2018-2019學年高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 三 排序不等式講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc
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三 排序不等式 1．順序和、亂序和、反序和 設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，稱a1b1＋a2b2＋…＋anbn為這兩個實數(shù)組的順序積之和(簡稱順序和)，稱a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1為這兩個實數(shù)組的反序積之和(簡稱反序和)．稱a1c1＋a2c2＋…＋ancn為這兩個實數(shù)組的亂序積之和(簡稱亂序和)． 2．排序不等式(排序原理) 定理：(排序原理，又稱為排序不等式) 設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，則有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等號成立(反序和等于順序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn. 排序原理可簡記作：反序和≤亂序和≤順序和． [點睛] 排序不等式也可以理解為兩實數(shù)序列同向單調(diào)時，所得兩兩乘積之和最大；反向單調(diào)(一增一減)時，所得兩兩乘積之和最?。? [例1] 已知a，b，c為正數(shù)，且a≥b≥c，求證： ＋＋≥＋＋. [思路點撥] 分析題目中已明確a≥b≥c，所以解答本題時可直接構(gòu)造兩個數(shù)組，再用排序不等式證明即可． [證明] ∵a≥b>0，于是≤， 又c>0，從而≥， 同理≥，從而≥≥. 又由于順序和不小于亂序和，故可得 ＋＋≥＋＋ ＝＋＋ ≥＋＋＝＋＋＝＋＋. ∴原不等式成立． 利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組． 1．已知0<α<β<γ<，求證：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 證明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在為增函數(shù)，y＝cos x在為減函數(shù)， ∴0下載提示(請認真閱讀)
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