標準大氣壓下把水加熱到100℃， 結論：水會沸騰． (2)大前提：兩條直線平行，同位角相等． 小前提：∠A與∠B是兩平行直線被第三條直線所截而成的同位角． 結論：∠A＝∠B. 7．已知函數(shù)f(x)＝(ax－a－x)，其中a＞0，且a≠1. (1)判斷函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性，并加以證明； (2)判斷f(2)－2與f(1)－1，f(3)－3與f(2)－2的大小關系，由此歸納出一個更一般的結論，并加以證明． 解：(1)由已知得f′(x)＝(ax＋a－x)＞0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)． (2)f(2)－2＞f(1)－1，f(3)－3＞f(2)－2. 一般的結論：f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)． 證明如下： 上述不等式等價于f(n＋1)－f(n)＞1，即＞1， 化簡得(an＋1－1)(an－1)＞0， 在a＞0且a≠1的條件下，(an＋1－1)(an－1)＞0顯然成立， 故f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)成立． 8．已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列．lg a1、lg a2、lg a4成等差數(shù)列，又bn＝(n＝1,2,3，…)．證明：{bn}為等比數(shù)列． 證明：∵lg a1、lg a2、lg a4成等差數(shù)列， ∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a＝a1a4. 若{an}的公差為d， 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2， 從而d(d－a1)＝0. ①若d＝0，{an}為常數(shù)列，相應{bn}也是常數(shù)列，此時{bn}是首項為正數(shù)，公比為1的等比數(shù)列． ②若d＝a1≠0， 則a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝＝. 這時{bn}是首項b1＝，公比為的等比數(shù)列． 綜上，{bn}為等比數(shù)列．