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專題十六 概率、隨機變量及其分布列
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
幾何概型T10
古典概型T8
相互獨立事件及二項分布及方差的計算T8
二項分布、導數(shù)的應用及變量的數(shù)學期望、決策性問題T20
2017
數(shù)學文化、有關面積的幾何概型T2
二項分布的方差T13
頻數(shù)分布表、概率分布列的求解、數(shù)學期望的應用T18
正態(tài)分布、二項分布的性質(zhì)及概率、方差T19
2016
與長度有關的幾何概型T4
幾何概型、隨機模擬T10
____________
柱狀圖、相互獨立事件與互斥事件的概率、分布列和數(shù)學期望T19
互斥事件的概率、條件概率、隨機變量的分布列和數(shù)學期望T18
縱向把握趨勢
卷Ⅰ3年6考，且每年均有“一小一大”兩題同時考查，連續(xù)3年均以選擇題的形式考查了幾何概型，解答題涉及事件的相互獨立性、二項分布、數(shù)學期望問題，難度適中.2018年高考將二項分布與導數(shù)相結合是高考的一大亮點．預計2019年高考仍會延續(xù)“一小一大”的命題規(guī)律，小題考查古典概型或幾何概型，大題考查二項分布及均值、方差
卷Ⅱ3年4考，主要以選擇題和填空題的形式考查，涉及古典概型、幾何概型、隨機模擬、隨機變量的分布列和數(shù)學期望、二項分布的方差等，難度適中．預計2019年會以解答題的形式考查二項分布的應用問題
卷Ⅲ3年2考，涉及相互獨立事件、二項分布及數(shù)學期望的應用問題，難度適中．預計2019年高考可能以解答題的形式考查二項分布及其應用問題
橫向把握重點
1.概率、隨機變量及其分布是高考命題的熱點之一，命題形式為“一小一大”，即一道選擇題或填空題和一道解答題．
2.選擇題或填空題常出現(xiàn)在第4～10題或第13～15題的位置，主要考查隨機事件的概率、古典概型、幾何概型，難度一般.
古典概型與幾何概型
[題組全練]
1．利用計算機在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生隨機數(shù)a，則不等式ln(3a－1)<0成立的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：選C 由ln(3a－1)<0得
0；
當p∈(0.1,1)時，f ′(p)<0.
所以f (p)的最大值點為p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝202＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.
②若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為400元．由于EX>400，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗．
二、加練大題考法——少失分
1.(2018鄭州質(zhì)檢)為了減少霧霾，還城市一片藍天，某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實行車輛限號出行政策，鼓勵民眾不開車低碳出行．市政府為了了解民眾低碳出行的情況，統(tǒng)計了該市甲、乙兩個單位各200名員工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù)，畫出莖葉圖如圖所示，
(1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122，求x的值；
(2)現(xiàn)從圖中的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩個單位中各取2天)，記抽取的4天中甲、乙兩個單位員工低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)分別為ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和數(shù)學期望．
解：(1)由題意知，[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x)＋132＋134＋141]＝122，解得x＝8.
(2)由題得ξ1的所有可能取值為0,1,2，ξ2的所有可能取值為0,1,2，因為η＝ξ1＋ξ2，所以隨機變量η的所有可能取值為0,1,2,3,4.
因為甲單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為3，乙單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為4，
所以P(η＝0)＝＝，
P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝，
P(η＝3)＝＝，
P(η＝4)＝＝.
所以η的分布列為
η
0
1
2
3
4
P
所以E(η)＝0＋1＋2＋3＋4＝.
2．(2018福州模擬)某學校八年級共有學生400人，現(xiàn)對該校八年級學生隨機抽取50名進行實踐操作能力測試，實踐操作能力測試結果分為四個等級水平，一、二等級水平的學生實踐操作能力較弱，三、四等級水平的學生實踐操作能力較強，測試結果統(tǒng)計如下表：
等級
水平一
水平二
水平三
水平四
男生/名
4
8
12
6
女生/名
6
8
4
2
(1)根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為學生實踐操作能力強弱與性別有關？
實踐操作能力較弱
實踐操作能力較強
總計
男生/名
女生/名
總計
(2)現(xiàn)從測試結果為水平一的學生中隨機抽取4名進行學習能力測試，記抽到水平一的男生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．
下面的臨界值表供參考：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
參考公式：K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)補充22列聯(lián)表如下：
實踐操作能力較弱
實踐操作能力較強
總計
男生/名
12
18
30
女生/名
14
6
20
總計
26
24
50
∴K2＝≈4.327＞3.841.
∴有95%的把握認為學生實踐操作能力強弱與性別有關．
(2)ξ的可能取值為0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
∴ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＝.
3．(2018開封模擬)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件．假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準．
(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的數(shù)學期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望；
(3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，判斷哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？并說明理由．
注：①產(chǎn)品的“性價比”＝產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望/產(chǎn)品的零售價；
②“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性．
解：(1)∵E(X1)＝6，∴50.4＋6a＋7b＋80.1＝6，
即6a＋7b＝3.2.①
又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.②
聯(lián)立①②解得a＝0.3，b＝0.2.
(2)由已知，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
∴E(X2)＝30.3＋40.2＋50.2＋60.1＋70.1＋80.1＝4.8，
即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2的數(shù)學期望等于4.8.
(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：
∵甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6，價格為6元/件，
∴其性價比為＝1，
（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十六 概率、隨機變量及其分布列講義 理（重點生含解析）.doc
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