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15 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 考綱原文 選考內(nèi)容 （一）坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1．坐標(biāo)系 （1）理解坐標(biāo)系的作用. （2）了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. （3）能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. （4）能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形的方程.通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義. （5）了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別. 2．參數(shù)方程 （1）了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義. （2）能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程. （3）了解平擺線、漸開(kāi)線的生成過(guò)程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程. （4）了解其他擺線的生成過(guò)程，了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用，了解擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用. 1．從考查題型來(lái)看，涉及本知識(shí)點(diǎn)的題目主要以選考的方式，在解答題中出現(xiàn)，考查與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程相關(guān)的互化與計(jì)算 2．從考查內(nèi)容來(lái)看，主要考查：（1）極坐標(biāo)系中直線和圓的方程；（2）已知直線和圓的參數(shù)方程，判斷直線和圓的位置關(guān)系. 考向一 參數(shù)方程與普通方程的互化 樣題1（2018新課標(biāo)III卷理）在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)． （1）求的取值范圍； （2）求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程． 【答案】（1）；（2）為參數(shù)，． （2）的參數(shù)方程為為參數(shù)，． 設(shè)，，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，， 則，且，滿足． 于是，． 又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù)，． 考向二 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 樣題2 （2018新課標(biāo)I卷理）在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程. 【答案】（1）；（2）． 當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)． 綜上，所求的方程為． 考向三 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 樣題3 已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為． （1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求． 樣題4 在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線與曲線相交于兩點(diǎn). (1)寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程; (2)若,求的值. 【解析】(1)由,得, 所以曲線的直角坐標(biāo)方程為, 直線的普通方程為. (2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程中, 得, 設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為， 則有, 因?yàn)?所以,即, 所以,解之得或(舍去), 所以的值為1.