2018-2019學年高中數學 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 間接證明講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc
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2．2.2 間 接 證 明 1．問題：在今天商品大戰(zhàn)中，廣告成了電視節(jié)目中的一道美麗的風景線，幾乎所有的廣告商都熟諳這樣的命題變換藝術．如宣傳某種食品，其廣告詞為：“擁有的人們都幸福，幸福的人們都擁有”．該廣告詞實際說明了什么？ 提示：說的是：“不擁有的人們不幸福”． 2．已知正整數a，b，c滿足a2＋b2＝c2.求證：a，b，c不可能都是奇數． 問題1：你能利用綜合法和分析法給出證明嗎？ 提示：不能． 問題2：a、b、c不可能都是奇數的反面是什么？還滿足條件a2＋b2＝c2嗎？ 提示：都是奇數．若a、b、c都是奇數，則不能滿足條件a2＋b2＝c2. 1．間接證明 不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種不是直接證明的方法通常稱為間接證明．反證法就是一種常用的間接證明方法，間接證明還有同一法、枚舉法等． 2．反證法 (1)反證法證明過程 反證法證明時，要從否定結論開始，經過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)，用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用下面的框圖表示： →→→ (2)反證法證明命題“若p則q”的步驟 ①反設——假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真． ②歸謬——從反設和已知條件出發(fā)，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果． ③存真——由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立． 1．反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數學證明方法． 2．可能出現矛盾的四種情況：(1)與題設矛盾；(2)與反設矛盾；(3)與公理、定理或已被證明了的結論矛盾；(4)在證明過程中，推出自相矛盾的結論． 用反證法證明否定性命題 [例1] 已知平面上四點，沒有三點共線，求證：以每三點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形． [思路點撥] 本題證明的命題是否定性命題，解答時先假設四個三角形都是銳角三角形，再分情況去推出矛盾． [精解詳析] 假設以每三點為頂點的四個三角形都是銳角三角形，記這四個點為A、B、C、D，考慮△ABC，點D的位置分為在△ABC之內或之外兩種情況． (1)如果點D在△ABC之內(如圖(1))，根據假設圍繞點D的三個角都是銳角，其和小于270，這與一個周角等于360矛盾． (2)如果點D在△ABC之外(如圖(2))，根據假設∠A，∠B，∠C，∠D都小于90，這和四邊形內角之和等于360矛盾． 綜上所述．原結論成立． [一點通] (1)結論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題正面比較模糊，而反面比較具體，適于應用反證法． (2)反證法屬于邏輯方法范疇，它的嚴謹體現在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一個否定是指“否定結論(假設)”；第二個否定是指“邏輯推理結果否定了假設”．反證法屬“間接解題方法”． 1．實數a、b、c不全為0等價于________(填序號)． ①a，b，c全不為0；②a，b，c中最多只有一個為0；③a，b，c中只有一個不為0；④a，b，c中至少有一個不為0. 解析：“不全為0”等價于“至少有一個不為0”． 答案：④ 2.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M是A1D1的中點，點N是CD的中點，用反證法證明直線BM與直線A1N是兩條異面直線． 解：假設直線BM與A1N共面． 則A1D1?平面A1BND1， 且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN， 由正方體特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN， 又A1D1∥BC，所以BN∥BC. 這與BN∩BC＝B矛盾，故假設不成立． 所以直線BM與直線A1N是兩條異面直線． 3．已知三個正數a，b，c成等比數列，但不成等差數列，求證：，， 不成等差數列． 證明：假設，，成等差數列， 則＋＝2， 即a＋c＋2＝4b， 而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4， 所以(－)2＝0.即＝， 從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數列矛盾， 故， ， 不成等差數列． 用反證法證明惟一性命題 [例2] 求證：兩條相交直線有且只有一個交點． [思路點撥] “有且只有一個”的否定分兩種情況：“至少有兩個”、“一個也沒有”． [精解詳析] 假設結論不成立，則有兩種可能：無交點或不只有一個交點． 若直線a，b無交點， 則a∥b或a，b是異面直線，與已知矛盾． 若直線a，b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B， 這樣同時經過點A，B就有兩條直線， 這與“經過兩點有且只有一條直線”相矛盾．綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點． [一點通] 證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和惟一性．當證明結論以“有且只有”“只有一個”“惟一存在”等形式出現的命題時，由于反設結論易于導出矛盾，所以用反證法證其惟一性就較為簡單明了． 4．證明方程2x＝3有且僅有一個根． 證明：∵2x＝3，∴x＝log23，這說明方程有一個根． 下面用反證法證明方程2x＝3的根是惟一的，假設方程2x＝3有兩個根b1、b2(b1≠b2)，則2b1＝3,2b2＝3. 兩式相除得：2b1－b2＝1. 如果b1－b2>0，則2b1－b2>1，這與2b1－b2＝1相矛盾． 如果b1－b2<0，則2b1－b2<1，這與2b1－b2＝1相矛盾． 因此b1－b2＝0，則b1＝b2，這就同b1≠b2相矛盾． 如果方程的根多于兩個，同樣可推出矛盾． 故2x＝3有且僅有一個根． 5．求證：過平面外一點有且只有一條直線和這個平面垂直． 解：已知P?平面α. 求證：過點P和平面α垂直的直線b有且只有一條． 證明：(1)存在性：∵P?平面α，由立體幾何知識知：過點P能作出一條直線與平面α垂直，故直線b存在． (2)惟一性：假設過點P還有一條直線c與平面α垂直． 由b⊥α，c⊥α，得b∥c，這與b∩c＝P矛盾，故假設不存在，因此直線b惟一． 綜上所述，過平面外一點有且只有一條直線和這個平面垂直． 用反證法證明“至多”、“至少”型命題 [例3] 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1. 求證：a，b，c，d中至少有一個是負數． [思路點撥] 本題要證a、b、c、d中至少有一個是負數，具體有一個負數？兩個負數？三個負數？還是四個負數？都有可能，誰是負數也都有可能．所以正面證明很復雜，可考慮用反證法． [精解詳析] 假設a、b、c、d都不是負數， 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0. ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0. ∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1 ＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1. ∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0. ∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1， 即ac＋bd≤1. 與ac＋bd>1相矛盾． ∴假設不成立．∴a、b、c、d中至少有一個是負數． [一點通] (1)對于否定性命題或結論中出現“至多”“至少”“不可能”等字樣時，常用反證法． (2)常用的“原結論詞”與“反設詞”歸納如下表： 原結論詞 至少有一個 至多有一個 至少有n個 至多有n個 反設詞 一個也沒有(不存在) 至少有兩個 至多有n－1個 至少有n＋1個 6．已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 證明：假設(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于. ∵a，b，c∈(0,1)， ∴1－a＞0,1－b＞0,1－c＞0， ∴≥＞＝. 同理＞，＞. 三式相加，得＋＋＞， 即＞，矛盾． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 7．用反證法證明：若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個實數根． 證明：假設方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個根， 設α，β為其中的兩個實根． 因為α≠β，不妨設α<β， 又因為函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數， 所以f(α)
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