2019屆高考數學一輪復習 第十章 復數、算法、推理與證明 課堂達標57 合情推理與演繹推理 文 新人教版.doc
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課堂達標(五十七) 合情推理與演繹推理 [A基礎鞏固練] 1．(2018洛陽統(tǒng)考)下面四個推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是( ) A．大前提：無限不循環(huán)小數是無理數；小前提：π是無理數；結論：π是無限不循環(huán)小數 B．大前提：無限不循環(huán)小數是無理數；小前提：π是無限不循環(huán)小數；結論：π是無理數 C．大前提：π是無限不循環(huán)小數；小前提：無限不循環(huán)小數是無理數；結論：π是無理數 D．大前提：π是無限不循環(huán)小數；小前提：π是無理數；結論：無限不循環(huán)小數是無理數 [解析] A項中小前提不正確，選項C、D都不是由一般性結論到特殊性結論的推理，所以選項A、C、D都不正確，只有B項的推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確． [答案] B 2．(2018西安八校聯考)觀察一列算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，…，則式子3?5是第( ) A．22項 B．23項 C．24項 D．25項 [解析] 兩數和為2的有1個，和為3的有2個，和為4的有3個，和為5的有4個，和為6的有5個，和為7的有6個，前面共有21個，3?5是和為8的第3項，所以為第24項． [答案] C 3．(2018泉州模擬)正偶數列有一個有趣的現象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…按照這樣的規(guī)律，則2 016所在等式的序號為( ) A．29 B．30 C．31 D．32 [解析] 由題意知，每個等式正偶數的個數組成等差數列3,5,7，…，2n＋1，…，其前n項和Sn＝＝n(n＋2)且S31＝1 023，即第31個等式中最后一個偶數是1 0232＝2 046，且第31個等式中含有63個偶數，故2 016在第31個等式中． [答案] C 4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導函數，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，則f2 017(x)＝( ) A．sin x＋cos x B．－sin x－cos x C．sin x－cos x D．－sin x＋cos x [解析] f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x，f6(x)＝f′5(x)＝cos x－sin x，…， 可知fn(x)是以4為周期的函數，因為2 017＝5044＋1，所以f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x．故選A. [答案] A 5．若數列{an}是等差數列，則數列{bn}也為等差數列．類比這一性質可知，若正項數列{cn}是等比數列，且{dn}也是等比數列，則dn的表達式應為( ) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ [解析] 若{an}是等差數列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}為等差數列； 若{cn}是等比數列，則c1c2…cn＝cq1＋2＋…＋(n－1)＝c1q，∴dn＝＝c1q，即{dn}為等比數列，故選D. [答案] D 6．在直角坐標系xOy中，一個質點從A(a1，a2)出發(fā)沿圖中路線依次經過B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此規(guī)律一直運動下去，則a2 015＋a2 016＋a2 017等于( ) A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009 [解析] 由直角坐標系可知A(1,1)，B(－1,2)，C(2,3)，D(－2,4)，E(3,5)，F(－3,6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…， 由此可知，所有數列偶數個都是從1開始逐漸遞增的，且都等于所在的個數除以2，則a2 016＝1 008，每四個數中有一個負數，且為每組的第三個數，每組的第1個奇數和第2個奇數互為相反數，且從－1開始逐漸遞減的，則2 0154＝503余3，則a2 015＝504，a2 0174＝504余1，∴則a2 017＝505，∴a2 015＋a2 016＋a2 017＝－504＋1 008＋505＝1 009. [答案] D 7．(2018云南名校聯考)觀察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根據上述規(guī)律，第n個等式為______． [解析] 由第一個等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二個等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三個等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四個等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n個等式為13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝2. [答案] 13＋23＋33＋43＋…＋n3＝2 8．已知f(x)＝，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，經計算：f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，照此規(guī)律，則fn(x)＝__________. [解析] 因為f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，所以fn(x)＝. [答案] 9．在平面上，我們如果用一條直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按下圖所標邊長，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個側面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結論是______． [解析] 將側面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得S＋S＋S＝S. [答案] S＋S＋S＝S 10．在銳角三角形ABC中，求證：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C. [證明] ∵△ABC為銳角三角形，∴A＋B>， ∴A>－B，∵y＝sin x在上是增函數， ∴sin A>sin＝cos B， 同理可得sin B>cos C，sin C>cos A， ∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C. [B能力提升練] 1．[]表示不超過的最大整數． 若S1＝[]＋[]＋[]＝3， S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10， S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21， … 則Sn＝( ) A．n(n＋2) B．n(n＋3) C．(n＋1)2－1 D．n(2n＋1) [解析] 觀察得到：Sn是從開始到(不含)之前共2n＋1個n的和，所以Sn為n(2n＋1)，即[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)． [答案] D 2．已知面積為S的凸四邊形中，四條邊長分別記為a1，a2，a3，a4，點P為四邊形內任意一點，且點P到四條邊的距離分別記為h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質，體積為V的三棱錐的每個面的面積分別記為S1，S2，S3，S4，此三棱錐內任一點Q到每個面的距離分別為H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝K，則H1＋2H2＋3H3＋4H4＝( ) A. B. C. D. [解析] 根據三棱錐的體積公式，得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝. [答案] B 3．通過計算可得下列等式： 23－13＝312＋31＋1； 33－23＝322＋32＋1； 43－33＝332＋33＋1； …； (n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1. 將以上各等式兩邊分別相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． 類比上述求法，請你求出13＋23＋33＋…＋n3的值． [解] ∵24－14＝413＋612＋41＋1； 34－24＝423＋622＋42＋1； 44－34＝433＋632＋43＋1； …； (n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1. 將以上各式兩邊分別相加，得(n＋1)4－14 ＝4(13＋23＋…＋n3)＋6(12＋22＋…＋n2)＋4(1＋2＋…＋n)＋n，∴13＋23＋…＋n3 ＝ ＝n2(n＋1)2. 4．如圖，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S＝π(R2－r2)＝(R－r)2π.所以，圓環(huán)的面積等于以線段AB＝R－r為寬，以AB中點繞圓心O旋轉一周所形成的圓的周長2π為長的矩形面積．請你將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：若將平面區(qū)域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0
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