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基本不等式的證明
（答題時間：40分鐘）
1. 已知下列不等式①x＋≥2 ②x2＋≥2 ③x＜0，x＋≤－2 ④x＞0，x＋≥2
其中不等式成立的是 。（填寫序號即可）
*2. 下列不等式的推導過程正確的是________。（填序號）
①若a，b∈R，則＋≥2＝2；
②若x＞0，則 cos x＋＝2；
③若x＜0，則＝4；
④若a，b∈R，且ab＜0，則＋＝－[（－）＋（－）]≤－2＝-2。
*3. 若0
>>b ② b>>>a
③ b>>>a ④ b>a>>
4. 若a<1，則a＋有最______（填“大”或“小”）值，為________。
*5. 若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍為________。
6. 已知m＝a＋ （a＞2），n＝22－b2（b≠0），則m，n之間的大小關系是________。
**7.（新課標Ⅱ）設a，b，c均為正數，且a＋b＋c＝1，證明：
（1）ab＋bc＋ca≤；（2） ≥1。
**8.（蘇州市期末）已知a，b，x，y都是正數，且a＋b＝1，
求證：（ax＋by）（bx＋ay）≥xy。
***9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：
（1）≥8；
（2）≥9。
1. ② ③ ④
解析：①中，若x＜0，則結論不成立；
②中，，成立；
③，成立；
④，成立。
2. ④
解析：對于①，不能確定與均為正數，不能使用基本不等式，同理，知②也不正確。對于③，x與均為負數，也不能使用基本不等式，所以③錯誤。對于④，將負數與分別轉化為正數－，－，然后再利用基本不等式求解，所以正確。故填④。
3. ③
解析：∵0a＋b，∴b>。
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a，故b>>>a。
4. 大?。?
解析：∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝（1－a）＋≥2（a＝0時取等號），
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1。
5.
解析：∵x>0，∴>0，易知a>0，
∴≥，∴≤x＋＋3，
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5（x＝1時取等號），
∴≤5，∴a≥。
6. m＞n
解析：m＝a＋＝（a－2）＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當a－2＝，即a＝3時，“＝”成立，故m∈[4，＋∞），由b≠0，得b2≠0，
∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n∈（0,4），綜上易得m＞n。
7. 證明：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。
由題設得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤。
（2）因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），即＋＋≥a＋b＋c，
所以＋＋≥1。
8. 證明：∵a，b，x，y都是正數，
∴（ax＋by）（bx＋ay）＝ab（x2＋y2）＋xy（a2＋b2）
≥ab（2xy）＋xy（a2＋b2）
＝（a＋b）2xy，
∵a＋b＝1，∴（a＋b）2xy＝xy，
（ax＋by）（bx＋ay）≥xy成立。
9. 證明：（1），
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋≥8（當且僅當a＝b＝時等號成立）．
（2）方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴≥5＋4＝9，
∴≥9（當且僅當a＝b＝時等號成立），
方法二 ，
由（1）知，，故≥9。
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