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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (V) （本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘） 第卷（選擇題 共50分） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的值是（ ） A．1 B．2 C． D． 2. 觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是（ ） A． B． C． D． 3. 類(lèi)比“兩角和與差的正、余弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)：，，其中，且，下面正確的運(yùn)算公式是（ ） ①； ②； ③； ④. A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4. 設(shè)函數(shù)處可導(dǎo)，則（ ） A． B． C． D． 5. 的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（ ） A． B． C．297 D．207 6. 某校有六間不同的電腦室，每天晚上至少開(kāi)放兩間，欲求不同安排方案的種數(shù)，現(xiàn)有3位同學(xué)分別給出了下列三個(gè)結(jié)果：①；②；③，其中正確的結(jié)論是（ ） A．① B．①與② C．②與③ D．①②③ 7. 曲線(xiàn)與直線(xiàn)以及軸所圍圖形的面積為（ ） A．2 B． C． D． 8. 若，，，則以下結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D．，大小不定 9. 已知復(fù)數(shù)，，若，則（ ） A．或 B． C． D． 10．若函數(shù)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，，且，，，，則的大小關(guān)系是 ( ) A． B． C． D． 第卷（非選擇題 共100分） 二、填空題:本大題共5小題，每小題5分，共25分. 11. 定義運(yùn)算，則符合條件的復(fù)數(shù)__________． 12. 若，且，則__________． 13. 已知，若，則_____________（填）. 14. 如下圖所示的數(shù)陣中，第10行第2個(gè)數(shù)字是________． 1 ………………………… 15. _________. 三、解答題:本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 16.（本小題滿(mǎn)分12分） 已知復(fù)數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí): （1）為實(shí)數(shù)；（2）為虛數(shù)；（3）為純虛數(shù)；（4）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限． 17.（本小題滿(mǎn)分12分） (1)若的展開(kāi)式中，的系數(shù)是的系數(shù)的倍，求； (2)已知的展開(kāi)式中, 的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng),求； (3)已知的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于,求. 18.（本小題滿(mǎn)分12分） 已知函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，． （1）求； （2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明． 19.（本小題滿(mǎn)分12分） 對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，生產(chǎn)成本、銷(xiāo)售收入和利潤(rùn)之間的關(guān)系是個(gè)重要的問(wèn)題.對(duì)一家藥品生產(chǎn)企業(yè)的研究表明：該企業(yè)的生產(chǎn)成本（單位：萬(wàn)元）和生產(chǎn)收入（單位：萬(wàn)元）都是產(chǎn)量（單位：）的函數(shù)，它們分別為和. （1）試求出該企業(yè)獲得的生產(chǎn)利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？ 20.（本小題滿(mǎn)分13分） 已知為實(shí)數(shù)，. （1）求導(dǎo)數(shù)； （2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求在區(qū)間上的最大值和最小值； （3）若在區(qū)間和上都是單調(diào)遞增的，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 21.（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù) （1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）設(shè)函數(shù)，求證：． 曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)xx高二第二學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題：ABDCD CAABD 二、填空題:11. 12. 11; 13. ; 14. ; 15. -99！ 三、解答題: 16.解：（1）由，得 或. 所以，當(dāng)或時(shí)，為實(shí)數(shù)；………………………………………………………………3分 （2）由，得 且. 所以，當(dāng)且時(shí)，為虛數(shù)；………………………………………………………6分 （3）由得 ． 所以，當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)；………………………………………………………………………9分 （4）由得 所以，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．…………………………………………12分 17.解：（1）的二項(xiàng)式系數(shù)是，的二項(xiàng)式系數(shù)是.依題意有………………………1分 ……………………………………………………………………………4分 （2）依題意，得 …………………………………………………………………5分 即 ……………………………………………………………………8分 （3）依題意得………………………………………………………………9分 …………………………………………………………………………………………10分 即 解得，或 所以.………………………………………………………………………………12分 18.解：（1）由題意，得 ， ， ， ．………………………………………………3分 （2）猜想：.………………………………………………………………5分 證明：①當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立. ……6分（注：不寫(xiě)出的表達(dá)式扣1分） ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，…………………………………………7分 那么，當(dāng)時(shí)， ………………………………………………………10分 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.………………………………………………………………11分 由①，②可知，對(duì)于一切自然數(shù)都成立．……………………………12分 19.解：（1） ……………………………………………………………2分 即……………………………4分（注：不寫(xiě)定義域“”扣1分） （2） ……………………………………………………5分 令，得 或……………………………………………………………………………………6分 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 極小值 極大值 由上表可知：是函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)時(shí)，取得取最大值.…………………………………………………………………………………………………………11分 答：當(dāng)產(chǎn)量為15時(shí)，該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元. ……………………12分 20. 解：（1）， ．………………………………………………………………………………3分 （2）由，得 . ，．……………………………………………………6分 由，得 或．…………………………………………………………………………………7分 又，，，， 在區(qū)間上的最大值為，最小值為．……………………………………………9分 （3）的圖象是開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn). 由已知，得 ……………………………………………………………………………11分 ， 的取值范圍為．……………………………………………………………………………13分 21. 解：（1）當(dāng)時(shí)，，． 令，得 …………………………………………………………………………………………1分 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.…………………………………………………2分 因此，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.………………………………3分 （2）由可知：是偶函數(shù)．于是，對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立．……………………………………………………………………………4分 由，得 ．…………………………………………………………………………………………5分 ① 當(dāng)時(shí)，，此時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增． 故，符合題意．…………………………………………………………………6分 ② 當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 極小值 由上表可知：在區(qū)間上，．……………………………………8分 依題意，得 . 又． 綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是．……………………………………………………………………9分 （3）， 當(dāng)，且時(shí)， ， 即 ，………………………………………………………………………12分 ，，…， ， 故．………………………………………………………14分